1、1三、计算下列各题（每小题 7 分，共 49 分）：1求极限 .01limsinxxe解： 200()liliixxx e0lim2xxe1.2. 已知 在 x = 0 处可导，求常数 .arcos,()fxb ba,解：因为 f(x)在 x = 0 处可导必连续，所以 00li()li()xxfff2得又因为 f(x)在 x = 0 处可导，所以 0()limxf存 在2000arcos1limli()2li, (0).xxxbaf 3. . rctn2 “yxey设 方 程 确 定 是 的 函 数 ,求 与解： arct 22 1()yxxyxarctn2()() yxxye化 简 得22
2、2(1)()1()“ “()xyxyy又将 代 入 上 式 化 简 得 4. .dxtAyttfyextftf tf )()(cos0)()( 2) 使试 求若可 微 且设解： 2 2() ()sinsin()ft ftdyAtxee2()iftdx25. 求 . dx2ln解： 2lnlxd1l2lnx C6. 20(),(1);()()xtFedFxyFx设 试 求 ： 的 极 值 曲 线 的 拐 点 的 横 坐 标2440120 “()1),“()()0.xtxexFFF 解 ： 令是 的 极 小 值 点 的 极 小 值 为4121 (2)“()2)0,1 “(), 0,21 “(),1
3、 () .2xexxFxxyx又 令当 -时 , 当 时 当 时 ,曲 线 拐 点 的 横 坐 标 为7计算 .21sinxd解： 2211ixdx12()10arctnx四、应用题（每小题 8 分，共 16 分）：1. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半圆截面的面积为 5m2. 问底宽 x 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？解：设截面的周长为 l , 已知 1 分2xly3截面的面积为 ,即 3 分2()5xy8xy故 4 分1040,4xl因为 ， 令 得驻点 6 分22,“llxl0x又因为 ，驻点唯一，故极小值点就是最小值点. 7 分“0l所以截面积的底宽为 才
4、能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省. 40x8 分2. 求抛物线 及其在点 和 处的切线所围成的图形的面积 .243yx(0,3)(,0)解： 2 分0()42xxxy所以抛物线 在点 和 处的切线方程分别为2y(,)(,)2 分3,6xyx且这两条切线的交点为 ，则所求图形的面积为()28 分3 3220 2 9(4(643)4Sxxdxxd五、证明题（5 分）：证明：当 x 1 时， . x1ln)(证明 令 ， 1 分()ftt在区间 上满足拉格朗日中值定理，于是在 中存在至少一点 ，使得 ()ft,x ),(xx 1ln)l(1ln即 2 分l)(xx而 ，又因为 ，所以
5、，0nxxln)1l(即 .（ x 1） 2 分x1ln)(4或 ，则xxyln)1l()(令 )1(01ln)1l( xxy三计算题（每小题 7 分，共 42 分）. 求极限 . 2求极限 .0lim1xe 20lim1ln()xx3. 设方程 确定 为 的函数，求 .2cosxyyxdy4. 设函数 在 内可导，并且 ，求 。()f,ln1()xft()fx5. 求不定积分 . 6. 求定积分 .arcosdx 2d三. 20001(1)(1)limlilimx xxx xeee002lilixxx2 .212ln()2l()00lim1ln()lim1lnxxx e3. 解：方程两边同时
6、对 求导得()sixyeyx故 .dsin2xy4. 解：因 ，故 ，即 。因此ln11()d(l)ftfx 1(ln)fx2()xfe2e5. 解： 22arcosdarcosarcos11xxdxxC6. 解： .22 220dxxxx20ln()|l6x2.求由曲线 ， ， 所围平面图形的面积 ；并求该平面图形绕 轴旋转一周所得的旋转2y1ySy体的体积 . (8 分)V解：所求平面图形的面积53121220101S|ln|lydyy旋转体的体积 12212001V()()|yddyy1.计算求sin30(colimxx2.求 120arsid.三、解答下列各题 (每小题6分, 共 18
7、分) 1、设 ，研究 在点 处的左、右连续性1/ 00xfe()fx0.2、设 由方程 所确定，求()yxyy.3、设 ，求 及2341)()fx(1)f3f.四、解答下列各题 (每小题7分, 共28分) 1、确定 的单调区间2xye(-).2、求极限2xx013sinlim. 3、计算 d4、计算 sil.五、解答下列各题 ( 7+10分, 共 17 分)1. 求 在 上的最大值与最小值2lnxfx4,1.七、解答题 (本题 6分)已知 的一个原函数为 ，则试求：xf 2lxfd.六、证明题 (本题 7分) 试用你所学过的高等数学知识证明：当 时， .031tanx五.证明题.设函数 在 上连续，在 内可导，且 ，证明：在 内至少()fx,1,112()d(0)ff0,1存在一点 ，使得 。c求微分方程 的通解2xye61写出方程 的待定特解的形式（ ）xy32 baxy*2.求方程 的通解。 （ ）ycos4 cy2sin41si2o13.求微分方程 的通解.0)(5)(txtx解：特征方程为： (2)2r解得： (4)iir1,1故所求的通解为： (6)2sinco()tCtetxt4.设 满足方程 ，且其图形在点 与曲线 相切，求)(xyxy23)1,0(12xy函数 。
