2013年全国硕士研究生入学统一考试.DOC

1、2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）当 时，用 表示比 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）0x()ox（A） 23()（B） ()oxx（C） 22()o（D） ()xx（2）函数 的可去间断点的个数为（ ）|1()ln|f（A）0（B）1（C）2（D）3（3）设 是圆域 位于第 象限的部分，记 ，k 2(,)|1xyk()kDIyxd1,234k则（ ）（A） 10I（B） 2（C） 3I（D） 40（4）设 为正项数列，下

2、列选项正确的是（ ）na（A）若 收敛11,()nna则（B） 收敛，则1()n若 1n（C） 收敛，则存在常数 ,使 存在1na若 1PlimPna（D）若存在常数 ，使 存在，则 收敛lina1n（5）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 ,BAC则 可 逆 ， 则（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价（6）矩阵 与 相似的充分必要条件为1ab20b（A） a0,2（B） 为 任 意 常 数b（C） ,（D） 为 任

3、意 常 数a2（7）设 是随机变量，且 ,13X， ， 22123N(0,)(5)XN， ,） ， X则（ ）(,2)j jP（A） 123（B）（C） 312P（D） （8）设随机变量 X 和 Y 相互独立，则 X 和 Y 的概率分布分别为，则 ( )2PXY（A） 12（B） 8（C） 6（D） 12二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设曲线 和 在点 )1,0(处有公共的切线，则 _。)(xfyx2 2limnf（10）设函数 由方程 确定，则 _。,zyzx)2,1(xz（11）求 _。dx12)(ln（12）微分方程 通解为 _

4、。041yy（13）设 是三阶非零矩阵， 为 A 的行列式， 为 的代数余子式，若ijA(a)| ijijaijija0,12,3_则（14）设随机变量 X 服从标准正态分布 ,则 = _。N(01)X2()XEe三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）当 时， 与 为等价无穷小，求 与 的值。0x1cos2cos3xxnana（16）（本题满分 10 分）设 是由曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图形， 分别是 绕 轴， 轴旋转D3y(0),xyVDxy一周所得旋转体的体积，若 ，求 的值。1

5、yxVa（17）（本题满分 10 分）设平面内区域 由直线 及 围成.计算 。3,x8y2Dxdy（18） （本题满分 10 分）设生产某产品的固定成本为 6000 元，可变成本为 20 元/件，价格函数为 ， （P 是单价，单601Q位：元，Q 是销量，单位：件） ，已知产销平衡，求：（1）该商品的边际利润。（2）当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义。（3）使得利润最大的定价 P。（19） （本题满分 10 分）设函数 在 上可导， ，证明()fx0,(0)lim()2xff且（1）存在 ，使得a1fa（2）对（1）中的 ，存在 使得(0,)1().fa（20） （本题满分 11 分

6、）设 ，当 为何值时，存在矩阵 使得 ，并求所有矩阵 。1,0aABb,aCABC（21） （本题满分 11 分）设二次型 ，记 。22123123123,fxaxxbx112233,ab（I）证明二次型 对应的矩阵为 ；fT（II）若 正交且均为单位向量，证明二次型 在正交变化下的标准形为二次型 。,f 21y（22） （本题满分 11 分）设 是二维随机变量， 的边缘概率密度为 ，在给定,XYX23,0,.Xxf其 他的条件下， 的条件概率密度01xY23,0.YXyxfx其 他（1） 求 的概率密度 ；,X,fxy（2） 的边缘概率密度 .YY（23） （本题满分 11 分）设总体 的概

7、率密度为 其中 为未知参数且大于零， 为来自总X23,0,.xef其 它 12,NX，体 的简单随机样本.（1）求 的矩估计量；（2）求 的最大似然估计量.2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）当 时，用 表示比 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）0x()ox（A） 23()（B） ()oxx（C） 22()o（D） ()xx【答案】D【解析】 ，故 D 错误。2()()oo（2）函数 的可去间断点的个数为（ ）|1()ln

8、|xf（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】C【解析】由题意可知 的间断点为 。又()fx0,1lnx0x0x0x01lnlim()lilimli1()n()()xef xln(x0x0x0x01l()li()lililim()l)xf lnx1x1x1x1ln1li()lilili()n()()2xefln()x1x1x1x1l()lim()lilimli()l xf 故 的可去间断点有 2 个。f（3）设 是圆域 位于第 象限的部分，记 ，kD2(,)|1xyk()kDIyxd1,234k则（ ）（A） 10I（B） 2（C） 3I（D） 40【答案】B【解析】令 ，则有cos,inxr

9、yr10 1()(sicos)(cosin)3kDIdrd 故当 时， ，此时有 故正确答案选 B。2,20.3I（4）设 为正项数列，下列选项正确的是（ ）na（A）若 收敛11,()nna则（B） 收敛，则1()n若 1n（C） 收敛，则存在常数 ,使 存在1na若 PlimPna（D）若存在常数 ，使 存在，则 收敛lina1n【答案】D【解析】根据正项级数的比较判别法，当 时， ，且 存在，则 与 同P1pn收 敛 limPna1na1p敛散，故 收敛.1na（5）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 ，且 可逆，则（ ）ABC（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（

10、B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价【答案】 （B）【解析】由 可知 C 的列向量组可以由 A 的列向量组线性表示，又 B 可逆，故有 ，从而A 1CBAA 的列向量组也可以由 C 的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B） 。（6）矩阵 与 相似的充分必要条件为1ab20b（A） 0,2a（B） 为 任 意 常 数b（C） ,（D） 为 任 意 常 数a2【答案】(B)【解析】由于 为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而 与 相似1ba 1ab20b的充

11、分必要条件为 的特征值为 。1a0,2b又 ，从而 。2()EAba为 任 意 常 数b,0（7）设 是随机变量，且 ,123X， ， 22123N(0,)(5)XN， ,） ， X则（ ）(,)j jP（A） 123（B）（C） 312P（D） 【答案】 （A）【解析】由 知，221230,0,5,XNXN:，1 121pPP，故 .2 12p由根据 及概率密度的对称性知， ，故选（A）235,XN: 3（8）设随机变量 X 和 Y 相互独立，则 X 和 Y 的概率分布分别为，则 ( )2PXY（A） 1（B） 8（C） 6（D） 12【答案】 （C）【解析】 ，又根据题意 独21,2,03

12、,1PXYYPXYPXY,XY立，故，选（C）.6P二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设曲线 和 在点 )1,0(处有公共的切线，则 _。)(xfyx2 2limnf【答案】 2【解析】 在 处的导数是 ，故 ， (1,0)()y()1,0ff212lim()li ()22nnffnf f（10）设函数 由方程 确定，则 _。),(yxzxyz)()2,1(xz【答案】 2ln【解析】原式为 左右两边求导得：l(),xzyeln(),1,2xzxyzy令得 0,2(1ln)xz（11）求 _。dx12)(【答案】 ln【解析】 21ln

13、1lnln()+(1) ()1xxx d21 1lnlllim+l2()x xdx （12）微分方程 通解为 _。041yy【答案】 212Cxe【解析】特征方程为 ，所以通解为10,()42二 重 根 122xyeC（13）设 是三阶非零矩阵， 为 A 的行列式， 为 的代数余子式，若ijA(a)| ijijaijija0,12,3_则【答案】 【解析】 ijijA由 可 知 ， *TA1231233310iiijjjijijaaaA2*,=-.TAA从 而 有 故（14）设随机变量 X 服从标准正态分布 ,则 = _。N(01)X2()XEe【答案】 2e【解析】由 及随机变量函数的期望公

14、式知0,1N:.2 21422 21x xXxEeedede三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15 ）（本题满分 10 分）当 时， 与 为等价无穷小，求 与 的值。0x1cos2cos3xxnana【解析】因为当 时， 与 为等价无穷小csx所以 0sslim1nxax又因为：1cos2cos32cos2cos2cos3(1)(13)xxxx即 0 0cs )2(1cos3)limlimn nx x xa a 2220o(cos)cos(111)(3)li( )n nnnnxxxaxaax所以 且497（16 ）（本题满分 10 分）设 是由曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图形， 分别是 绕 轴， 轴旋转D13yx(0)ax,xyVDxy一周所得旋转体的体积，若 ，求 的值。yxV【解析】由题意可得： 152330()axVdxa173306ay因为： 所以yxV7533107aa（17 ）（本题满分 10 分）设平面内区域 由直线 及 围成.计算 。D,yx8y2Dxdy