勾股定理16种证明方法.doc

1、 整理者：辛国庆 电话：15148119438邮箱： page 1 of 9 勾股定理的证明【证法 1】 （课本的证明）做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即ba2142142 ， 整理得 22c.【证法 2】 （邹元治证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条

2、直线上，C、G、D 三点在一条直线上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90. 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的正方形. 它的面积等于 c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90.又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于 2ba. 2214cba. 22c.【证法 3】 （赵爽证明）以 a、b 为直角边（ba） ， 以 c 为斜D

3、G CFAHE Babcabcab c abcbabab abacbacbacbacbacbacbabac GDACBFEH 整理者：辛国庆 电话：15148119438邮箱： page 2 of 9 ab abccA BCDE边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c2. EF = FG =GH =HE = ba ,HEF = 90. EFGH 是一个边长为 ba

4、的正方形，它的面积等于 2ab. 2214cab. 2a.【证法 4】 （1876 年美国总统 Garfield 证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上. RtEAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. DEC = 18090= 90. DEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于21c.又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC. ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 21ba. 2211

5、caba. cb.【证法 5】 （梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上. 过 C 作 AC 的延长线交 DF于点 P. D、E、F 在一条直线上, 且 RtGEF RtEBD, EGF = BED， 整理者：辛国庆 电话：15148119438邮箱： page 3 of 9 PHGFEDCBAabcabcabcabccccb acbaABCEF PQMN EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =18090= 90.又 AB = BE = EG =

6、 GA = c， ABEG 是一个边长为 c 的正方形. ABC + CBE = 90. RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90. 即 CBD= 90.又 BDE = 90，BCP = 90，BC = BD = a. BDPC 是一个边长为 a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形.设多边形 GHCBE 的面积为 S，则,212Sbaac, 22c.【证法 6】 （项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba） ，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C 三点

7、在一条直线上.过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点 P. 过点 B 作 BMPQ，垂足为 M；再过点F 作 FNPQ，垂足为 N. BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM 是一个矩形，即MBC = 90. QBM + MBA = QBA = 90，ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC，又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA.同理可证 RtQNF RtAEF 整理者：辛国庆 电话：15148119438邮箱： page 4 of 9 从而将问题转化为【证法 4】 （

8、梅文鼎证明）.【证法 7】 （欧几里得证明）做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点在一条直线上，连结BF、CD. 过 C 作 CLDE，交 AB 于点 M，交 DE 于点L. AF = AC，AB = AD，FAB = GAD， FAB GAD， FAB 的面积等于21a，GAD 的面积等于矩形 ADLM的面积的一半， 矩形 ADLM 的面积 = 2.同理可证，矩形 MLEB 的面积 = b. 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 22bac ，即 22ca.【证法 8】 （利用相似三角形性质证明）如图，

9、在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CDAB，垂足是 D. 在 ADC 和 ACB 中， ADC = ACB = 90，CAD = BAC， ADC ACB.ADAC = AC AB，即 ABDC2.同理可证，CDB ACB，从而有 ABDC2. 22AB，即 2cba.【证法 9】 （杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba） ，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过 A 作 AFAC，AF 交 GT于 F，AF 交 DT 于 R. 过 B 作 BP

10、AF，垂足为 P. 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直，垂足为E，DE 交 AF 于 H. BAD = 90，PAC = 90， DAH = BAC.又 DHA = 90，BCA = 90，AD = AB = c，A BDCacb98765432 1PQRTHGFEDCBAab cabccccbacbaA BCD EFGHMLK 整理者：辛国庆 电话：15148119438邮箱： page 5 of 9 RtDHA RtBCA. DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 RtAPB RtBCA. 即 PB = CA = b，AP= a，从

11、而 PH = ba. RtDGT RtBCA ,RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA . 又 DGT = 90，DHF = 90，GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90， DGFH 是一个边长为 a 的正方形. GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=ba，下底 BP= b，高 FP=a +（ba）.用数字表示面积的编号（如图） ，则以 c 为边长的正方形的面积为543212SSc abb8 = a21，95， 82431SaS= 812S

12、. 把代入，得 981212bc= 9 = 2a. 22ca.【证法 10】 （李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ba） ，斜边的长为 c. 做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A、E、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. TBE = ABH = 90， TBH = ABE.又 BTH = BEA = 90，BT = BE = b， RtHBT RtABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba.又 GHF + BHT = 90，DBC + BHT = TBH + BHT = 90，MHQRTG F ED CBA

13、 整理者：辛国庆 电话：15148119438邮箱： page 6 of 9 GHF = DBC. DB = EBED = ba，HGF = BDC = 90， RtHGF RtBDC. 即 27S.过 Q 作 QMAG，垂足是 M. 由BAQ = BEA = 90，可知 ABE= QAM，而 AB = AQ = c，所以 RtABE RtQAM . 又 RtHBT RtABE. 所以 RtHBT RtQAM . 即 58. 由 RtABE RtQAM，又得 QM = AE = a，AQM = BAE. AQM + FQM = 90，BAE + CAR = 90，AQM = BAE， FQM

14、 = CAR.又 QMF = ARC = 90，QM = AR = a， RtQMF RtARC. 即 64S. 543212SSc， 12， 8732Sb，又 7， 58， 6， 873612ba= 524= 2c，即 2.【证法 11】 （利用切割线定理证明）在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c. 如图，以 B 为圆心 a 为半径作圆，交 AB 及 AB 的延长线分别于 D、E，则 BD = BE = BC = a. 因为BCA = 90，点 C 在B 上，所以 AC 是B 的切线. 由切割线定理，得ADE2=B= ac= 2，即 2b， 2a.【证

15、法 12】 （利用多列米定理证明）在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c（如图）. 过点 A 作ADCB，过点 B 作 BDCA，则 ACBD 为矩形，矩形 ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有 BDACDA， AB = DC = c，AD = BC = a，AC = BD = b，abaa B ACE DcbacabcA CBD 整理者：辛国庆 电话：15148119438邮箱： page 7 of 9 22ACB，即 22bac， cba.【证法 13】 （作直角三角形的内切圆证明）在 RtABC

16、中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c. 作 RtABC 的内切圆O，切点分别为 D、E、F（如图） ，设O 的半径为 r. AE = AF，BF = BD，CD = CE， BFACDBABCA= = r + r = 2r,即 rcba2， . ，即 2224cr， abSABC1， ，又 AOCBAOBCS = bracr21= rcba= rc21= 2， ABCrc42， ab， 22ca， 22cba.【证法 14】 （利用反证法证明）如图，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CDAB，垂足是 D

17、. 假设 22cba，即假设 22ABC，则由AB= = D可知 A2，或者 2. 即 AD：ACAC：AB，或者 BD：BCBC：AB.在 ADC 和 ACB 中， A = A， 若 AD：ACAC：AB，则ADCACB.在 CDB 和 ACB 中， B = B， 若 BD：BCBC：AB，则CDBACB.又 ACB = 90， ADC90，CDB90.c bar rrOFED CBAA BDC 整理者：辛国庆 电话：15148119438邮箱： page 8 of 9 这与作法 CDAB 矛盾. 所以， 22ABC的假设不能成立. 22cba.【证法 15】 （辛卜松证明）设直角三角形两

18、直角边的长分别为 a、b，斜边的长为 c. 作边长是 a+b 的正方形ABCD. 把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为 abba22；把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形 ABCD的面积为 214c= 2cab. 2, cba.【证法 16】 （陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ba） ，斜边的长为 c. 做两个边长分别为a、b 的正方形（ba） ，把它们拼成如图所示形状，使 E、H、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在 EH = b 上截取 ED = a，连结 DA、DC，则 AD = c.

19、EM = EH + HM = b + a , ED = a， DM = EMED = a = b.又 CMD = 90，CM = a，AED = 90， AE = b， RtAED RtDMC. EAD = MDC，DC = AD = c. ADE + ADC+ MDC =180，ADE + MDC = ADE + EAD = 90， ADC = 90. 作 ABDC，CBDA，则 ABCD 是一个边长为 c 的正方形. BAF + FAD = DAE + FAD = 90， BAF=DAE.ab2121ab21ab21c2b2aA AD DB BC Cbab abababaccc cbaababbabaABCDEFGH Mabcabcac abc12 3456 整理者：辛国庆 电话：15148119438邮箱： page 9 of 9 连结 FB，在 ABF 和 ADE 中， AB =AD = c，AE = AF = b，BAF=DAE， ABF ADE. AFB = AED = 90，BF = DE = a. 点 B、F、G、H 在一条直线上.在 RtABF 和 RtBCG 中， AB = BC = c，BF = CG = a， RtABF RtBCG. 5432SS， 6212Sb， 732Sa， 7651， 6213ba= 72= 543SS=c 22ba.