概率论习题册答案中国地质大学武汉.docx

1、概率论习题册答案第一章 随机事件及其概率1.1 样本空间与随机事件一、 计算下列各题1.写出下列随机实验样本空间：(1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；(2) 10 只产品中有 3 次产品，每次从中取一只（取出后不放回） ，直到将 3 只次品都取出，记录抽取的次数；(3) 一只口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中抽取 4 只，观察它们具有哪种颜色；(4) 有 三只盒子， 三只球，将三只球，装入三只盒子中，使每只盒子装一CBA, cba,只球，观察装球情况；(5) 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。解 1（1 ） ；18,54,3（2 ） ；0,（3 ） ；其中 分别表示红色，

2、白色和蓝色；,RWBBRB,（4 ） 其,;,;,;,;,AabCcbAaCcbaAcbCBab中 表示 求放在盒子 中，可类推；（5 ） 其中 分别表示三段之长。1,0,|),( zyxzyxzy zyx,2. 设 为三事件，用 运算关系表示下列事件：CBA, CBA,（1 ） 发生, 和 不发生； （2） 与 都发生, 而 不发生；ABCABC（3 ） 均发生； （4 ） 至少一个不发生；, ,（5 ） 都不发生； （6 ） 最多一个发生；CBA, CBA,（7 ） 中不多于二个发生； （8 ） 中至少二个发生。, ,解 （1） ；（2） ；（3） ；（4 ） ；（5） ；CBAABCCB

3、A（6） ；（7 ） ；（ 8）3下面各式说明什么包含关系？(1) ； (2) ； (3) ABABACB解 （1） ； （2） ； （3）4. 设 具体写出下列各事件：7,65 ,4 ,2 ,1098,7654,3 B(1) ， (2) ， (3) ， (4) ， (5) . BAAC)(BA解 （1）5 ； (2) 1,3,4,5,6,7,8,9,10； (3) 2,3,4,5；(4) 1,5,6,7,8,9,10； (5) 1,2,5,6,7,8,9,10。5如下图，令 表示“第 个开关闭合”, ，试用 表示下列iAi 6,5432,1i 621, ,A事件， （1 ）系统为通路， （

4、2）系统为通路。 系统 系统 1 5 2 3 1 2 3 4 4 6 1L1R2L2R解 (1) (2) 。4321A 52643643215 AA1.2 事件的频率与概率一填空题1设事件 的概率分别为 0.5，0.6，且互不相容，则积事件 的概率 0 BA, AB)(P；2设随机事件 及其和事件 的概率分别是 0.4、0.3 和 0.6，若 表示 对立,BAB事件，那么积事件 的概率 0.3 ；BA)(P3. 已知 P(A)=0.4, P(B)=0.3, (1) 当 A,B 互不相容时, P(A+B)= 0.7; P(AB)= 0 . (2) 当 B+A 时, P(A+B)= 0.4 ; P

5、(AB)= 0.3 ；4. 若 , ; ;)(,)(,)(ABP)(1g-)(BAPbg-= 。)(BAP1二、选择题1. 若二事件 和 同时出现的概率 P( )=0 则（C）ABAB（A） 和 不相容； （B） 是不可能事件；（C ） 未必是不可能事件； （D）P( )=0 或 P( )=0.ABAB2. 对于任意二事件 和 B有 (C )(P(A) ; （B） ;)(PA(ABP（C ） ; （D） .)() )()()3. 设 A , B 是任意两个概率不为 0 的不相容的事件,则下列事件肯定正确的（D ）(A) 不相容; (B) 相容; (C) P(AB)=P(A)P(B); (D)

6、P(A-B)=P(A).与 BA与4. 当事件 A、B 同时发生时，事件 C 必发生则（B）()()1;()()1; .PCPABD三、计算下列各题1. 已知 ，求事件 全不16)()(,0)(,41)()( BCPABPCBPA CBA,发生的概率。 8314)()()()()()1 1( ABCPACPBCPBA解2 某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有 20%读甲报，16%读乙报，14% 读丙报，其中 8%兼读甲和乙报，5% 兼读甲和丙报，4% 兼读乙和丙报，又有 2%兼读所有报纸，问成年人至少读一种报纸的概率。解 报 纸分 别 表 示 读 甲 ， 乙 ， 丙，设 CBA35.02.

7、4.05.8.014.6.02)()()()()()( ABCPACPBPP3. 某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业. 某学生通过口试概率为 80%，通过笔试的概率为 65%，至少通过两者之一的概率为 75%，问该学生这门课结业的可能性有多大？解 A=“他通过口试” ，B=“他通过笔试”,则 P(A)=0.8, P(B)=0.65, P(A+B)=0.75P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.8+0.65-0.75=0.70即该学生这门课结业的可能性为 70%。4. 向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为 0.025，其余二个各为 0.1. 只要炸中一个，

8、另两个也要爆炸. 求军火库发生爆炸的概率。解 设 A、B 、C 分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D 表示军火库爆炸这个事件，则P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.四、证明题试证 .）（）（）（）（ ABPAPBAP2证 )()()() ABP（）（。2()() APBPABP1.3 古典概型与几何概型一、填空题1一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为1、 2、3、4 概率为 ；122一批( 个)产品中有 个次品、从这批产品中任取 个，其中恰有个 个次品的NMnm概率是 ；nmMC/

9、3某地铁车站, 每 5 分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过 3 分钟的概率为 0.6 ；4在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 ”的概率为 0.68 56；5. 将 C、 C、 E、 E、 I、 N、 S 七个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 1/1260 ；6.在区间 中随机取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 的概率为 。0,1 1234二、选择题1. 张奖券中含有 张有奖的， 个人购买，每人一张，其中至少有一人中奖的概率是mk（B）(A) ; (B) ; (C) ; (D) .knCknmC1knmC1

10、krnmC12. 掷两枚均匀硬币,出现一正一反的概率是（ B）1113 ; () ; () ; ().3244ABD（ ）三、计算下列各题1已知 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1 ）两只都是正品 ；（2）两只都是次品 ；（3 ）一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。解 （1） ;452810Cp 451)(20Cp.451 () ;456)3( 242108 pp2. 把 10 本书任意放在书架上，求其中指定的 5 本书放在一起的概率。解 .421!056p所 求 概 率3. 某学生宿舍有 8 名学生，问（1）8 人生日

11、都在星期天的概率是多少？（2）8 人生日都不在星期天的概率是多少？（3）8 人生日不都在星期天的概率是多少？解 ;71)1(88p。;76)2(88p 8381()7p4从 0 9 中任取 4 个数构成电话号码（可重复取）求：（1 ）有 2 个电话号码相同，另 2 个电话号码不同的概率 ；p（2 ）取的至少有 3 个电话号码相同的概率 。q解 ；42.01)(4290ACp310490(2).37q5. 某工厂生产过程中每批出现次品的概率为 0.05,每 100 个产品为一批,检查产品质量时,在每一批任取一半来检查,如果发现次品不多于一个, 则这批产品可以认为是合格的.,求一批产品被认为是合格

12、的概率 。p解 ,510个 次 品个 产 品 中 有可 以 认 为 一 批。50 51491 95499501, CCp基 本 事 件 总 数 有 利 的 基 本 事 件 数所 求 概 率6. 随机地将 15 名新生平均分配到三个班中，这 15 名新生有 3 名优秀生.求（1）每个班各分一名优秀生的概率 （2 ）3 名优秀生在同一个班的概率 。pq解 基本事件总数有 种！ ！ 5 1(1) 每个班各分一名优秀生有 3! 种, 对每一分法,12 名非优秀生平均分配到三个班中分法总数为 种, 所以共有 种分法. 所以 p = .！ ！ 412！ ！ 412391254 3！ ！ ！ ！(2)3 名

13、优秀生分配到同一个班, 分法有 3 种, 对每一分法,12 名非优秀生分配到三个班中分法总数为 , 共有 种, 所以 q = 。！ ！ 521！ ！5 21391652！ ！ ！ ！7. 随机的向半圆 （ 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域20xay的概率与区域面积成正比，求原点和该点连线与 轴的夹角小于 的概率。X4解 这是几何概型, 样本空间占有面积为 ,2 1a所求事件占有面积为 2 41a所以, 所求概率 。12 212ap8. 设点 随机地落在平面区域 D: |p|1, |q|1 上, 试求一元二次方程),(q两个根 (1) 都是实数的概率, (2) 都是正数的概率。02px.

14、2413)41( , ,0 )1( 222dpqp率方 程 两 根 都 是 实 数 的 概 即方 程 两 根 都 是 实 数解 .481 ,0 ,0 )2( 122dpqqp率方 程 两 根 都 是 正 数 的 概方 程 两 根 都 是 正 数1.4 条件概率三、计算下列各题1某厂的产品中有 4%的废品，在 100 件合格品在有 75 件一等品，试求在该产品任取一件的是一等品的概率。解 “任 取 一 件 是 一 等 品 ”，“任 取 一 件 是 合 格 品 ”令 BA。72.05.)4.01()|()( APB2. 设某种动物由出生而活到 20 岁的概率为 0.8，活到 25 岁的概率为 0.

15、4，求年龄为20 岁的这种动物活到 25 岁的概率。解 岁 ”“该 动 物 活 到岁 ”，“该 动 物 活 到设 2520BA。5.84)(|(PB3. 在 100 个次品中有 10 个次品 ，每次从任取一个（不放回） ，求直到第 4 次才取到正品的概率。 解 =“第 次取到正品” =1，2，3 ，4.iAii069.79810 )|()|()|()( 3214213121432 APAPAAP4. 比赛规定 5 局比赛中先胜 3 局为胜，设甲、乙两人在每局中获胜的概率分别为 0.6和 0.4，若比赛进行了两局，甲以 20 领先，求最终甲为胜利者的概率。解 设 B=“最终甲胜”，A i=“第

16、i 局甲胜”936.06.04. )()()()()|( 2233 215432143211221 APAAPP四、证明题1. 若 ，且 证明 。0)(,)(BPA)(|(APB)(|(BP证 )()()( ),(|( A则因 为。)()()(|( BPAPBA所 以2. 证明事件 与 互不相容，且 0 1,则 。）（ ）（）（ BPA1|证 。)(1)()| BPABAP（1.5 全概率公式和贝叶斯公式三、 计算下列各题1. 三个箱子, 第一个箱子里有 4 个黑球 1 个白球, 第二个箱子里有 3 个黑球 3 个白球, 第三个箱子里有 3 个黑球 5 个白球, 求（1）随机地取一个箱子，再从这个箱子取出一球为