1、一向量有关概念：1向量的概念：既有 又有 的量2零向量： ，大小: 方向 0r3单位向量：长度为 1 的向量叫做单位向量. 与 共线的单位向量是 _ar4相等向量： 相等且 相同的两个向量叫相等向量5平行向量（也叫共线向量）：方向 或 的非零向量 、 叫做平行arb向量，记作： ，规定 和任何向量平行。arb _arb三点 共线 _ _ABC、 、 例 1.下列关于向量的结论，正确的有(1)若| | |，则 或 ；arbrabr(2)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；(3)若 ， ，则 ；rcrr(4)向量 的长度与向量 的长度相等AB BA (5)若向量 与 同向，且| | |，则 .a
2、rbarbr(6)向量 与 不共线，则 与 都是非零向量(7)若 ， ，则 ；rcrr(8)若 ， ，则 ABCD 是平行四边形AB CD 6平面向量的基本定理：如果 和 是同一平面内的两个不共线向量，那么对1eur2该平面内的任一向量 ，有_ar若实数 使得 ，则_,120er若 同时 ，则_12arur1xyeu若 ， ，且 则_xey22brarb1.已知 和 是平面内的两个不共线向量，1r2 12123,ebeurru，用 与 表示74ceuarcr2.设 与 是不共线的两个非零向量，已知 2 p ， ， 2 .若arbAB arBC arCD arbA、B、D 三点共线，则 p 的值
3、为 ( )3.已知 分别是 的边 上的中线,且 ,则 可用向,EurABC,AEburrBu量 表示为_ab二、向量的运算1几何运算：向量加法：“平行四边形法则和三角形法则”：， ；ABCur ABCur向量减法：“三角形法则”：设 ABur当 ，四边形 ABCD 为Arur当 ，四边形 ABCD 为当 ，且 ，四边形 ABCD 为ABCrr向量不等式，|ababrrr例题1.已知ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足 ，下列结论中正确的PA PB PC 是AP 在ABC 的内部 BP 在ABC 的边 AB 上CP 在 AB 边所在直线上 DP 在ABC 的外部2.若|a|5，
4、b 与 a 的方向相反，且| b|7，则 a_b.3.已知| |8，| |5，则| |的取值范围AB AC BC 4. 下列命题中，真命题的个数为(其中 a0，b0)( )|a|b|ab| a 与 b 方向相同|a|b|ab| a 与 b 方向相反|ab|a b|a 与 b 有相等的模|a|b|ab| a 与 b 方向相同5.设平面内有四边形 ABCD 和点 O，若 a， b， c， d，且OA OB OC OD acbd，则四边形 ABCD 为( )A菱形 B梯形 C矩形 D平行四边形2坐标运算：若 12,axybyrr则 _/_ababrr(2)若 则 _ _12:,:,ABxABuABu
5、AB 的中点 D 坐标:_若 则ABC 的重心 G 坐标:_3:,Cxy1.已知 A(1,2)，B(4,2)，则把向量 按向量 (-1,3)平移后得到的向量是_ABurar2,若 ，则 _ +_(1,)abr(,)(1,2)crcb3.已知 (3，4)， (6，3) ， (5m，3m)若点 A、B、C 能构成三角OA OB OC 形，则实数 m 应满足的条件为 _3向量的数量级：1两个向量的夹角：对于非零向量 ， ，作 ，ab,AaOBburrA称为向量 ， 的夹角，当 0 时， ， 同向，当 时， ，0aba反向，当 时， ， 垂直。b22平面向量的数量积：如果两个非零向量 ， ，它们的夹角
6、为 ， 与arbr的数量积（或内积或点积） ，记作： ，其中r r_=_a_规定：零向量与任一向量的数量积是 0，3 在 上的投影为_ ，它是一个实数，但不一定大于 0。ba已知 ， ，且 ，则向量 在向量 上的投影为_|5|12baab5向量数量积的性质：设两个非零向量 ， ，其夹角为 ，则： ；_abr当 ， 同向时， ，特别地，arbr；当 与 反向时， ；当 为锐角时，2,r abr0，且 不同向；当 为钝角时， 0，且 不反向，ab 、 、非零向量 ， 夹角 ： ；abcos_ |_|rr例题1.已知向量 a、b 满足|a| 1，| b|4，且 ab2，则 a 与 b 的夹角为_2.
7、若|a|2，|b| ，a 与 b 的夹角为 45，要使 kba 与 a 垂直，则 k_23.已知向量 a 与 b 的夹角为 120，且|a|b| 4，那么 b(2ab) 的值为_4.若向量 a(1,1)，b(2,5) ，c(3 ，x)，满足条件(8ab) c30，则 x_5.若 a(2,3)，b(4,7)，则 a 在 b 方向上的投影为_6.已知平面向量 a(1，3)，b(4，2) ，a b 与 a 垂直，则 _7.平面向量 a 与 b 的夹角为 60，a(2,0)，|b|1，则 ab_8.在ABC 中，若 且 ，则ABC 的形状是（ ）bBCaA,0A、锐角三角形 B、直角三角形C、钝角三角
8、形 D、不能确定9.若 有 ，则向量 与 的夹角为bacba,21ab10.已知|a|4，|b| 3，(2a3b)(2 ab)61，求 a 与 b 的夹角 .11.已知 a(1,2)，b(2,1)，则与 2ab 同方向的单位向量为_与 2ab 垂直的单位向量为_12.在ABC 中， M 是 BC 的中点，AM1，点 P 在 AM 上且满足 ，则 ( AP 12PM PA PB )等于_PC 13.已知|a| ，| b|3，a 与 b 夹角为 45，求使 ab 与 ab 的夹角为钝角时， 的取2值范围14.已知 。2,1ba（1）若 ，求 ；/（2）若 的夹角为 600，求 ；, ba（3）若 与 垂直，求 与 的夹角。ba15.如图所示，在平行四边形 ABCD 中， DAB=60 0。求：,3,4ADB（1） ；（2） ；（3）BCADDA16. 为 的_1()3PGABPCururGAB 为 的_0 为 的_向量 所在直线过 的_()(|ruC 的内心_|0ABPCAPBurrurAC
