(高数2)2014.6.23.doc

1、一 多元函数1 定义域： P63、5 （4）Z=ln(y-x)+ 的定义域122解： (x,y) | y-x0,x0, 2+20)2+2 2解：在极坐标系中，D=( ),|0 a,0 2 , 故(,)=(,)= 200(,)(2)3、三重积分的计算1、没要求方法的什么都可以 2、要求方法的 注意！ 柱面（重点） 直角坐 标 系 164 页 9（2）利用柱面坐标计算下列三重积分；解 由 消去 z 得2xyz及 =，从而得知 在 xOy 面上24的投影区域为 =(,)| 24xy在柱面坐标下积分区域 可以表示为 ,z0， ，223106xydvd于 是12（ 3） （4 ） ；利用三重积分计算下列

2、由曲面所围成的立体的体积；（3） 22;zxyzxy及解 在柱面坐标下积分区域 可表示为21,z0， ，22036vdd于 是（4） 2254;zxyz及解 在柱面坐标下积分区域 可表示为225,z0， ，251042253vddz于 是4、曲面积分：P206 定理二设区域 G 是一个单连通域，函数P（x,y ） ,Q(x,y)在 G 内具有一阶连续偏导数，则曲线积分在 G内与路经无关（或沿+G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是 在 G内恒成立。=+(证 明曲 线积 分和路径无关三、级数1、重要级数（3 种，收敛与发散）几何（等比）级数+.=1=+2 (0)|1收1发 调和级数1+

3、+ + . .发散121314 12、判断级数收敛条件：（1）P251.性质 2（2）性质：a、一般式 b、比值法 c、比较法 d 根值法 e 交错级数 P268 页1（5）用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性；（5） 10na解：当 时， ，一12n般项不趋于 0 故 1a发 散当 a1 时， ，而级数n收敛，故由比较审敛法知1nan收 敛2、 （2） 、 （3）3（1）43幂级数的收敛区间P273例 1 求幂级数： .)1(.23nxx的收敛半径与收敛域。解：因为1lim1nan所以收敛半径 R对于端点 x=1，级数成为交错级数 .1)(.312n级数收敛； 对于端点 x

4、=-1，级数成为 .级数发散，因此，收敛域是(-1,1P277一、求下列幂级数的收敛域（5） .12.1023nxx解： 21)(2*)( 221 limlilim nnann1)(2*)( 2lilim nnnn故收敛半径为 R=1/2，因为当 x=1/2时，幂级数成为 1)(21nn收敛，2,dvxyz其 中 是 由 曲 面 及平 面 所 围 成 的 闭 区 域 。当 x=-1/2 时，幂级数成为也收敛，所以收敛域为-=1（ 1） 2+11/2， 1/2 （6） 12)(1nxn这里级数一般项为 )(12xunn因为 21321limlixnxunn 有此值审敛法，2， ，幂级数绝对收敛，

5、 1x， 时幂级数发散，故收敛半径 R=1当 x=1 时幂级数为： 12)(1nn是收敛的，当 x=-1 时幂级数为： )(1n也是收敛的，所以收敛域为-1，1。（7）21nnx解：令 t= ,先讨论 的收x2=12121敛域。 = ，故lim|+1| =lim122+12112该级数的收敛半径为 2，并在 t=2 处级数发散，因此，原级数的收敛半=1212径为 ，并在 x= 处级数发散，即原2 2级数的收敛域为(- )。2， 28=1(5)解： = =1,故收敛半|+1| +1径为 1。当|x-5|1时，级数发散。当 x-5=1，即在 x=6 处， 发散，=11当 x-5=-1,即在 x=4

6、 处， 收敛，=1(1） 故原级数的收敛域为4,6) 。4 展开幂级数1（展开式） 【简单的】函数展开成幂级数1、=1+22!+!=01! (+)2、sin=33!+55!+(1)121(21)!(+)3、cos=122!+44+(1)2(2)!(+)4、11=1+2+=0 (11)5、11+=1+2+(1)=0(1) (11)6、ln(1+)=22+(1)+1+1=0(1) (11)（2）P283.例题及 p285 的 4、5 题5、和函数（课上那两道）0100220()2limli,(1),()13()()(1)nnnnnnnnxxaRxxsdx求 级 数 的 和级 数 在 （ ） 内 收

7、 敛又 时 发 散时 发 散 （ -）考 虑 级 数则0221()()nnxdxsP277 2、 （1） （3）112312001()()(0),1,()()ln(1)l),.(nnnxxnxsxxsxstdtx 求 函 数 的 和 函 数显 然两 边 积 分 得即又 时 （ ） 发 散时 ，1)l.(1)nnx收 敛利用逐项求导或逐项积分, 求下列级数的和函数:;1nX解：设和函数为 s(x),即 s(x)= ，则1nS(X)= = 0()xsd10xnd= = 10xn1n= =x2()x3521.nxx解：设和函数为 s(x),即 s(x)=21nx= 3521.n则0212001s(x

8、) +()xnxnsd= 2l()x四、微分方程求下列微分方程满足所给初始条件的特解（1） = , y =0;y e2 |=0解：分离变量，得 dy= dx e e2，= +Ce12e2由 y =0 得 |=01= = +Ce012e0故 C= ，即得 = (12 e12)e2+1于是特解为 y=lne2+12（2） Cosxsinydy=cosysinxdx, y = ;|=04解：分离变量，得 tan y dy=tan x dx ,两端积分 -ln(cosy)=-ln(cosx)-lnCCos y=C cosx代入初始条件：x=0,y= ,得 =C，4 22于是 cos y =cos x

9、为所求特解2（3） sinx=ylny, y =ey|=2解：分离变量，得 = sin，两端积分，得 ln(ln y)=ln(tan )+lnC ，2即 ln y=Ctan2代入初始条件：x= ，y=e ,得21=C,于是 y= 为所求特解etan2例 3求微分方程的cos2yx一个特解。 解 所给方程式二阶常系数非齐次线性方程，且 f(x)属于cossinxlPxx型（其中 0,2,0lP） 。与所给方程对应的齐次方程为 y它的特征方程为 210r由于这里 i不是特征方程的根，所以应设特解为 *cos2sin2yaxbxd把它带入所给方程，得 3140cda由此解得 a= 13,b=0,c=0, d= 9,于是求得一个特解为 4*cos2inyxx12-9 2.求下列微分方程满足已给初始条件的特解（3） 20063109,;7xxyey解 微分方程的特征方程为2r，其根为1,9故对应的齐次方程的通解为 2xxYCe。因为,f不是特征方程的根，故原方程的特解设为 2*xyAe，代入原方程得 409，解得 A= 17，从而 21*7xye因此，原方程的通解为 92127xxxyCee。由0063,;xx得12因此满足初始条件的特解为 92127xxxyee