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多面体旋转体.doc

1、多面体和旋转体一. 教学内容:1. 主要内容:多面体和旋转体2. 考点分析:多面体和旋转体每年必考,不仅有直接求多面体和旋转体的面积和体积问题,也有已知面积或体积求几何体中某些元素或元素间的关系问题,近年来即使是考查空间线面位置关系的问题,也常以几何体为依托,该部分内容不仅在选择题、填空题中考,也在解答题中出现。解答题在高考中一直保持中档题的水平,近几年高考立体几何试题多采用一题多问的形式,降低了起点,分散了难点,既有证明,也有计算,一般要求学生先证后算,证明严谨、清楚,计算准确。【典型例题】例 1. 三 棱 锥 , , , , 求 这 个PABCaACaPBCA260三棱锥的体积。分析:由题

2、设 60PO在 平 面 上 的 射 影 必 在 的 平 分 线 上又 , , 可 知 是 正 三 角 形BACCBA考查方向:考查三棱锥体积的常用求法。分析一: 作 在 底 面 上 的 射 影 , 求 和 的 面 积P分析二: 注 意 到 且P1260知 AB同 理 , 把 作 为 底 , 则 为 高CPA分析三:割法、补法解法一:(用公式法解)如图,作底面三角形顶角 A 的平分线 AD,交 BC 于 D,过 P 点作底面的垂线,垂足为 O,由分析知射影 O 必在 AD 上,易知ABC 是正三角形,AB=2a,SaABC32 P C D A O E B 过 作 , 垂 足 为 , 连 , 则P

3、EBE在 中 , ,RtPAEPAa60aOEtg3236, ,在 中 ,t a2VSPPABC133解法二:(利用等积转换法解)在PAB 中aAB, ,260PBaa2 23()()cosAPPACBP是 直 角 三 角 形 , , 同 理 可 证 , 又 C平 面在 中 , ,PaBC32SaBC2VSPAaPAPBC133解法三:(用分割求积法解)由 解 法 二 知 , , 是 中 点 , 连 结aDBPDCPDBAP, , 平 面VVSBaACDBPAPAD2323解法四:(用补形求积法解)延长 AP 到 Q,使 PQ=a,连结 QB、QC,可得一个棱长为2a 的正四面体aPABCQB

4、C12213()例 2. 如 图 , 已 知 直 三 棱 柱 , 用 一 平 面 去 截 它 , 得 截 面 , 且 ,ABCAh1 221hS223, , 若 的 面 积 为 , 求 证 :介 于 截 面 与 下 底 面 之 间 的 几 何 体 体 积 。Vh3123()A1 C1 B1 C2 B2 h3 A2 h2 C B h1考查方向:不规则几何体体积的求法分析:将不规则几何体割补成规则几何体是求其体积的基本方法。VVCABBACB222证法一: 连 结 、 、 , 这 样 就 把 几 何 体 分 成 三 个 三 棱 锥ACB1CABABC222VSh2213VCABCABC2221VS

5、hACBCABC22222213VSh133()证法二: 连 结 、 , 并 作 于ABCE2侧 面 底 面1EaBh平 面 , 设 ,则 VBACAC2221313Shha()221313ShS()1323Sh()小结:证法一运用了“分割”和“等积变形”的方法,将所求的几何体分割成三棱锥,然后运用三棱锥的顶点与底面的轮换,使问题得到解决,证法二引入了参数,使运算得到了简化。例 3. 已知圆锥外切于半径为 1 的球,求当圆锥体积最小时它的表面积。考查方向:面积最值的求法。分析:用一个变量把目标函数表示出来。解法一:如图,作圆锥 SO 的轴截面,此时球的截面是该等腰三角形的内切圆 S C O1

6、A O B 连 结 , 设 , 则OBSB1 12是 圆 锥 的 高 , 圆 的 半 径 是1在 中 ,Rtctg1在 中 ,SOBt2圆 锥 的 体 积V132ctgt321tt()24()tg04当 即 时 ,tgtV21283min此 时 , ,BOS4S232BO全 侧 底 28解法二: 设 是 与 圆 的 切 点 , 连 结 , 设 棱 锥 高 , 底 半 径 , 母 线CSCSOhBr11SB=l在 中 , ,RtOhO111SCh()22Brl hr2在 中 ,RtSOr22()rh2Vrh锥 13242()()3h2Vh锥 2483()当 , 即 时 , , 此 时hVr2mi

7、nl32Srl全 底 侧 28小结:解法一是应用二次函数求最值,解法二是用基本不等式法求最值。例 4. 四面体的一条棱长是 x,其他各条棱长都是 1。(1)把四面体的体积 V 表示成 x 的函数 f(x);(2)求 f(x)的值域;(3)求 f(x)的单调区间。考查方向:立体几何与函数的关系解:(1)如图,设 BC=x,则 S 到面 ABC 的垂足 O 是ABC 的外心连 并 延 长 交 于 , 则 是 中 点 且OABCDADBC易 知 ,xx24422A设 的 外 接 圆 半 径 为 , 由RabcSABC得 ,RxSOx14134222 VABC302() S C D A O B ( )

8、21231232fxxx() ()而 为 定 值 , ,30当 且 仅 当 即 时 , 取 得 最 大 值xxfx22618()f()的 值 域 为 ( ,018( ) 当 时 , 取 得 最 大 值362xfx()又 0fx()()的 递 增 区 间 是 , , 递 减 区 间 是 ,062623小结:讨论函数 V(x)的性质要注意变量 x 的实际意义。例 5. 斜棱柱的底面是等腰三角形 ABC,AB=AC=10,BC=12,棱柱顶点 A1 到 A、B 、C 三点等距离,侧棱长是 13,求它的侧面积。解法一: 取 中 点 , 则BCDA设 底 面 , 则 在 上AO1( 三 垂 线 定 理

9、)CB1侧 面 为 矩 形取 中 点AE1B由 53121S侧 20396 C1 A1 B1 C A O D E B 解法二:取 BC 中点 D,则 C1 A1 B1 E C A D B ADBCAD1 1平 面ECEABEC11, 过 作 于 , 连 , 则 平 面E为 棱 柱 的 直 截 面等 腰 中 , 易 知A153BABcossin23Esi10S侧 ()1203396选题目的:熟练求斜棱柱侧面积的两种解法,旨在培养和提高计算能力,并令学生体会良好的逻辑思维能力是达到正确熟练运算的基础。例 6. 如图,在半径为 5cm 的球面上有 A、B 、C 三点,每两点间的距离分别是AB=6.4

10、cm,BC=4.8cm,CA=8cm,求:(1)过这三点的平面与球心 O 的距离。(2)B、C 两点间的球面距离。(3)过 OO 的球的直径 PD 的端点 P 与ABC 的三顶点组成的三棱锥 P-ABC 的侧面PBC 与底面所成的二面角。( ) 由 点 和 的 外 接 圆 组 成 的 圆 锥 与 球 的 体 积 比4PCOA A D C P O B O M 解: ( ) 截 面1OABC在 中AC486810.: : : :B为 直 角 三 角 形 , 且 90在 上O53, , 则故过这三点的平面和球心 O 的距离为 3cm(2) BCBC、 两 点 的 球 面 距 离 是 截 面 的 劣

11、弧 的 长在 中 ,Ocos223765 为 5376ar即 、 两 点 的 球 面 距 离 为BCcm53762aros()( ) 取 点 为 的 中 点 , 则 为 三 棱 锥 的 侧 面 与 底 面 所 成 二 面 角3MOMPABCP的 平 面 角而 ,POcmABc .8123在 中 ,RttgP5Marct arctg522, 故 所 求 二 面 角 为( ) 圆 锥41348132VmPABC()cO球 350()故 : : :圆 锥 球PABCO12350215【模拟试题】1. 圆台两底半径分别是 1 和 2,则这个圆台与截得它的圆锥的侧面积之比为( ) 。A. 2:1 B.

12、1:2 C. 3:4 D. 1:42. 设正方体的全面积为 4cm,一个球内切于该正方体,那么这个球的体积是( )A. 43cB. 83C. 63cmD. 23c3. 若干毫升的水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形器皿中,量得水面的高度为 6cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是( )A. 63cmB. 6cC. 2183cD. 312c4. ABC三边长 AB=5, BC=3,AC=4,设分别以此三边为轴,把 AC旋转一周所得旋转体的体积为 VAC、 、 , 那 么 它 们 的 大小关系是( )A. ABBB. VABCAC. VBCACD. VBCAB5. 三棱

13、锥的三条侧棱两两垂直,底面内一点到三个侧面的距离分别为 2cm、3cm、6cm,则这点到三棱锥顶点的距离为_。6. ABCD 是边长为 1 的正方形,E、F 分别为 BC、CD 的中点,沿 AE、EF 、AF 折成四面体,使 C、B、D 三点重合,那么这个四面体的体积等于_。7. 正方体的八个顶点中,有四个恰好为一个正四面体的顶点,那么正方体的表面积与这个正四面体的表面积之比是( )A. 23B. 62C. 3D. 28. 在直径为 AB=2 的半圆上有一点 P,过 P 的切线 CD 交 BA 延长线于 P,交过 B 的切线于C,现以 BD 为轴旋转得一圆锥,求圆锥体积的最小值,并求取得最小值时此圆锥的高。9. 如图,在正三棱柱 ABC1各棱长都等于 a,E 是 B1的中点, (I)求直线 C1与平面 AB1所成角的正弦值;(II)求证:平面 AC1平 面 ;(III)求点CE到 平 面 的 距 离 。 A1 C1 B1 E A C B

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