1、第 1 页 共 17 页华南理工大学网络教育学院高等数学(上) 辅导一、 判断两个函数的定义域是否相同1、 与 是否表示同一个函数?2()lnfx()lnfx2、 与 表示同一个函数| 2二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理常见的等价无穷小: 0sintarcsinartxxx时 ,l(1)xe-2cos,12无穷小替换原理:在求极限过程中,无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换例题:1、 ?320sinlmx解:当 ,ix 第 2 页 共 17 页原式=3200()limli7xx2、 ?0sin3lx解:原式= 0lix3、 ?201-coslimx解:当 21x -原式=20lix
2、4、 ?0ln(13)imx解:当 3x l+原式=. .0ix5、 ?201limxe第 3 页 共 17 页解:当 201xe,原式=. .0limx三、 多项式之比的极限, ,2li03x21li3x23limx四、 可导与连续等的关系1、若 在 点导数存在, 则 在 点连续. ()fx0 ()fx0、2. 若 是 的驻点,则它不一定是 的极小值点. f ()fx五、 导数的几何意义(填空题):表示曲线 在点 处的切线斜率0()fx ()yfx0(,)Mfx曲线. .在点 处的切线方程为:()yf0,f0()()f曲线 在点 处的法线方程为:()fx0,x001()()yfxf例题:第
3、4 页 共 17 页1、曲线 在点 的切线的斜率4xy(2,3)M解: 22 2()4()()x x 28x2、曲线 在点 处的切线方程cosxye(0,1)M解: 20 0()sxxx e 20sinco1()xx所以曲线 在点 处的切线方程为:xye,M,即1()1xy3、曲线 在点 处的切线方程23yx,解:511xx所以曲线 在点 处的切线方程为:23y(,)M,即1()x350xy第 5 页 共 17 页六、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分复合函数求导的链式法则:d(),()():yuyfugxyfgxx()().fgx 微分: ()dyfx例题:1、设 ,则 ?21y解: 2
4、21xyx2、设 ,则 ?2sinyxy解: 2cocosx3、设 ,则 ?sin2xydy解: i sinli2colx则 sincolx4、设 ,则 ?ixyedy第 6 页 共 17 页解: coscosxxyee所以 d5、设 ,则 ?(答案: )2xyey2xed七、 运用导数判定单调性、求极值例题:1、求 的单调区间和极值lnyx解:定义域 (0,)令 ,求出驻点l1 1xex(,)e 1(,)y- 0 +单调减 极小值点 单调增函数的单调递减区间为 ,单调递增区间为1(, 1(,)e极小值为 )ye2、求 的单调区间和极值xy解:定义域 (,)令 ,求出驻点10xxee1x第 7
5、 页 共 17 页x(,1)1 (1,)y+ 0 -单调增 极大值点 单调减函数的单调递减区间为 ,,)单调递增区间为 ,(1极大值为 1()ye3、求函数. .的单调区间和极值2()xf解:定义域 ,令 ,得2()xfe0x,)0 (0,)y+ 0 -单调增 极大值点 单调减单调递增区间: ,单调递减区间: ,(,)(,)极大值为 0)1f4、求函数 的极值答案:极小值为 ,3()fx2(1)3y极大值为 21y八、 隐函数求导第 8 页 共 17 页例题:1、求由方程 所确定的隐函数 的2sin0xey()yx导数 dy解:方程两边关于 求导,得:x2cos()0eyxyA即 2x2、求由
6、方程 所确定的隐函数 的导数cos()yx()yxdyx解:方程两边同时关于 x 求导,得:sin()1yy即 i()1snxy3、求由方程 所确定的隐函数 的导数si()yx()x 答案: dyxco1dy第 9 页 共 17 页4、求由方程 所确定的隐函数 的ln0xy()yx导数 答案: ddyx九、 洛必达法则求极限,注意结合等价无穷小替换原理例题:1、求极限 01limsinxe解:原式 0()liixx. .20s1lixxe0sin,1xe 当 时 ,0colimxx0snli2xxe12、求极限 30sinlimtax第 10 页 共 17 页解:原式= 30sinlimx0tanxx 当 时 ,201colix= 20li3x 210cosxx 当 时 ,163、求 (答案: )20limxe12十、 凑微分法求不定积分(或定积分)简单凑微分问题: , , ,2xedsin4xcos5xdlnxd一般的凑微分问题: , ,21x23,sincodlx例题:1、 2xd