毕业论文（设计）：函数凸性在经济学中的应用.doc

1、编号09005110140南阳师范学院2013届毕业生毕业论文（设计）题目函数凸性在经济学中的应用完成人班级2009级01班学制4年专业数学与应用数学专业指导教师完成日期2013年4月15日目录摘要（1）0引言（1）1凸函数的定义及判定定理（1）2函数凸性在经济学中的应用（2）21凸函数在经济函数曲线分析中的应用（2）211无差异曲线的凸性分析（2）212生产函数曲线的凸性分析（5）22凸函数在经济优化中的作用（6）221利润最大问题（7）222最省原材料问题（8）223最佳库存问题（8）23凸函数在风险态度中的应用（9）3小结（11）参考文献（12）ABSTRACT（12）第1页（共12页）

2、函数凸性在经济学中的应用作者指导老师摘要本文主要探讨了函数凸性怎样在有关经济学问题中发挥作用，并从数学的角度详细说明了经济学教材中一些结论的来源，帮助学生准确的掌握这些结论，培养学生利用数学知识解决经济问题的思维习惯关键字凸函数；边际分析；效用函数0引言凸函数是一个十分重要的函数，它的定义最早是由JENSEN给出凸函数具有较好的几何和代数性质,它在判定函数的极值、研究函数的图像以及证明不等式等方面都有广泛的应用利用函数凸性分析经济问题是在十九世纪五十年代以后随着数学规划、最优控制论、数理经济学等应用学科的兴起而发展起来的经济学中所涉及的函数大多数都有一定的凸性，从而凸函数在经济学中的最优化问题

3、的研究成为了当今的一大热点人们经常用它来研究系统中人、财、物的组织管理、筹划调度等问题，以发挥最大的经济效益1凸函数的定义及判定定理定义11设FX在,AB上有定义，如果对任意1X，2X,AB及0,1,都有121FXXFX（1）（）（1）2FX（1）则称FX为凸函数等价定义记221XXXX，则121XXX由F的凸性可知第2页（共12页）121211FXFXXFXFX21122121XXXXFXFXXXXX从而有212112XXFXXXFXXXFX，即，整理后可得1212FXFXFXFXXXXX（2）定理1设函数FX在开区间I可导，函数FX在区间I是凸函数当且仅当12,XXI，且21XX，1FX2

4、FX定理2设FX在开区间I上可导，则下述论断相互等价1）FX为I上凸函数；2）FX为I上的增函数；3）对I上的任意两点12,XX，有12112XXXFXFXF（3）定理3如果函数FX在,AB上有存在二阶导函数FX,1）若对,XAB，有0FX，则函数FX在,AB上是一个凸函数2）若对,XAB，有0FX，则函数FX在,AB上是一个凹函数定理4（极值的第二充分条件）设F在点0X的某邻域0XU内一阶可导，在0XX处二阶可导，且00XF，00XF1）若00XF，则F在0X取得极大值2）若00XF，则F在0X取得极小值2函数凸性在经济学中的应用21凸函数在经济函数曲线分析中的应用211无差异曲线的凸性分析

5、第3页（共12页）无差异曲线3用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合如下图所示，横轴和纵轴分别表示商品1的数量X和商品2的数量Y，曲线1L、2L分别表示两条不同商品组合的无差异曲线1L曲线是连续的，并在X轴上的具有二阶导数，二阶导数又是大于零的，所以无差异曲线是凸函数从上图可以明显地看出，无差异曲线的斜率为负值,而且无差异曲线斜率的绝对值是递减的商品的边际替代率递减规律决定了无差异曲线具有这样的特征下面介绍一下边际替代率递减规律商品1对商品2的边际替代率的定义公式为2121XMRSX,式中1X和2X分别表示为商品1和商品2的变化量当商品数量的变化趋于无穷小时，则商品的边际替代率公式为122

6、12011LIMXXDXMRSXDX从上式可以看出，无差异曲线上某一点的边际替代率就是无差异曲线在该点上的斜率的绝对值第4页（共12页）利用上图来具体说明商品的边际替代率递减规律和无差异曲线形状之间的关系在图中，当消费者沿着既定的无差异曲线U由A点运动到B点时，商品1的增加量为10，相应的商品2的减少量为20这两个变量的比值的绝对值为212XX在图中，由于无差异曲线是凸函数，并且斜率是负的，这就保证了当商品1的数量一单位一单位地逐步增加时，即由点A经B、C、D运动到E的过程中，每增加一单位的商品1所需放弃的商品2的数量是递减的，也就是说两个变量的比值的绝对值是逐渐减小的这就是在两商品的代替过程

7、中普遍存在的边际曲线代替率递减规律随着一种商品的消费数量的逐步增加，消费者想要获得更多的这种商品的愿望就会递减，从而他为了多获得一单位的这种商品而愿意放弃的另一种商品的数量就会越来越少经济活动中，我们可以根据市场调查利用无差异曲线和预算线等的关系来得到商品的需求曲线，厂商会根据需求曲线获得最大的利润的生产组合，而消费者也可以得到最满意的商品组合所以利用凸函数的性质描绘无差异曲线在买卖双方的交易活动中起到很大的作用212生产函数曲线的凸性分析短期生产函数4,QFLK表示在资本投入量固定时，由资本投入量变化所带来的最大产量的变化由该生产函数可以得到相应的资本总产量、平均产量和边际产量相互之间的关系

8、，它们的定义公式分别为,KTPFLK,KKTPLKAPK,KKTPLKMPK或者第5页（共12页）0,LIMKKKKTPLKDTPLKMPKDK根据三者的定义，可以绘制下图中的函数图像来表示三者的关系图中的横轴表示可变要素劳动的投入量L，纵轴表示产量Q，TP、AP、MP三条曲线顺次表示劳动的总产量曲线、平均产量曲线和边际产量曲线由图可以清楚地看到，对一种可变生产要素的生产函数来说，边际产量递减规律5决定了边际产量表现出先上升而最终下降的特征根据边际产量的定义公式,LLDTPLKMPDL可知，过LTP曲线任何一点的切线的斜率就是相应的LMP值LMP曲线在10L的斜率大于零LMP曲线的一阶导数即为

9、LTP曲线的二阶导数所以LTP曲线在10L阶段的二阶导数大于零，即LTP在10L阶段为凸函数也就是说，边际产量LMP曲线，在10L阶段上升，达到最大值后，然后再下降所以相应的总产量LTP曲线的斜率先是递增的，在1L到达拐点，然后再递减通过上述分析可以发现根据在边际报酬曲线递减规律作用下的边际产量LMP曲线先上升，最终下降的特征，可以先描绘出LMP曲线由总产量和边际产量之间的关系可以描绘出LTP曲线的图象最后由平均产量和总产量之间的关系描绘出LAP曲线的图象凸函数在描述三者关系中间发挥了很大的作用，利用函数凸性可以描绘出生产函数图象估算和研究生产函数，对于经济理论实践和生第6页（共12页）产实践

10、又是前提以上两种经济曲线的凸性分析，从数学的角度使我们对常见的经济现象有了更加深入的理解经济教材中复杂的经济曲线，通常具有一定的凸性，所以掌握了这种分析方法，对以后的经济问题探索有很大的帮助22凸函数在经济优化中的应用在经济生产过程中，为了提高经济资源配置效率，使用最少的资源和能源，达到获得最大的经济效益的目的厂商会进行预算估计，建立起利润，成本和价格之间的关系函数，然后利用凸函数求极值的方法来解决利润最大、成本最小的问题函数的极值是根据定理4极值的充分条件求得的由定理4可知，可导函数的二阶导数大于零即为凸函数，则在稳定点取得的函数值为极小值；可导函数的二阶导数小于零即为凹函数，则在稳定点取得

11、的函数值为极大值221利润最大问题利润最大化问题6的求解取决于厂商的需求函数、成本函数以及生产组合情况，它们之间存在一定的函数关系这个函数若是凸函数的话，就满足了凸函数的性质，可以用定理4中求极值的充分条件，得到生产关系中利润函数的最大值例1某商品的需求函数1200080QP（P的单位为元）；商品的总成本函数为2500050CQ且每件商品需要纳税2元，求出使销售利润最大的产品单价和最大利润额解该商品的收入函数为12000802RPPP，将1200080QP代入2500050CQ得出总成本函数250005012000806250004000CPPP则利润函数为LPRPCP120008026250

12、004000PPP28016160649000PP由160161600LPP得101P,又因为1600LP，则101P时，根据定第7页（共12页）理3，LP为凹函数，则在101P处取得极大值，由于是唯一的极值点，所以是最大值，当单价为101元时，销售利润取得最大，最大利润为101167080L元在解决最大利润问题时，先找到利润和其它生产要素之间的函数关系式，对利润函数求一阶导数，得到利润函数的稳定点再求利润函数的二阶导数，从而判断利润函数是否为凹函数,根据推论求得的利润函数是凹函数，则在稳定点的函数值即为极大值,即利润最大值这样就把经济问题转化为了数学中常见的函数问题，经济中最优化问题看成简单

13、的凸函数求极值的问题，这样可以使问题简单化，便于理解222成本最小问题下面看一下成本最小问题例2要做一个容量为3500CM的圆柱形饮料罐，当罐子的底半径为多少时，才能最省材料解设饮料罐的高为H，底半径为R，则表面积222SRRH，由体积2500VRH得2500HR，带入可得210002SRR，由210004SRR得43R，又因为200040SR，可知S为凸函数，则当43R时，S取得极小值，只有一个极小值点，既是最大值当底半径为43CM时，用的材料最少求成本最小问题时，首先建立起函数关系式，根据定理4极值的第二充分条件，判断函数关系式是凸函数，所以在稳定点求的函数值为极小值，即成本最小值利用凸函

14、数求极值来解决这类问题，可以在经济活动中节省资源，避免浪费223最佳库存问题在生产与销售管理中，库存量一定要适度，库存太少，会造成供不应求，失去时机；库存太多，又会出现资金积压或货物过期等状况，生产厂家或销售第8页（共12页）公司要想维持正常的生产和销售,管理者必须确定物资的库存量，即何时补充库存，应该补充多少等可以把库存问题转换化为函数关系表示，然后用凸函数求极值解决最佳库存问题例3某产品年销售量为10万件，假设这些产品分成若干批生产，每批需生产准备费100元；并假设产品的平均库存量为批量的一半，且每件产品库存一年需库存费005元。现想要使每年生产所需的生产准备费与库存费之和为最小，则每批的

15、生产量是多少最合适解设每年的生产准备费与库存费之和为W，批量为X，则710000010100005240XXWXXX，由7210140WXX得4210X，又因为732100WXX，可知WX是凸函数所以当4210X时WX去的极小值，且是唯一的极小值，即为最小值,所以当每批生产2万件时最合适,使得每年生产所需的生产准备费与库存费之和为最小解决经济学中的优化问题，可以归结为求某个函数的最值问题步骤为（1）分析经济问题，列出目标函数关系式；（2）对函数关系式求一阶导数，并令其为零，求出稳定点；（3）对函数关系式求二阶导数，判断函数是否是凸函数若为凸函数，则在稳定点求的函数值为极小值；若为凹函数，则在稳

16、定点求的函数值为极大值（4）当确定该问题存在最大值或最小值时，判定所求的极值点若是唯一的，则函数在该驻点处取得最值最终求得经济中的利润最大，成本最小问题23凸函数在风险态度中的应用期望效用函数8是商家们很关心的一个指标，所谓期望效益函数就是用来刻画经济活动者在不确定环境下决策的函数，它在一般情况下是凹函数设某经济活动者的期望效益函数为单变量函数UX不妨设这里自变量的含义就是收入假设,0XY为两种可能的收入；得到X的概率为P，而得到Y的概率第9页（共12页）为1P记这样的事件为,XYP，那么由期望效用函数的定义，可得到这一事件的效用为,1UXYPPUXPUY此经济活动者对,XYP这一事件中所包含

17、的风险的态度可由,UXYP与1UPXPY的比较来刻画如果1,UPXPYUXYP，则称该经济活动者为风险中性者如果1,UPXPYUXYP，那么称该经济活动者为风险厌恶者如果1,UPXPYUXYP，那么称该经济活动者为风险爱好者与以上的分析相对应，消费者的风险态度也可以根据消费者的效用函数的特征来判断一个人是风险厌恶的充要条件是他的效用函数为凹函数因此，判断一个人是不是风险厌恶者，只需要验证其效用函数是不是凹函数在判断一个人是不是风险爱好者，只需要验证其效用函数是不是凸函数消费者对待风险的态度，影响着消费者在不确定情况下的行为决策如下图所示图中效用曲线上的任意两点间的弧都高于这两点间的弦由函数的凹

18、凸性判断，该函数是凹函数，且斜率大于零根据消费者的效用曲线XU，消费者在无风险条件下持有一笔确定的货币财富量的效用YPPXU1相当于A的高度，而拥有一张具有风险的期望效用YUPXPU1相当于图中B的高度显然A点高于B点所以，图中的效用函数XU满足风险回避者的判断条件如果从函数的图像来看，自然是曲线向上弯得越厉害，对风险就越厌恶，曲线的弯曲程度可以用函数的二阶导数来刻画风险爱好者和风险中立者的效用函数的分析是类似的在实际经济生活中，大多数的消费者都是风险回避者三者的图象如下图所示第10页（共12页）当消费者面临一种风险时，如果对于该消费者而言，风险的期望值的效用大于、小于、等于风险的效用期望时，

19、那么相应地，该消费者的风险态度为风险回避、风险爱好、风险中立利用函数的凸性可以很简单地判断出消费者面对风险时的不同态度，也可以清晰地从图象分析不同态度的效用函数，使经济学中基本概念方便理解让学生学习经济概念时，在易于理解的基础上，可以更加牢固地掌握住知识3小结函数凸性分析作为一种强有力的分析工具，在经济工作中应用是很广泛的，掌握了它对指导我们当今的经济工作具有十分重要的意义把难懂的经济问题通过函数凸性来分析解决，使得经济学中的一些概念精确化，复杂的经济函数曲线变得清晰可辨，便于学生理解和掌握使经济活动在遵守资源约束、生产技术约束的条件下，求得消费者效用的最大化，但还有一定的局限性，比如在凸规划

20、问题中，单单使用函数凸性还远远不够，需要借助其它的工具协助解决。参考文献1华东师范大学数学系数学分析M高等教育出版社20092熊淑艳函数凸性判定定理的证法及应用J广西师范学院学报（自然科学版）2005,22（1）3邹自德凸函数及应用广州广播电视大学报J2008（1）4高鸿业西方经济学M人民大学出版社20105黄学祥,张荣凸凹生产函数条件下的动态投资策略系统工程理论与实践J2008,28第11页（共12页）（12）6宋蔡健经济函数与经济优化分析J南京工业职业技术学院学报2007,747潘劲松函数凸性在微观经济学中的应用J中国西部科技2011,10368李妍，张景，刘忻梅效用理论在保险决策中的应用

21、J北方经贸2011（3）9李丽花凸（凹）函数的若干应用J科技信息2010（31）10黑志华，付云权凸函数在微观经济学中的应用研究J现代商贸工业2009，,21（6）APPLICATIONOFCONVEXFUNCTIONINECONOMICSLIUCHANGABSTRACTTHISPAPERMAINLYDISCUSSESHOWCONVEXFUNCTIONWORKSINTHEECONOMICPROBLEMS,ANDITTELLSUSTHEORIGINOFSOMECONCLUSIONSINECONOMICSTEXTBOOKSFROMTHEVIEWOFMATHEMATICSITHELPSSTUDENTSTOGRASPTHESECONCLUSIONSANDTODEVELOPTHEHABITOFSOLVINGECONOMICALPROBLEMSINMATHEMATICALWAYKEYWARDSCONVEXFUNCTIONMARGINALANALYSISUTILITYFUNCTION