1、3 区间估计问题：未知参数 的点估计是取, 事实上只有),(21nXg, 这种估计的近似程,21nxx度如何?3.1 区间估计概述（1）定义：设母体 的分布函数X形式已知 , 其中 是未知参数,),(xF 是来自 的一个子样，给定实nX,21 X数 ，构造 ，)10(),(21nX两个统计量，使得 ),(212nX 1),(),( 21221 nn XXP 则称 是 的置信概率为 的置信),(21 区间(confidence interval)， 和 分别12为置信下限和置信上限(lower, upper confidence limit)， 为置信水平1(confidence level)，
2、 为置信区间长12度.置信水平又称为置信概率或置信度，表示未知参数的真值落入该置信区间的可信程度；置信区间长度体现了估计的精度。例 2.3.1 已知某炼铁厂的铁水含碳量 ( )在正常情况下服从正态分布，X且标准差 。现测量 5 炉铁水，108.其含碳量分别是4.28，4.40，4.42，4.35，4.37（）试以置信概率 95对母体均值 作区间估计。数学模型：设有正态母体 ，),(2NX已知，从母体中抽得子样值202，要求以置信概率 对nxx,21 )1,0(1母体均值 作区间估计。解： 的点估计可取为 ；X由抽样分布定理 1 知)1,0( 0NnXU(3.1)称 为枢轴量(pivotal s
3、tatistic).U给定置信概率为 ，则1)10(存在 ，使2u12uUP(3.2)即 120unXP亦即 )3.( 1 0202 nuXnuXP于是， 的置信概率为 的置信区间1为 .) ,( 0202 nuXnuX代入数值： ， ，18.05n,则 ，查表知95.015.，又由子样值算得 ，96.1025.2u 364.x于是，母体均值 的置信概率为 95的置信区间是（4.269，4.459）.（2）几点说明：区间估计的步骤写出 的点估计 ；找出含有 及但不含任何其他未知参数，且分布已知的随机变量作为枢轴量；对于给定置信概率, 写出置信区间表达式；代入数值.为何取对称区间上例中取对称区间
4、 时得22uU到置信区间 长度为) ,( 0202 nuXnuX；若取不对称区间 ，nuL021 21uU使得 ，可求得置信区间121uUP为 ，置信区间长度为) ,( 0102nXnu1020122)( LuL（图示说明 ）212uu当 取定时，置信概率与置信区n间长度的关系置信概率 越大时， 值越小，1越大，从而置信区间长度 越2u nuL021大，参数估计的精度越差。相反，置信概率 越小时，参数估计的精度越高。1对置信区间与置信概率的进一步解释上例得到置信区间 ，) ,( 0202nuXnuX是一个随机区间，随抽样结果的不同而成为不同的数值区间，这些数值区间中有 95包含 的真值。或理解
5、为每个这样的数值区间包含 的真值的概率为95。如抽样获得上例中子样值时，置信区间是（4.269，4.459） ，此区间包含的真值的概率为 95，置信区间长度的一半是 0.095，表示用 估计364.x的误差范围。3.2 大子样对母体均值的区间估计问题: 设母体 的分布是任意的，X均存在且未知，从母体2)(,)(XDXE中抽大子样 ，试以概50,21 n率 对母体均值 作区间估计。),0(1解： 的点估计可取为 ；X由中心极限定理知，但其中 是未知参数， )1,0( NnX似 注意到 是 的渐进无偏相合估计量，2S2故在大子样情形，有 )1,0( NnSXU似以此随机变量作为枢轴量.给定置信概率
6、为 ，则1)10(存在 使,2u，即 1 2uUP 12unSXP亦即 1 22 nSuXnSuXP于是， 的置信概率为 的置信区间为 .) ,( 22 nSuXnSuX例 2.3.2 从某台机床加工的零件中取出 50 个，量其长度，并算得 ，8.19x，求 的置信概率为 的置信39.02ns%9区间.解： ，属大子样情形。给定置50n信概率 ， 的置信区间为1.),( 22unSXunSX这时 ，查表知 ，01. 58.205.2u又 ， ，从而 ，于8.19x39.2ns 6.nS是，母体均值 的置信概率为 的置%9信区间是 .)0325719(., .例 2.3.3 现从一批产品中取 个
7、样10品，得次品 个，求次品率 的置信概12p率为 的置信区间。%95解：设母体 为从这批产品中任取X一个所得的次品数，则， ，当 取 得 正 品当 取 得 次 品01XpXE)(10n故此问题属大子样情形下对母体均值的区间估计。给定置信概率 ， 的置1p信区间为 .),( 22unSXunSX这时 ， ，查表知10n05.，又 ，96.025.2u 12.011iixx，从而 6.2.0.1021xsiin，于是，母体均值 的置信概率326.nS p为 的置信区间是 .%95 )184.0,56.0(3.3 正态母体均值的区间估计例 2.3.1 中已分析了方差已知时正态母体均值的区间估计，现在考虑方差未知时正态母体均值的区间估计。问题：母体 , 未知,求),(2NX2的置信概率为 的置信区间。110解: 的点估计可取为 ；X由抽样分布定理 2知)1(*ntnSXT以此随机变量为枢轴量.给定置信概率为 ，则1)10(存在 ，使)1(2nt，即1)( 2ntTP1)( 2*ntSXn亦即 1)1()1( *2*2 nStXnStXP故 的置信概率为 的置信区间为1.)( ,)1(*2*2 nStXnStX例 2.3.4 假设铅的比重测量值,如果测量 16 次，算得),(2NX， ，求铅的比重 的705.x029.*ns
