等价无穷小量性质的理解、推广及应用.doc

1、太原师范学院毕业论文（设计）等价无穷小量性质的理解、推广及应用姓名学号年级2012级专业数学与应用数学系（院）理学院指导教师2014年3月13日太原师范学院2012届本科毕业论文（设计）I摘要等价无穷小量具有很好的性质,灵活运用这些性质,无论是在求极限的运算中,还是在正项级数的敛散性判断中,都可取到预想不到的效果,能达到罗比塔法则所不能取代的作用通过举例,对比了不同情况下等价无穷小量的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件,不仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可避免出现错误地应用等价无穷小量关键词等价无穷小量极限洛必达法则比较审敛法优越性太原师范学院2012届本科毕业论文（设计）IIABST

2、RACTEQUIVALENTINFINITESIMALHAVEGOODCHARACTERS,BOTHINOPERATIONOFTESTFORLIMITANDDETERMINEWHETHERTHEPOSITIVESERIESCONVERGESORDIVERGES,IFTHESEQUALITYTHATAPPLYFLEXIBLYCANOBTAINMOREEFFECT,THEEFFECTIONCANNOTBEREPLACEBYLHOSPITALRULETHISPAPERGIVEEXAMPLESANDCOMPARESOMEINSTANCETOPAYATTENTIONTOCONDITIONINAPPLIC

3、ATIONOFEQUIVALENTLIMIT,SOTHEQUESTIONCANBESIMPLYANDAVOIDERRORINAPPLICATIONKEYWORDSEQUIVALENTINFINITESIMALLIMITATIONLHOSPITALSRULECOMPARISONTESTSUPERIORITY太原师范学院2012届本科毕业论文（设计）III目录1引言12等价无穷小量的概念及其重要性质121等价无穷小量的概念122等价无穷小量的重要性质223等价无穷小量性质的推广23等价无穷小量的应用531求函数的极限532等价无穷小量在近似计算中的应用633利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限63

4、4等价无穷小量在判断级数收敛中的应用74等价无穷小量的优势841运用等价无穷小量求函数极限的优势842等价无穷小量在求函数极限过程中的优势95结论12参考文献13致谢14太原师范学院2012届本科毕业论文（设计）11引言等价无穷小量概念是微积分理论中最基本的概念之一,但在微积分理论中等价无穷小量的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过,其他地方似乎都未涉及到其实,在判断广义积分、级数的敛散性,特别是在求极限的运算过程中,无穷小具有很好的性质,掌握并充分利用好它的性质,往往会使一些复杂的问题简单化,可起到事半功倍的效果,反之,则会错误百出,有时还很难判断错在什么地方因此,有必要对等价无穷小量的性质进

5、行深刻地认识和理解,以便恰当运用,达到简化运算的目的2等价无穷小量的概念及其重要性质这部分在同济大学应用数学系主编的高等数学、华东师范大学数学系的数学分析、马振明老师和吕克噗老师的微分习题类型分析、张云霞老师的高等数学教学以及SONGQB,SHENJYONILLEGALCOPINGANDDISTRIBUTINGDETECTIONMECHANISMFORDIGITALGOODSJJOURNALOFCOMPUTERRESEARCHANDDEVELOPMENT中做了详细的讲解,下面是我对这部分的理解与总结推广部分的性质在书中未做证明,根据所学的知识以及数学方法我对其进行了证明21等价无穷小量的概念2

6、11定义若函数包括数列在某变化过程中以零为极限,则称该函数为这个变化过程中的无穷小量如函数2X,SINX,1COSX,LN1X均为当X0时的无穷小量对于数列只有一种情形,即N,如数列1N为N时的无穷小量或称为无穷小数列注意1绝对值非常小的数不是无穷小量,0是唯一的是无穷小量的数无穷小量无限趋近于0而又不等于02无穷小量是变量,与它的变化过程密切相关,且在该变化过程中以零为极限如函数1X当X时的无穷小量,但当X1时不是无穷小量3）两个（相同类型）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量4）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量212无穷小量的比较太原师范学院2012届本科毕业论文（设计）21若存在正数K和L,

7、使得在某0OUX上有FXKLGX,则称F与G为当0XX时的同阶无穷小量特别当0LIM0XXFXCCGX则称FX与GX是同阶无穷小2若LIMFXGX1,则称FX与GX是等价无穷小量,记为FXGX3若LIMFXGX0,则称FX是GX高阶无穷小,记作FXOGX注并不是任意两个无穷小均可比较,如当X0时,1SINXX与2X都是无穷小量,但它们不能进行阶的比较22等价无穷小量的重要性质设,等均为同一自变量变化过程中的无穷小,若,且LIM存在,则LIMLIM（1111111111LIMLIMLIMLIMLIMLIM）若,则性质表明等价无穷小量量的商的极限求法性质表明等价无穷小量的传递性23等价无穷小量性质

8、的推广1,且LIMC1,则证明因为LIM111LIMLIM11111LIMLIM11CC太原师范学院2012届本科毕业论文（设计）31LIM11CC所以而学生则往往在性质3的应用上忽略了“LIMC1”这个条件,千篇一律认为“,则有2在同一变化过程中,FXX,GXX,且1LIM1XX存在,则1LIM1GXFX1LIM1XX证明因为1LN1LIM1EXPLIMGXFXFXGXLN11EXPLIMLN1LN1FXXXXGXXLN1EXPLIMXX1LIM1XX故结论得证3若,且LIMABCD存在,则当ABCD0且LIMABCD存在,有LIMABCDLIMABCD证明因为111AAABBBAAABBB

9、,又,于是,LIMLIM1AABB,LIM1LIM10AABB,从而太原师范学院2012届本科毕业论文（设计）4AB1,即ABAB同理可证CDCD故命题得证4设在自变量的某一变化过程中,FX、GX、HX及1FX、1GX、1HX都是无穷小量若FX1FX、GX1GX、且11LIMFXGX存在且11LIM1FXGX,则有FG11FG若FX1FX、GX1GX、且11LIMFXGX存在且11LIM1FXGX,则有FG11FG若FX1FX、GX1GX、HX1HX且11LIMFXGX存在且11LIM1FXGX,则有111LIMFGFGHH证明因为11LIMFGFG11111LIM1GFFFGFFF11111

10、LIM11GFFGFF又因为11LIMLIM1FFGG,故上式等于1因为太原师范学院2012届本科毕业论文（设计）511LIMFGFG11111LIM1GFFFGFFF11111LIM11GFFGFF又因为11LIMLIM1FFGG,故上式等于1要证111LIMFGFGHH成立,只需证111LIM1HFGHFG,因为FG11FG,HX1HX,所以结论得证性质（1）、（3）的求极限中就使等价无穷小量的代换有了可能性,从而大大地简化了计算但要注意条件“LIMC1”,“ABCD0”的使用注意1）需要注意的是在运用无穷小替换解题时,等价无穷小量一般只能在对积商的某一项做替换,和差的替换是不行的2）以上

11、性质说明我们利用无穷小量的代换性质将无穷小的等价替换推广到和与差的形式,并对的不定式极限的求解作了简化,使其适用的函数类范围扩大,从而简化函数极限的运算过程,对不定式极限的求解有很大的意义3等价无穷小量的应用等价无穷小量的应用在冯录祥老师的关于等价无穷小量量代换的一个注记、王斌老师的用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨、华东师范大学数学系的数学分析、盛祥耀老师的高等数学、马振明老师和吕克噗老师的微分习题类型分析、SHIVAKUMARN,GMOLINAHSCAMACOPYDETECTIONMECHANISMFORDIGITALDOCUMENTSATHE2NDINTERNATIONALCONFE

12、RENCEINTHEORYANDPRACTICEOFDIGITALLIBRARIESCUSAAUSTINTEXASSN以及刘玉琏老师和傅沛仁老师的数学分析讲义中都有详细的分析与注解,在这一部分我只是按照自己的需要从中选取内容,再加上自己筛选例题解答例题写出来的请看下面的内容31求函数的极限在求极限中经常用到的等价无穷小量有XSINXARCSINXTANXTANARCXLN1XXE1,1COSX212X,1XALNXA,X0太原师范学院2012届本科毕业论文（设计）6例1求202TANLIM1COSXXX解当X0时,1COSX212X,2TANX2X原式202412LIMXXX8例2求30TAN

13、SINLIMXXXX解原式30SIN1COSLIMCOSXXX23012LIMCOSXXXXXSINXX,1COSX212X12此题也可用洛必达法则做,但不能用性质做所以,30TANSINLIMXXXX30LIMXXXX0,不满足性质的条件,否则得出错误结论032等价无穷小量在近似计算中的应用利用等价无穷小，在做近似计算，有时可以起到意想不到的效果，如例366564求的近似值解因为0X时,11NXXN所以66651120052086464故6656200517564的准确值，保留小数点后位可得为20052082005175/20051750000016相对误差为（这说明计算精度已经很高太原师范

14、学院2012届本科毕业论文（设计）733利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限例4求极限222201112LIMCOSSINXXXXXEX解由于函数的分母中2SINX2X（X0）,因此只需将函数分子中的21X与分母中的COSX和2XE分别用佩亚诺余项的麦克劳林公式表示,即2244111128XXXOX,221COS12XXOX）,222E1OXXX所以222201112LIMCOSSINXXXXXEX444420044221188LIMLIM33O1X22XXXOXXOXXXOXX112例5由拉格朗日中值定理,对任意的X1,存在0,1,使得LN1LN1LN101XXXX证明01LIM2XX解因2

15、2LN1,2XXXOX111XOXX,所以,根据题设所给条件有2212XOXXOXXX即2222XXOX,所以,220011LIMLIM22XXOXXX太原师范学院2012届本科毕业论文（设计）8以上例子能使我们更加深刻的理解无穷小与无穷小或函数与无穷小的相关运算,能更好的理解泰勒公式在求函数极限中的巧妙运用34等价无穷小量在判断级数收敛中的应用在正项级数的审敛判别法中,用得比较多的是比较审敛法的极限形式,它也是无穷小的一个应用比较审敛法的极限形式设1NNU和1NNV都是正项级数,如果LIMNNNUVL0L0或LLIMNNNUV,且级数1NNV发散,则级数1NNU发散当1时,NU,NV就是等价

16、无穷小量由比较审敛法的极限形式知,NU与NV同敛散性,只要已知UN,NV中某一个的敛散性,就可以找到另一个的敛散性例6N11SEC1N判定的敛散性解2N2211SEC112LIMLIM112NNNNN2111,0,SEC12NNNN此时2N11N又收敛,所以,N11SEC1N收敛例7研究11LN1NN的敛散性解1LN1LIM1NNNLIMLN1NNN1而1N发散,11LN1NN发散从以上的例题可以看出,在级数敛散性的判别中,等价无穷小量发挥了重要的作用在很多题目中,我们需要综合运用罗比达法则、等价无穷小量的性质、泰勒级数等相关知识,才能达到简化运算的目的太原师范学院2012届本科毕业论文（设计

17、）94等价无穷小量的优势这一部分的内容是我在听了郑老师和郭老师的数学分析课以后,由于他们教学方法的鲜明对比而深受启发,在他们讲解数学分析其他部分的比较与分析时,我也希望自己能找到一个他们没有整理过的知识点经过自己的努力完成对它的比较与分析,因此我选择了这一部分内容请看下面的内容41运用等价无穷小量求函数极限的优势例8求0LN13LIMSIN3XXX解解法一（等价无穷小量替换）由于LN13X等价于3X,SIN3X等价于3X,则,由无穷小替换定理有0LN13LIMSIN3XXX03XLIM13XX解法二（两个重要极限）由于1300SIN3LIMLN131,LIM13XXXXXX,所以有0LN13L

18、IMSIN3XXX1300LN13LN133LIMLIM1SIN3SIN333XXXXXXXX解法三（洛必达法则）0LN13LIMSIN3XXX003113LIMLIM13COS3COS313XXXXXX由此例可以发现,很多时候求解函数极限的方法多种多样其中包括极限的运算法则、两个重要极限、洛必达法则以及无穷小替换等等所以我们求解一道题时要进行全方位、多角度的思考,找出最适合、最恰当的解题方法对上例的几种不同解法进行比较,我们很容易地发现恰当利用无穷小替换能够快速、准确地求解一些函数极限例9求LN12LIMLN13XXX）解法一（等价无穷小量替换）由于当X时,有20,30XX,XLN122,L

19、N133XXX等价于等价于,则由无穷小替换定理有太原师范学院2012届本科毕业论文（设计）10LN12LIMLN13XXX）2LIM3XXX解法二（洛必达法则）LN12LIMLN13XXX）2LN213LN21212LIMLIM3LN3LN33132XXXXXXX我们知道通常碰到求解未定式极限的问题时,大家总是习惯使用洛必达法则但是由此例看求解上述极限时,很显然利用等价无穷小量替换更简单、便捷另外,值得注意的是对本例在使用洛必达法则计算时,如果不把23XX写到分母上,而是继续使用洛必达法则,就会出现循环计算,将永远得不到结果由此更能体现等价无穷小量替换的重要性同时本例还说明不仅是在极限存在时而

20、且在极限为无穷大时同样都可以使用等价无穷小量替换42等价无穷小量在求函数极限过程中的优势22011LIMSINXXX22220XSINLIM,SINXXXX上式可化为如果直接使用洛比达法则,而不用“等价无穷小替换”，那么在四次使用洛比达法则的过程中,分母上的求导运算将越来越复杂若对上式中分母上的无穷小量SINX用等价无穷小量X来替换,便可将上式化为较为简单的式子2240XSINLIMXXX,虽然让使用洛比达法则,但是其运算过程就变的很简单了请看下面的例题例100TANSINLIMSINTANXXX解原式220SECSINCOSLIMCOSTANSECXXX（用罗比塔法则）0SINTANLIMT

21、ANSINXXX（分离非零极限乘积因子并算出非零极限）220COSTANSECLIMSECSINCOSXXX（用罗比塔法则）0TANSINLIMSINTANXXX出现循环,此时用罗比塔法则求不出结果怎么办用等价无穷小量代换太原师范学院2012届本科毕业论文（设计）11因为XSINXTANXX0所以,原式0LIMXXX1而得解例11求2201LIMCOTXXX解原式22220TANLIMTANXXXXX40TANTANLIMXXXXXX402TANLIMXXXXX302TANLIMXXXX22002SEC12TANLIMLIM33XXXX23（TANXX）若使用洛必达法则可知原式22220TAN

22、LIMTANXXXXX22202SECTANLIM2TAN2TANSECXXXXXXXXX继续运用洛必达法则会将上式越变越复杂,难于求出最后的结果而通过运用无穷小的等价替换,将分母22TANXX替换成4X,又将分子分解因式后进行等价替换,从而很快地求出正确结果,由此可以看出单单运用洛必达法则有时并不能达到较好的效果,适时地运用等价替换可以简化替换通过上面的两个例子可看到洛必达法则并不是万能的,也不一定是最佳的,它的使用具有局限性,只要充分地掌握好等价无穷小量的4条性质就不难求出正确的结论太原师范学院2012届本科毕业论文（设计）12结论极限计算是微积分理论中的一个重要内容,等价无穷小量代换又是

23、极限运算中的一个重要的方法利用等价无穷小量代换计算极限,主要是指在求解有关无穷小的极限问题时利用等价无穷小量的性质、定理施行的等价无穷小量替换的计算方法,通常与洛必达法则一起使用,目的是使解题步骤简化,减少运算错误进行等价无穷小量代换的原则是整体代换或对其中的因子进行代换即在等价无穷小量的代换中,可以分子分母同时进行代换,也可以只对分子（或分母）进行代换当分子或分母为和式时,通常不能将和式中的某一项以等价无穷小量替换,而应将和式作为一个整体、一个因子进行代换,即必须是整体代换；当分子或分母为几个因子相乘积时,则可以只对其中某些因子进行等价无穷小量代换简言之,只有因子才可以进行等价无穷小量替换太

24、原师范学院2012届本科毕业论文（设计）13参考文献1同济大学应用数学系,主编高等数学第5版M高等教育出版社,2002,756592杨文泰,等价无穷小量代换定理的推广J甘肃高师学报,2005,10（2）11133王斌用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨J黔西南民族师专学报,20014华东师范大学数学系数学分析M北京高等教育出版社,20015盛祥耀高等数学M北京高等教育出版社,19876冯录祥关于等价无穷小量量代换的一个注记J伊犁师范学院学报,2006325267段丽凌,杨贺菊关于等价无穷小量替换的几点推广J河北自学考试,2007,068华东师范大学数学系数学分析（上册）M（第三版）北京高等教

25、育出版社,2004629马振明,吕克噗微分习题类型分析M兰州兰州大学出版社,199959,456510崔克俭,应用数学M,北京中国农业出版社,200411张云霞高等数学教学J山西财政税务专科学校学报,20010412任治奇,梅胤胜数学分析M渝西学院学报社会科学版,19980213刘玉琏傅沛仁数学分析讲义M北京人民教育出版社,200014SONGQB,SHENJYONILLEGALCOPINGANDDISTRIBUTINGDETECTIONMECHANISMFORDIGITALGOODSJJOURNALOFCOMPUTERRESEARCHANDDEVELOPMENT,2001,381121125

26、15SHIVAKUMARN,GMOLINAHSCAMACOPYDETECTIONMECHANISMFORDIGITALDOCUMENTSATHE2NDINTERNATIONALCONFERENCEINTHEORYANDPRACTICEOFDIGITALLIBRARIESCUSAAUSTINTEXASSN,199591716SHIVAKUMARN,GMOLINAHBUILDINGASCALABLEANDACCURATECOPYDETECTIONMECHANISMATHE1STACMCONFERENCEONDIGITALLIBRARIESCUSABETHESADAMARYLANDSN,199634

27、41太原师范学院2012届本科毕业论文（设计）14致谢走的最快的总是时间,来不及感叹,大学生活已近尾声,四年多的努力与付出,随着本次论文的完成,将要划下完美的句号本论文设计在王广兰老师的悉心指导和严格要求下业已完成,从课题选择到具体的写作过程,论文初稿与定稿无不凝聚着王广兰老师的心血和汗水,在我的毕业设计期间,王广兰老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议,王老师一丝不苟的作风,严谨求实的态度使我深受感动,没有这样的帮助和关怀和熏陶,我不会这么顺利的完成毕业设计在此向王广兰老师表示深深的感谢和崇高的敬意在临近毕业之际,我还要借此机会向在这四年中给予我诸多教诲和帮助的各位老师表示由衷的谢意,感谢他们四年来的辛勤栽培不积跬步何以至千里,各位任课老师认真负责,在他们的悉心帮助和支持下,我能够很好的掌握和运用专业知识,并在设计中得以体现,顺利完成毕业论文同时,在论文写作过程中,我还参考了有关的书籍和论文,在这里一并向有关的作者表示谢意我还要感谢同组的各位同学以及我的各位室友,在毕业设计的这段时间里,你们给了我很多的启发,提出了很多宝贵的意见,对于你们帮助和支持,在此我表示深深地感谢2014年3月13日