证明圆的切线经典例题.doc

1、1证明圆的切线方法及例题证明圆的切线常用的方法有：一、若直线 l 过O 上某一点 A，证明 l 是O 的切线，只需连 OA，证明OAl 就行了，简称“连半径，证垂直 ”，难点在于如何证明两线垂直.例 1 如图，在 ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的 O 交 BC 于 D，交 AC 于E，B 为切点的切线交 OD 延长线于 F.求证：EF 与O 相切.证明：连结 OE，AD.AB 是O 的直径，ADBC.又AB=BC，3=4.BD=DE，1= 2.又OB=OE，OF=OF ，BOFEOF（SAS）.OBF=OEF.BF 与O 相切，OBBF.OEF=90 0.EF 与O 相切.说明：此

2、题是通过证明三角形全等证明垂直的 2例 2 如图，AD 是BAC 的平分线，P 为 BC 延长线上一点，且 PA=PD.求证：PA 与O 相切.证明一：作直径 AE，连结 EC.AD 是BAC 的平分线，DAB=DAC.PA=PD，2=1+ DAC.2=B+DAB，1=B.又B=E，1=EAE 是O 的直径，ACEC， E+EAC=90 0.1+EAC=90 0.即 OAPA.PA 与O 相切.证明二：延长 AD 交O 于 E，连结 OA，OE.AD 是BAC 的平分线，BE=CE，OEBC.E+BDE=90 0.OA=OE，E=1.PA=PD，PAD=PDA.又PDA=BDE, 31+PAD

3、=90 0即 OAPA.PA 与O 相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例 3 如图，AB=AC，AB 是O 的直径，O 交 BC 于 D，DMAC 于 M求证：DM 与O 相切.证明一：连结 OD.AB=AC，B=C.OB=OD ，1=B.1=C.ODAC.DMAC，DMOD.DM 与O 相切证明二：连结 OD，AD.AB 是O 的直径，ADBC.又AB=AC,1=2.DMAC，2+4=90 0OA=OD，1=3.3+4=90 0.DC4即 ODDM.DM 是O 的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分

4、利用已知及图上已知.例 4 如图，已知：AB 是O 的直径，点 C 在O 上，且CAB=30 0，BD=OB，D 在 AB 的延长线上.求证：DC 是O 的切线证明：连结 OC、BC.OA=OC ，A=1= 30 0.BOC=A+1=60 0.又OC=OB，OBC 是等边三角形.OB=BC.OB=BD，OB=BC=BD.OCCD.DC 是O 的切线.说明：此题是根据圆周角定理的推论 3 证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例 5 如图，AB 是O 的直径，CDAB，且 OA2=ODOP.求证：PC 是O 的切线.证明：连结 OCOA 2=ODOP，OA=OC，OC 2=ODOP，D5.O

5、CPD又1=1，OCP ODC.OCP=ODC.CDAB ，OCP=90 0.PC 是O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例 6 如图，ABCD 是正方形，G 是 BC 延长线上一点，AG 交 BD 于 E，交 CD于 F.求证：CE 与CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出CFG 的外接圆，但CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取 FG 的中点 O，连结 OC，证明 CEOC 即可得解.证明：取 FG 中点 O，连结 OC.ABCD 是正方形，BCCD，CFG 是 RtO 是 FG 的中点，O 是 RtCFG 的外心.OC=OG ，3=G，ADBC ，G

6、=4.AD=CD ，DE=DE，ADE=CDE=45 0，ADECDE（SAS）64=1，1=3.2+3=90 0,1+2=90 0.即 CEOC.CE 与CFG 的外接圆相切二、若直线 l 与O 没有已知的公共点，又要证明 l 是O 的切线，只需作OAl，A 为垂足，证明 OA 是O 的半径就行了，简称： “作垂直；证半径”例 7 如图，AB=AC，D 为 BC 中点，D 与 AB 切于 E 点.求证：AC 与D 相切.证明一：连结 DE，作 DFAC，F 是垂足.AB 是D 的切线，DEAB.DFAC ，DEB=DFC=90 0.AB=AC，B=C.又BD=CD，BDECDF（AAS）DF

7、=DE.F 在D 上.AC 是D 的切线证明二：连结 DE，AD，作 DFAC，F 是垂足.AB 与D 相切，DEAB.AB=AC，BD=CD，1=2.7DEAB，DFAC，DE=DF.F 在D 上.AC 与D 相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明 DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明 DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.例 8 已知：如图，AC，BD 与O 切于 A、B，且 ACBD，若COD=90 0.求证：CD 是O 的切线.证明一：连结 OA，OB，作 OECD ，E 为垂足.AC，BD 与O 相切，ACOA，BDOB.ACBD，1+2+ 3+4=180 0.C

8、OD=90 0，2+3=90 0，1+ 4=90 0.4+5=90 0.1=5.RtAOCRt BDO. .ODCBAOA=OB ， .又CAO=COD=90 0，AOCODC，1=2.又OAAC，OECD,O8OE=OA.E 点在O 上.CD 是O 的切线.证明二：连结 OA，OB，作 OECD 于 E，延长 DO 交 CA 延长线于 F.AC，BD 与O 相切，ACOA，BDOB.ACBD，F=BDO.又OA=OB ，AOFBOD（AAS）OF=OD.COD=90 0，CF=CD，1=2.又OAAC，OECD ，OE=OA.E 点在O 上 .CD 是O 的切线.证明三：连结 AO 并延长，作 OECD 于 E，取 CD 中点 F，连结 OF.AC 与O 相切，ACAO.ACBD，AOBD.BD 与O 相切于 B，AO 的延长线必经过点 B.AB 是O 的直径.ACBD，OA=OB，CF=DF，9OFAC ，1=COF.COD=90 0，CF=DF， .CFDO212=COF.1=2.OAAC，OECD ，OE=OA.E 点在O 上 .CD 是O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明1=2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明1=2. 证明三是利用梯形的性质证明1=2，这种方法必需先证明A、O、B 三点共线.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.