行测数量关系的常用公式.doc

1、第 1 页 共 9 页行测常用数学公式一、工程问题工作量工作效率工作时间； 工作效率工作量工作时间；工作时间工作量工作效率； 总工作量各分工作量之和；注：在解决实际问题时，常设总工作量为 1 或最小公倍数二、几何边端问题（1）方阵问题：1.实心方阵：方阵总人数（最外层每边人数） 2=（外圈人数4+1） 2=N2最外层人数（最外层每边人数1）42.空心方阵：方阵总人数（最外层每边人数） 2-（最外层每边人数-2层数） 2（最外层每边人数-层数）层数4=中空方阵的人数。无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多 8 人。3.N 边行每边有 a 人，则一共有 N(a-1)人。4.实心长

2、方阵：总人数=MN 外圈人数=2M+2N-45.方阵：总人数=N 2 N 排 N 列外圈人数=4N-4 例：有一个 3 层的中空方阵，最外 层有 10 人， 问全阵有多少人？ 解：（103）3484（人）(2)排队型：假设队伍有 N 人，A 排在第 M 位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M）人(3)爬楼型：从地面爬到第 N 层楼要爬（N-1）楼，从第 N 层爬到第 M 层要爬 层。N三、植树问题线型棵数=总长/间隔+1 环型棵数=总长/间隔 楼间棵数=总长/间隔-1（1）单边线形植树：棵数总长 间隔1；总长 =（棵数-1）间隔（2）单边环形植树：棵数总长 间隔； 总长 =棵数间隔（3）单

3、边楼间植树：棵数总长 间隔1；总长 =（棵数+1）间隔（4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的 2 倍。（5）剪绳问题：对折 N 次，从中剪 M 刀，则被剪成了（2 NM1）段四、行程问题 路程速度时间； 平均速度总路程总时间平均速度型：平均速度 21v（2）相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）相遇时间追及问题：追击距离=（大速度小速度） 追及时间背离问题：背离距离=（大速度+小速度）背离时间（3）流水行船型：顺水速度船速水速； 逆水速度船速水速。顺流行程=顺流速度顺流时间=（船速+水速） 顺流时间逆流行程=逆流速度逆流时间= （船速水速） 逆流时间（4）火车过桥型：列车在桥上

4、的时间（桥长车长）列车速度列车从开始上桥到完全下桥所用的时间（桥长车长）列车速度列车速度=（桥长+车长）过桥时间（5）环形运动型：反向运动：环形周长=（大速度+小速度）相遇时间同向运动：环形周长=（大速度小速度） 相遇时间第 2 页 共 9 页（6）扶梯上下型：扶梯总长=人走的阶数（1 ） ， （顺行用加、逆行用减）人梯u顺行：速度之和时间=扶梯总长逆行：速度之差时间=扶梯总长（7）队伍行进型：对头 队尾：队伍长度=（u 人 +u 队 ）时间队尾 对头：队伍长度=（u 人 u 队 ）时间 （8）典型行程模型：等距离平均速度： （ U1、U 2 分别代表往、返速度）21等发车前后过车：核心公式：

5、 ，21tT12tu人车等间距同向反向： 21ut反同不间歇多次相遇：单岸型： 两岸型： （s 表示两岸距离）31s213s无动力顺水漂流：漂流所需时间= （其中 t 顺 和 t 逆 分别代表船顺溜所需时间和逆流所需时间）顺逆 顺逆 t五、溶液问题 溶液=溶质 +溶剂 浓度=溶质溶液 溶质= 溶液浓度 溶液=溶质浓度 浓度分别为 a%、b%的溶液，质量分别为 M、 N，交换质量 L 后浓度都变成 c%，则 混合稀释型等溶质增减溶质核心公式： （其中 r1、r 2、r 3 分别代表连续变化的浓度）312r六、利润问题（1）利润销售价（卖出价）成本； 利润率 1；成 本利 润 成 本销 售 价 成

6、 本 成 本销 售 价（2）销售价成本（1利润率） ； 成本 。 利 润 率销 售 价1第 3 页 共 9 页（3）利息本金利率时期； 本金本利和（1+利率时期） 。本利和本金利息本金（1+利率时期）= ； 期 限利 率 ）（本 金 1月利率=年利率12； 月利率12=年利率。例：某人存款 2400 元，存期 3 年，月利率 为 102（即月利 1 分零 2 毫），三年到期后，本利和共是多少元？”2400（1+10236 ） =240013672 =328128（元）七、年龄问题关键是年龄差不变；几年后年龄大小年龄差倍数差小年龄几年前年龄小年龄大小年龄差倍数差八、容斥原理两集合标准型：满足条件

7、 I 的个数+满足条件 II 的个数两者都满足的个数=总个数两者都不满足的个数 三集合标准型： =CBA CBACBA三集和图标标数型：三集和整体重复型：假设满足三个条件的元素分别为 ABC，而至少满足三个条件之一的元素的总量为 W。其中：满足一个条件的元素数量为 x，满足两个条件的元素数量为 y，满足三个条件的元素数量为 z，可以得以下等式：W=x+y+z A+B+C=x+2y+3z九、牛吃草问题核心公式：y=(Nx)T 原有草量（牛数每天长草量）天数，其中：一般设每天长草量为 X注意：如果草场面积有区别，如“M 头牛吃 W 亩草时” ，N 用 代入，此时 N 代表单位面积上的牛数。M十、指

8、数增长 如果有一个量，每个周期后变为原来的 A 倍，那么 N 个周期后就是最开始的 AN 倍，一个周期前应该是当时的 。A1十一、调和平均数调和平均数公式： 21a等价钱平均价格核心公式： （P 1、P 2 分别代表之前两种东西的价格 ）21p等溶质增减溶质核心公式： （其中 r1、 r2、r 3 分别代表连续变化的浓度）312r十二、减半调和平均数核心公式： 21a十三、余数同余问题核心口诀：“余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期”注意：n 的取值范围为整数，既可以是负值，也可以取零值。第 4 页 共 9 页十四、星期日期问题闰年（被 4 整除）的 2 月有 29 日，平年（不能被 4

9、 整除）的 2 月有 28 日，记口诀：一年就是 1，润日再加 1；一月就是 2，多少再补算。平年与闰年判断方法 年共有天数 2 月天数平 年 不能被 4 整除 365 天 28 天闰 年 可以被 4 整除 366 天 29 天星期推断：一年加 1 天；闰年再加 1 天。大月与小月包括月份 月共有天数大月 1、3、5、7、8、10、12 31 天小月 2、4、6、9、11 30 天注意：星期每 7 天一循环；“隔 N 天”指的是“每（N+1)天” 。十五、不等式（1）一元二次方程求根公式：ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)其中：x 1= ；x 2= （b 2-4ac 0）acb42

10、acb4根与系数的关系：x 1+x2=- ，x 1x2=（2） bab)( b2abc3)(（3） ac32 ac3推广： nnxxx.2121（4）一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。（5）两项分母列项公式： =( )(ambab（6）三项分母裂项公式： = )2()(1m)2(1ab十六、排列组合（1）排列公式：P mnn（n1） （n2）（nm1） ， （mn） 。 5673A（2）组合公式：C P P （规定 0C1） 。 12345c（3）错位排列（装错信封）问题：D 10，D 21，D 32，D 49，D 544，D 6265，（4）N 人排成一圈

11、有 /N 种； N 枚珍珠串成一串有 /2 种。NAN十七、等差数列第 5 页 共 9 页（1）s n na 1+ n(n-1)d； （2）a na 1（n1）d； （3）项数 n 1； 2)(1na da（4）若 a,A,b 成等差数列，则：2Aa+b； （5）若 m+n=k+i，则：a m+an=ak+ai ； （6）前 n 个奇数：1，3，5，7，9，（2n1）之和为 n2 （其中：n 为项数，a 1为首项，a n为末项，d 为公差，s n为等差数列前 n 项的和）十八、等比数列（1）a na 1qn1 ； （2）s n （q 1） （3）若 a,G,b 成等比数列，则：G 2ab； a

12、n1）（ （4）若 m+n=k+i，则：a man=akai ； （5）a m-an=(m-n)d （6） q (m-n)（其中：n 为项数，a 1为首项，a n为末项，q 为公比，s n为等比数列前 n 项的和）nm十九、典型数列前 N 项和4.2 4.3 4.7 底数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11平方 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121底数 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22平方 144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484底数 23 24 25 26 27 28 29 3

13、0 31 32 33平方数平方 529 576 625 676 729 784 841 900 961 1024 1089底数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11立方数 立方 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331次方 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 20483 3 9 27 81 243 7294 4 16 64 256 10245 5 25 125 625 3125多次方数6 6 36 216 1296 7776第 6 页 共 9 页次方 1 2 3 4 5

14、 6 7 8 9底数1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 4 8 6 2 4 8 6 23 3 9 7 1 3 9 7 1 34 4 6 4 6 4 6 4 6 45 5 5 5 5 5 5 5 5 56 6 6 6 6 6 6 6 6 67 7 9 3 1 7 9 3 1 78 8 4 2 6 8 4 2 6 89 9 1 9 1 9 1 9 1 91 既不是质数也不是合数1.200 以内质数 2 3 5 7 101 103 10911 13 17 19 23 29 113 127 131 137 31 37 41 43 47 53 59 139 149 151 157 163 16

15、7 61 67 71 73 79 83 89 97 173 179 181 191 193 197 1992.典型形似质数分解91=713 111=337 119=717 133=719 117=913 143=1133 147=721153=713 161=723 171=919 187=1117 209=1911 1001=711133.常用“非唯一”变换数字 0 的变换: )0(N数字 1 的变换： )0(12aaN特殊数字变换： 4623684249312816456398256792103个位幂次数字： 141322二十、基础几何公式1.勾股定理：a 2+b2=c2(其中：a、b 为

16、直角边，c 为斜边)直角边 3 6 9 12 15 5 10 7 8直角边 4 8 12 16 20 12 24 24 15常用勾股数 斜边 5 10 15 20 25 13 26 25 172.面积公式：正方形 长方形 三角形 梯形2abacabhsin21hba)(21圆形 R2 平行四边形 扇形 R2h0363.表面积：正方体6 长方体 圆柱体2r 22rh 球的表面积4 R22a)(2acb 第 7 页 共 9 页4.体积公式正方体 长方体 圆柱体Shr 2h 圆锥 r 2h 球3aabc 3134R5.若圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则它的侧面积：S 侧 r l；6.图形等比缩

17、放型： 一个几何图形，若其尺度变为原来的 m 倍，则：1.所有对应角度不发生变化； 2.所有对应长度变为原来的 m 倍；3.所有对应面积变为原来的 m2倍； 4.所有对应体积变为原来的 m3倍。7.几何最值型：1.平面图形中，若周长一定，越接近与圆，面积越大。2.平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。3.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。4.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越大。数量关系归纳分析一、等差数列：两项之差、商成等差数列1. 60， 30， 20， 15， 12， （ ） 2. 23， 423， 823， （ ） 3. 1， 10， 31， 70， 1

18、23 （ ）二、 “两项之和（差） 、积（商）等于第三项”型基本类型： 两项之和（差） 、积（商）第 3 项； 两项之和（差） 、积（商）某数第 3 项。4. -1，1， （ ） ，1，1，2 5. ， ， （ ） ， ，0， 6. 1944， 108， 18， 6， （ ） 7. 2，4，2， （ ） ， ， 三、平方数、立方数1) 平方数列。1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121。 。 。2) 立方数列。 1，8，27，64，125，216，343。 。 。8. 1， 2， 3， 7， 46， （ ） 9. -1， 0， -1， （ ） ， -2， -5，-33 四

19、、升、降幂型10. 24， 72， 216， 648， （ ） A. 1296 B.1944 C. 2552 D. 324011. ， ， 1， 2， （ ） ， 24 A. 3 B.5 C. 7 D. 10八、跳跃变化数列及其变式13. 9， 15， 22， 28， 33， 39，55， （ ） A. 60 B.61 C. 66 D. 58九、分数数列（分子、分母各成不相关的数列或分子、分母交叉看）16. ， ， ， ， （ ） A. B. C. 1 D. 17. ， ， ， ， （ ） ， A. B. C. D. 十、阶乘数列18. 1， 2， 6， 24， （ ） ， 720 A. 10

20、9 B. 120 C. 125 D. 169十一、余数数列19. 15， 18， 54， （ ） ， 210 A. 106 B. 107 C. 123 D. 112技巧方法：(一) 观察数列的变化趋势。1、单调上升或下降的数列。 “先减加，再除乘，平方立方增减项”第 8 页 共 9 页2、波动性的数列。 “隔项相关”3、先升后降的数列。 “底数上升，指数下降的幂数列” “最后一项为分子为 1 的分数，倒数第二项为 1”1、16,25,34,43,52,61,70,8-1,即 1，32，81，64，25，6，1，1/8；整除判定基本法则1.能被 2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能

21、被 2(或 5)整除的数（余数） ，末一位数字能被 2(或 5、0)整除（余数）;能被 4(或 25)整除的数（余数） ，末两位数字能被 4(或 25)整除（余数）;能被 8(或 125)整除的数（余数） ，末三位数字能被 8(或 125)整除（余数）;2.能被 3、9 整除的数的数字特性能被 3(或 9)整除的数（余数） ，各位数字和能被 3(或 9)整除（余数） 。3.能被 11 整除的数的数字特性能被 11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被 11 整除。4.能被 6：能被 2 和 3 整除；能被 10：末位是 0；能被 12：能被 3 和 4 整除数量关系公式1.两次相遇公式：

22、单岸型 S=(3S1+S2)/2 两岸型 S=3S1-S2例题：两艘渡轮在同一时刻垂直驶离 H 河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙 岸，另一艘从乙岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸 720 米处相遇。到达预定地点后， 每艘船都要停留 10 分钟，以便让乘客上船下船，然后返航。这两艘船在距离乙岸 400 米处又重新相遇。问：该河的宽度是多少？A. 1120 米 B. 1280 米 C. 1520 米 D. 1760 米典型两次相遇问题，这题属于两岸型（距离较近的甲岸 720 米处相遇、距离乙岸 400 米处又重新相遇）代入公式 3*720-400=1760 选 D如果第一次相遇距离甲岸 X

23、米，第二次相遇距离甲岸 Y 米，这就属于单岸型了，也就是说属于哪类型取决于参照的是一边岸还是两边岸2.漂流瓶公式： T=（2t 逆*t 顺）/ （t 逆-t 顺）例题：AB 两城由一条河流相连，轮船匀速前进，AB，从 A 城到 B 城需行 3 天时间，而从 B 城到 A 城需行 4 天，从 A 城放一个无动力的木筏，它漂到 B 城需多少天？A、3 天 B、21 天 C、24 天 D、木筏无法自己漂到 B 城解：公式代入直接求得 243.沿途数车问题公式：发车时间间隔 T=(2t1*t2)/ （t1+t2 ） 车速/人速=(t1+t2)/ (t2-t1)例题：小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车

24、去学校，该路公共汽车也以不变速度不停地运行，没隔 6分钟就有辆公共汽车从后面超过她，每隔 10 分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的（ ）倍？A. 3 B.4 C. 5 D.6解：车速/人速=（10+6）/（10-6）=4 选 B4.往返运动问题公式：V 均=(2v1*v2)/(v1+v2) 例题：一辆汽车从 A 地到 B 地的速度为每小时 30 千米，返回时速度为每小时 20 千米，则它的平均速度为多少千米/小时？（ ）A.24 B.24.5 C.25 D.25.5解：代入公式得 2*30*20/(30+20)=24 选 A5.电梯问题：能看到级数=（人速+电梯速

25、度）*顺行运动所需时间 （顺）能看到级数=（人速-电梯速度）*逆行运动所需时间 （逆）6.什锦糖问题公式：均价 A=n /（1/a1）+(1/a2)+(1/a3)+(1/an)例题：商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所有费用相等，已知甲、乙、丙三种糖每千克费用分别为 4.4 元，6 元，6.6 元，如果把这三种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克成本多少元？A4.8 元 B5 元 C5.3 元 D5.5 元7.十字交叉法：A/B=(r-b)/(a-r)例：某班男生比女生人数多 80%，一次考试后，全班平均成级为 75 分，而女生的平均分比男生的平均分高 20% 第 9 页 共 9 页，则此

26、班女生的平均分是： 析：男生平均分 X，女生 1.2X 1.2X 75-X 1 75 = X 1.2X-75 1.8 得 X=70 女生为 849.一根绳连续对折 N 次，从中剪 M 刀，则被剪成（2 的 N 次方*M+1）段10.方阵问题：方阵人数=（最外层人数/4+1）的 2 次方 N 排 N 列最外层有 4N-4 人例：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是 96 人，问这个学校共有学生？析：最外层每边的人数是 96/4+125，则共有学生 25*25=62511.过河问题：M 个人过河，船能载 N 个人。需要 A 个人划船，共需过河（M-A）/ (N-A)次例题 (广东 05)有

27、37 名红军战士渡河，现在只有一条小船，每次只能载 5 人，需要几次才能渡完？ （ ）A.7 B. 8 C.9 D.10 解：（37-1）/（5-1）=915.植树问题：线型棵数=总长/间隔+1 环型棵数=总长/间隔 楼间棵数=总长/间隔-1例题：一块三角地带，在每个边上植树，三个边分别长 156M 186M 234M，树与树之间距离为 6M，三个角上必须栽一棵树，共需多少树？A 93 B 95 C 96 D 9912.星期日期问题：闰年（被 4 整除）的 2 月有 29 日，平年（不能被 4 整除）的 2 月有 28日，记口诀：一年就是 1，润日再加 1；一月就是 2，多少再补算例：2002

28、 年 9 月 1 号是星期日 2008 年 9 月 1 号是星期几？因为从 2002 到 2008 一共有 6 年，其中有 4 个平年，2 个闰年，求星期，则：4X1+2X2=8，此即在星期日的基础上加 8，即加 1，第二天。例：2004 年 2 月 28 日是星期六,那么 2008 年 2 月 28 日是星期几？ 4+15，即是过 5 天，为星期四。（08 年 2 月 29 日没到）13.复利计算公式：本息=本金*（1+利率）的 N 次方，N 为相差年数例题：某人将 10 万远存入银行，银行利息 2%/年，2 年后他从银行取钱，需缴纳利息税，税率为 20%,则税后他能实际提取出的本金合计约为

29、多少万元？ （ ）A.10.32 B.10.44 C.10.50 D10.61两年利息为（1+2%）的平方*10-10=0.404 税后的利息为 0.404*（1-20%）约等于 0.323，则提取出的本金合计约为 10.32 万元14.牛吃草问题：草场原有草量=（牛数-每天长草量）*天数例题：有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10 台抽水机需抽 8 小时，8 台抽水机需抽 12小时，如果用 6 台抽水机，那么需抽多少小时？A、16 B、20 C、24 D、28解：（10-X）*8=（8-X）*12 求得 X=4 （10-4）*8=（6-4）*Y 求得答案 Y=24 公式熟练以

30、后可以不设方程直接求出来16：比赛场次问题： 淘汰赛仅需决冠亚军比赛场次=N-1 淘汰赛需决前四名场次=N单循环赛场次为组合 N 人中取 2 双循环赛场次为排列 N 人中排 2比赛赛制 比赛场次单循环赛 参赛选手数（参赛选手数1 ）/2 循环赛双循环赛 参赛选手数（参赛选手数1 ）只决出冠（亚）军 参赛选手数1淘汰赛要求决出前三（四）名 参赛选手数8.N 人传接球 M 次公式：次数=（N-1）的 M 次方/N 最接近的整数为末次传他人次数，第二接近的整数为末次传给自己的次数例题： 四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式（）。A. 60 种 B. 65 种 C. 70 种 D. 75 种 公式解题： (4-1)的 5 次方 / 4=60.75 最接近的是 61 为最后传到别人次数，第二接近的是 60 为最后传给自己的次数