解析几何精编讲义2018北京.doc

1、1一、直线与方程基础：1、直线的倾斜角 ： 0,)2、直线的斜率 ：k；21tanykx注意：倾斜角为 90的直线的斜率不存在。3、直线方程的五种形式：点斜式： ；00()ykx斜截式： ；b一般式： ；AxByC截距式： ；1ab两点式： 121yyxx注意：各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。4、两直线平行与垂直的充要条件：， ，11:0lAxByC22:0lAxByC；1l 2211.1220l5、相关公式：两点距离公式： ， ，1(,)Mxy2(,)Nxy2；2211()()MNxy中点坐标公式： ， ，1(,)2(,)Nxy则线段 的中点 ；N21,xP点到直线距离公式： ，

2、 ，0(,)y:0lAxByC则点 到直线 的距离 ；l02d两平行直线间的距离公式： ， ，11:lxy22:0lAxByC则平行直线 与 之间的距离 ；1l2 2CdAB到角公式：（补充）直线 到直线 的角为11:0lxy22:0lxy， ，则 .（两倾斜角差的正切）(0,),)22tank二、直线与圆，圆与圆基础：1、圆的标准方程： ；22()()xaybr确定圆的两个要素：圆心 ，半径 ；,C2、圆的一般方程： ，（ ）；2 0xyDEF240DEF3、点 与圆 的位置关系：0(,)Py22:()()abr点 在圆内 ；x00xy点 在圆上 ；0(,)y22()()r点 在圆外 ；Px

3、00xayb4、直线 与圆 的位置关系：:lAByC22:()()xr从几何角度看：令圆心 到直线 的距离为 ，(,)ab:0lxyd相离 ；dr3相切 ；=dr相交 ；0若直线 与圆 相交于两点 ， ，:0lAxByC22:()()xaybrMN则弦长 ；2MNrd从代数角度看：联立 与圆 ，:0lAxByC22:()()xaybr消去 （或 ）得一元二次方程， ，4c相离 ；相切 ；0相交 ；相交时的弦长 .212122MNkxyk5、圆与圆的位置关系： 相离，外切，相交，内切，内含 .圆 ；圆 ，22111:()()Oxyr222:()()Oxyr根据这三个量之间的大小关系来确定： ，

4、， ；1r122相离 ；122r外切 ；O相交 ；12122rr内切 ；内含 ；1220Or6、两圆 ；圆 若相交，21:()()xyr222:()()Oxyr则相交弦所在的直线方程的求法：交轨法： 式 式，整理化简即可得到相交弦所在直线方程 .4三、椭圆：1、（第一）定义： ；1212PFaF2、椭圆标准方程及离心率：焦点在 轴上的椭圆标准方程为： ；x21(0)xyab长半轴； ：短半轴； 半焦距 .:ab:c椭圆中 ， ， 的关系： ；22ab椭圆的离心率 .(0,1)e3、弦长公式：直线 与椭圆 交于两点 ， ，:lykxb2:1()xyCmn1(,)Mxy2(,)Nxy则相交时的弦长

5、 212122MNkk.22112()4kxxa 弦长公式是由两点距离公式与两点斜率公式推导出来，故适用性比较广。4、中点弦结论（点差法）：椭圆 上的两点 ， ，2:1()xyCmn1(,)Mxy2(,)Nxy弦 的中点 ，MN22,xyP则 .2OPnkm1F2F55、焦点三角形面积：椭圆 的两个焦点分别为 、 ，点 是椭圆 上除左、右2:1(0)xyCab1F2PC端点外的一点，令 ，则：2FP.12tanPFSb该公式是由三角形面积公式、椭圆第一定义、余弦定理结合三角恒等变换推导出来。6、直线与椭圆位置关系：联立 与椭圆 ，:0lAxByC2:1()xymn消去 （或 ）得一元二次方程，

6、 ，24bac相离 ；0相切 ；相交 ；7、与点坐标相关的面积公式：， ， ，点 ， ， 不在一条直线上，(0,)O1(,)Axy2(,)ByOAB则： .1BS该公式是由三角形面积公式、余弦定理结合三角恒等式推导出。四、双曲线：（类比椭圆来学习双曲线）1、定义： ；1212PFaF2、双曲线标准方程及离心率、渐近线方程：焦点在 轴上的双曲线标准方程为： ；x21(0,)xyab实半轴； ：虚半轴； 半焦距 .:ab:c双曲线中 ， ， 的关系： ；22ab6双曲线的离心率 ；(1,)cea焦点在 轴上的双曲线的渐近线方程为 ；x byxa焦点到渐近线的距离 .db焦点在 轴上的双曲线相关性质

7、可以类比。y3、弦长公式：直线 与双曲线 交于两点 ，:lykxb2:1(0,)xyCab1(,)Mxy，2(,)N则相交时的弦长 .212122MNkxyk4、中点弦结论（点差法）：双曲线 上的两点 ， ，2:1(0,)xyCab1(,)Mxy2(,)Nxy弦 的中点 ，MN22,yP则 .2OPbka5、焦点三角形面积：双曲线 的两个焦点分别为 、 ，点 是双曲线 上除2:1(0,)xyCba1F2PC左、右端点外的一点，令 ，则：2FP.12tanPFbS6、直线与双曲线位置关系：当直线 与双曲线 的其中一条渐近线重合时，显然直线 与双曲线 无交点；lClC当直线 与双曲线 的其中一条渐

8、近线平行时，有且仅有一个交点，此时联立直线方程与双曲线方程，会得到一个一次方程（二次项系数为 0）；当直线 与双曲线 的渐近线既不平行也不重合时，l7此时联立直线方程与双曲线方程，消去 （或 ）得一元二次方程， ，yx24bac相离 ；0相切 ；相交 ；五、抛物线：1、定义： （到定点的距离等于到定直线的距离的这样的点的轨迹即为抛PlFd物线）.2、标准方程： （开口朝右的抛物线，开口朝其它方向的抛物线方程2(0)ypx及其它性质可以类比。）焦点 ，准线 ，离心率 .(,0)pF:l1e3、常见性质： 普通的弦长公式：直线 与抛物线 相交于两点 ， ，ykxb2(0)ypx1(,)Mxy2(,

9、)Nxy则相交时的弦长 .212122MNkk过焦点 的特殊弦长公式及 与 ：(,0)2pF12xyNxyFPQ抛物线图 2抛物线图 18（i）若弦 过焦点 ，则弦长 （ 为倾斜角）；MN(,0)2pF122sinpMNx（ii） ， .214x21y过抛物线 的顶点 作两条互相垂直的射线 、 分别2:(0)Cpx(,0)OOMN与抛物线 交于两点 ， ，弦 与 轴交于点 ，则 ，即：MNxP(2,0)p. OPF反之亦然，即：若 ，则 .4PF904、抛物线中过焦点弦的其它性质（补充，作为了解,切记不能死记硬背。如死记硬背，如下知识点不如不用掌握。可以尝试证明。）设 是过抛物线 焦点 的弦，

10、 ， ，MN2(0)ypx1(,)Mxy2(,)Nxy如图（抛物线图 2），则： ；sinMONS ；12Fp以 为直径的圆与准线相切； ；90PQ以 或 为直径的圆与 轴相切 .MFNy5、直线与抛物线的位置关系：若直线与抛物线的对称轴平行或重合，则有一个交点；若直线与抛物线的对称轴不平行，也不垂直，则根据判别式 的符号来确定交点个数；若直线与抛物线的对称轴垂直，画图数形结合很容易判断交点个数。9六、圆锥曲线的统一定义（第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离之比为定值 ，这样的点 的轨迹为圆锥曲线。eP（i）若 ，轨迹为椭圆 .(0,1)e例如：定点为左焦点 ，定直线为左准线 ，离心率 ；

11、(,0)Fc2axc(0,1)cea（ii）若 ，轨迹为抛物线 .1e（iii）若 ，轨迹为双曲线 .(,)七、圆锥曲线（椭圆与双曲线、圆）的第三定义到两定点 , 的斜率之积为定值 .(0)Ma(N21e例如：椭圆 ，左、右端点 ， ，椭圆上除左、右端点外任意214xy(,0)A(,)B一点 ，则 .(,)P4PABk八、椭圆、双曲线及抛物线的光学性质 .圆锥曲线大题常见题型（归纳总结）：题型一、求点的轨迹问题：常见方法：直接法：（设出所求点 ，根据题意列出等式，建立起 与 的关系。） 如椭(,)Pxyyx圆的标准方程的求出，本身就是利用这种方法。几何定义法：根据题意画出图形，通过已知条件及所

12、学知识（如三角形中位线、圆与圆内切与外切，直线与圆相切的等价条件）得出所求点 满足圆的几何定义或(,)Pxy椭圆、双曲线、抛物线的定义，从而求出点的轨迹方程；伴随动点转化法： 该类题型的特征往往是： 其中一个动点如点 的轨迹方0(,)Q程是已知的，另有一个定点 或多个定点，所求动点 与定点 和动点A(,)xyA10有着一定关系。这时只需这么做：根据已知条件得出： ，代入0(,)Qxy 0(,)xfyg到点 的轨迹方程中，从而建立起 与 的关系，求出点 的轨迹方程 .0 yx,P 交轨法： 如求两圆相交时的相交弦所在的直线方程，采用的就是这种方法。相交弦的两个端点同时在两个圆上，将这两个圆的方程

13、相减，进行整理即得到所求直线方程 .交轨法常用于解决两动曲线交点的轨迹方程问题。通过消参来求点的轨迹方程。 参数方程法：求动点 的轨迹方程，有时直接不能看出 与 的关系，但是设(,)Pxyyx其中一个中间变量为 ，发现根据题目已知，能很好的建立起 与 和 与 的关系，t tt即： ，然后通过消去参数 建立起 与 的关系从而求出点 的轨迹方()xftygtyx(,)P程 .题型二：直线与圆锥曲线的位置关系，相交弦长及最值问题通常的方法就是联立+韦达，结合弦长公式，将弦长表示为斜率 的函数，结合均值不k等式来求最值。在运用韦达定理时，如何表示 ， 以及 呢？12y12y121xy因为交点也在直线上，故： ， ，代入表示成与 和 相kxtkt12x1关.要注意：直线的斜率不存在的情况需单独讨论；验证判别式；题型三： 圆锥曲线中的恒过定点、定值问题直线或圆、椭圆恒过定点问题通常是先求出所求的曲线，一般都带有参数。如直线方程中带一个参数，就很容易找出定点。 但一般情况下，可能刚开始需设两个参数，然后求出曲线方程，灵活利用已知条件，最终的曲线方程是只含一个参数的情况。定值问题的求解思路，往往是：分析出一个点是哪两条曲线的交点，就联立哪两条曲线方程，用所设参数表示出动点或动直线，动中自有定数。无论怎样，“联立+韦达” 的方法在解题时大量被应用到。