高中数学 椭圆 超经典 知识点+典型例题讲解.doc

1、 学生姓名 性别 男 年级 高二 学科 数学授课教师 上课时间 2014 年 12 月 13 日 第（ ）次课共（ ）次课 课时： 课时教学课题 椭圆教学目标教学重点与难点选修 2-1 椭圆知识点一：椭圆的定义平面内一个动点 到两个定点 、 的距离之和等于常数( )，这个动点 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若 ，则动点 的轨迹为线段 ；若 ，则动点 的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义方程 化简的结果是 1022yxyx2若 的两个顶点 ， 的周长为 ，则顶点 的轨迹方程是 ABC4,0,ABAC18C3.已知椭圆2169xy=1 上的一点 P 到椭圆

2、一个焦点的距离为 3,则 P 到另一焦 点 距 离 为 知识点二：椭圆的标准方程1当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中 ；2当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中 ；注意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，都有 和 ；3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为 ， ；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为 ， 。讲练结合二利用标准方程确定参数1.若方程 + =1（1）表示圆，则实数 k 的取值是 .25xk3y（2）表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 .（3）表示焦点在 y 型上

3、的椭圆，则实数 k 的取值范围是 .（4）表示椭圆，则实数 k 的取值范围是 .2.椭圆 的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 2510x,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 ,3椭圆 的焦距为 ，则 = 。24ym2m4椭圆 的一个焦点是 ，那么 。52kx),0(k讲练结合三待定系数法求椭圆标准方程1若椭圆经过点 ， ，则该椭圆的标准方程为 。(4,0)(,3)2焦点在坐标轴上，且 ， 的椭圆的标准方程为 21a2c3焦点在 轴上， ， 椭圆的标准方程为x:b64. 已知三点 P（5，2） 、 （6，0） 、 （6，0 ） ，求以 、 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方1F2F1F2

4、程；知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆 的的简单几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程 ，把 x 换成x，或把 y 换成y，或把 x、y 同时换成x、y，方程都不变，所以椭圆 是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围椭圆上所有的点都位于直线 x=a 和 y=b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|a，|y|b 。（3）顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆 （ab0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（a，0） ，A 2（a ，0） ，B 1（0，b） ，B 2（0，b） 。线段 A1A

5、2，B 1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A 1A2|=2a，|B 1B2|=2b。a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 e 表示，记作 。因为 ac 0，所以 e 的取值范围是 0e 1。e 越接近 1，则 c 就越接近 a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于 0，c 就越接近 0，从而 b 越接近于 a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 x2+y2=a2。注意：椭圆 的图像中线段的几何特征（如下图）：（1） ， ， ；（2） ， ， ；（3） , ， ；讲练结合

6、四焦点三角形1椭圆 的焦点为 、 ， 是椭圆过焦点 的弦，则 的周长是 。2195xy1F2AB1F2ABF2设 ， 为椭圆 的焦点， 为椭圆上的任一点，则 的周长是多少？F240562yxP1P的面积的最大值是多少？1P3设点 是椭圆 上的一点， 是焦点，若 是直角，则 的面积为 P2156xy12,F12FP12FP。变式：已知椭圆 ，焦点为 、 ， 是椭圆上一点 若 ，14692yx1F2P6021PF求 的面积21FP五离心率的有关问题1.椭圆 142myx的离心率为 21，则 m 2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为 ，则此椭圆的离心率 为 012e3椭圆的一焦点与短轴两顶点

7、组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为 4.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、 F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若 F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。5.在 ABC 中， 3,2|,30ABCS若以 AB， 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率 e 讲练结合六.最值问题1.椭圆 两焦点为 F1、F 2，点 P 在椭圆上，则|PF 1|PF2|的最大值为_，最小值为214xy_2、椭圆 两焦点为 F1、F 2，A(3，1)点 P 在椭圆上，则|PF 1|+|PA|的最大值为_，最2156xy小值为 _3、已知椭圆 ，A(1，0)，P 为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值

8、 最小值 214xy。4.设 F 是椭圆 =1 的右焦点,定点 A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点 P 使|PA|+2|PF|最小,32x4y求 P 点坐标 最小值 .知识点四：椭圆 与 （ab0）的区别和联系标准方程图形焦点 ， ，焦距范围 ， ，对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称顶点 ， ，轴 长轴长= ，短轴长= 离心率准线方程性质焦半径 ， ，注意：椭圆 ， （ab0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有 ab0 和 ，a 2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。1如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对

9、称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件 a、b，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2椭圆标准方程中的三个量 a、b、c 的几何意义椭圆标准方程中，a 、 b、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：ab0，ac 0，且 a2=b2+c2。可借助下图帮助记忆：a、b、c 恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a 是斜边，b、c 为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦

10、点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 x2、y 2 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4方程 Ax2+By2=C（A、B、C 均不为零）表示椭圆的条件方程 Ax2+By2=C 可化为 ，即 ，所以只有 A、B、C 同号，且 AB 时，方程表示椭圆。当 时，椭圆的焦点在 x 轴上；当 时，椭圆的焦点在 y 轴上。5求椭圆标准方程的常用方法： 待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数 、 、 的值。其主要步骤是“先定型，再定量” ；定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点

11、的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则 c 相同。与椭圆 （ab0）共焦点的椭圆方程可设为 （kb 2） 。此类问题常用待定系数法求解。7判断曲线关于 x 轴、y 轴、原点对称的依据： 若把曲线方程中的 x 换成x，方程不变，则曲线关于 y 轴对称；若把曲线方程中的 y 换成y，方程不变，则曲线关于 x 轴对称；若把曲线方程中的 x、y 同时换成x、y，方程不变，则曲线关于原点对称。8如何解决与焦点三角形PF 1F2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？ 与焦点三角形 有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理） 、三角形面积公式 相结合的方法进行计算与解题，将有关线段 、 ，有

12、关角 ( )结合起来，建立 、 之间的关系. 9如何研究椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率 ，因为 c2=a2b 2，ac0，用a、b 表示为 ，当 越小时，椭圆越扁， e 越大；当 越大，椭圆趋近圆，e 越小，并且 0e1。课后作业1 已知 F1(-8， 0)，F 2(8，0)，动点 P 满足|PF 1|+|PF2|=16，则点 P 的轨迹为( )A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线2、椭圆 左右焦点为 F1、F 2，CD 为过 F1 的弦，则 CDF1 的周长为_269xy3 已知方程 表示椭圆，则 k 的取值范围是( )21kA -10 C k

13、0 D k1 或 k-14、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为 10，短轴长为 6 (2)长轴是短轴的 2 倍，且过点(2 ，1) (3) 经过点(5，1)，(3， 2) 5、若ABC 顶点 B、C 坐标分别为 (-4，0)，(4 ，0)，AC、AB 边上的中线长之和为 30，则ABC 的重心 G 的轨迹方程为_6.椭圆 的左右焦点分别是 F1、F 2，过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 P 点。21(0)xyab若F 1PF2=60，则椭圆的离心率为 _7、已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的的离心率为_椭圆方程为 _.8 已知椭圆的方程为 ，P

14、 点是椭圆上的点且 ,求 的面积 2143xy1260FP12F9.若椭圆的短轴为 AB，它的一个焦点为 F1，则满足ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率为 10.椭圆 上的点 P 到它的左焦点的距离是 12，那么点 P 到它的右焦点的距离是 610211已知椭圆 的两个焦点为 、 ，且 ，弦 AB 过点 ，则 的周长)5(12ayx12821F1F2AB12.在椭圆 + =1 上求一点 P,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍5913、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为 ,那么这个椭圆的方程为 。4x14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率 =_.e15、

15、椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,准线方程为 ,椭圆上一点到两焦点的距离分别为 10 和 14,则椭圆18y方程为 _.16.已知 P 是椭圆 上的点,若 P 到椭圆右准线的距离为 8.5,则 P 到左焦点的距离为_.90259yx17椭圆 内有两点 ， ，P 为椭圆上一点，若使 最小，则最小值为 1625,A0,3B53AB18、椭圆 =1 与椭圆 =(0)有 3x2y2xy(A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对19、椭圆 与 （0k9）的关系为192515(A)相等的焦距 (B)相同的的焦点 (C)相同的准线 (D)有相等的长轴、短轴20、椭圆 上一点 P 到左准线的距离为 2，则点 P 到右准线的距离为 6yx21、点 为椭圆 上的动点, 为椭圆的左、右焦点 ,则 的最小值为_ ,此时点P12521,F21PF的坐标为_.