2012年江苏省高考数学一轮训练试题考点8：选修系列四.doc

1、 新课标第一网不用注册，免费下载！新课标第一网系列资料 2010-2011 学年度第一学期南通市六所省重点高中联考试卷数 学试题（ 附 加 题）一、选答题：本大题共 4 小题，请从这 4 题中选做两小题，如果多做，则按所做的前两题记分，每小题 10分，共 20 分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明步骤或演算步骤1 （选修 41：几何证明选讲）来源:Z*xx*k.Com如图，O 的半径 OB 垂直于直径 AC，M 为 AO 上一点，BM 的延长线交 O 于 N，过N 点的切线交 CA 的延长线于 P（1）求证： 2PMAC；来源:Z#xx#k.Com（2）若O的半径为 3，

2、 OA= OM，求MN的长解：（1）由条件得矩阵 203，来源:Z|xx|k.Com它的特征值为 2和 3，对应的特征向量为 1及 0；5 分（2） 103M，椭圆249xy在 1M的作用下的新曲线的方程为 21xy10 分2. （选修 42：矩阵与变换）设 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2倍，纵坐标伸长到 3倍的伸压变换（1）求矩阵 的特征值及相应的特征向量；（2）求逆矩阵 1M以及椭圆2149xy在 M的作用下的新曲线的方程 3 （选修 44：不等式选讲）设 a，b，c 均为正实数（1）若 1，求 22abc的最小值；（2）求证： 12ab 4 （选修 44：坐标系与参数方程）OCMN

3、APB（第 1 题） 新课标第一网不用注册，免费下载！新课标第一网系列资料 已知椭圆的长轴长为 6，焦距 241F,过椭圆左焦点 F1 作一直线，交椭圆于两点 M、N，设)0(12MF,当 为何值时，MN 与椭圆短轴长相等？（用极坐标或参数方程方程求解）解：以椭圆的左焦点为极点长轴所在直线为极轴建立极坐标系（如图）这里:a=3,c= 32,4,1,2ecapb,2 分所以椭圆的极坐标方程为： cos23cos1e分设 M 点的极坐标为 ),(1，N 点的极坐标为 ),(2，分12 22216,98cos)63 5cos,s,0.104698csN 由 得 ， 又 ， 所 以 或 分解法二：设

4、椭圆的方程为 19yx，其左焦点为 )(，直线 MN 的参数方程为：为 参 数 ）lly(sin， 分将此参数方程代人椭圆方程并整理得： 分或 分1065,0(,21sin,4si 82sin81si8)n4co32 221 tMNco)8( tt，设 M、N 对应的参数分别为 2t、 ，则2011 届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题数学附加题，选做题21A选修 41：（几何证明选讲） 如图，AD 是BAC 的平分线，O 过点 A 且与 BC 边相切于点D，与 AB，AC 分别交于 E，F，求证：EF BC证明：如图，连结 DF因为 BC 与圆相切，所以CDFDAF 4 分因为EFD 与EA

5、D 为弧 DE 所对的圆周角，所 以EFDEAD 又因为 AD 是 BAC 的平分线，F1F2xMNAB D CE FO 新课标第一网不用注册，免费下载！新课标第一网系列资料 故EADDAF 8 分所以CDFEFD ，所以 EFBC 10 分B选修 42：(矩阵与变换) 已知 a，bR，若矩阵 M= 所对应的变换把直线 l：2xy=3 变换为 1 ab 3自身，求 a，b 的值解：（方法一）在直线 l 上取两点 ( ，0)，(0 ，3)32因为 ， ，6 分 1ab3 1ab3 0 3 3a 9因为 M 对应的变换把直线变换为自身，所以点 ( ， b)，(3a，9) 仍在直线 l 上32 3

6、2代入直线方程得 解得 10 分 a 1，b 4)（方法二）设(x，y)为直线 l 上任意一点，则 ， 3 分 1ab3 xy x aybx 3y因为 M 对应的变换把直线变换为自身，所以点 (xay ，bx3y) 仍在直线 l 上，代入直线方程得：2(xay)( bx3y) 3， 7 分化简得(2b)x (2a3)y3，又直线 l：2x y3， 来源: 学+科+网 Z+X+X+K所以 解得 10 分 2 b 2，2a 3 1，) a 1，b 4)C选修 44：(坐标系与参数方程) 将参数方程 (t 为参数)化为普通方程解：（方法一）因为(t )2( t )24， 5 分1t 1t所以( )2

7、( )24 8 分x2 y4化简得普通方程为 1 10 分（方法二）因为 ，所以 t ， ， 5 分2x y8 1t 2x y8相乘得 1 8 分(2x y)(2x y)64化简得普通方程为 1 10 分 新课标第一网不用注册，免费下载！新课标第一网系列资料 D选修 45：(不等式选讲)已知 a，b 是正数，求证( a )(2b ) 1b 12a 92证明：（方法一）因为 a，b 是正数，利用均值不等式，(a )(2b )2ab 2 5 分1b 12a 12 12ab(2ab ) 2 12ab 52 52 92所以 (a )(2b ) 10 分1b 12a 92（方法二）因为 a，b 是正数

8、，利用柯西不等式，(a )(2b )( )2( )2( )2( )2 5 分1b 12a a 2b ( )2( )2 a 2b 292所以(a )(2b ) 10 分1b 12a 92江苏省 2011 届高三上学期苏北大联考（数学）数学试题（附加题）1、已知矩阵 dcA3，若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 1，属于特征值 1 的一个特征向量为 23求矩阵 A，并写出 A 的逆矩阵解：由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 1可得， 316cd，即 c d6； 2 分由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 23，可得 32c，即 3c2 d2， 6 分解得 34a 8 分

9、A 的逆矩阵 12/ 新课标第一网不用注册，免费下载！新课标第一网系列资料 2、过点 P（3，0）且倾斜角为 30直线和曲线1,()xtyt为 参 数相交于 A、 B 两点求线段 AB 的长解：直线的参数方程为3,2()1xsy为 参 数，3 分曲线1,()xtyt为 参 数可以化为 24xy5 分将直线的参数方程代入上式，得 26310s设 A、 B 对应的参数分别为 12， ， 12120ss， 8 分AB 2121()4sss 710 分2011 年江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三调研测试数学（加试部分）21 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每

10、小题 l0 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A.选修 4 1 几何证明选讲如图， ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线相交于点 E, BAC 的平分线与 BC 交于点 D.求证： ED2= EBEC.B矩阵与变换已知矩阵 143A， 41B，求满足 AXB的二阶矩 阵 XC.选修 4 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方 程分别为 = 1 与 = 2cos( + ),它们相交于 A， B 两点，求线段 AB 的长. 3D.选修 4 5 不等式证明选讲设 a,b,c 为正实数,求证: a3 + b3 + c3 + 2 .1abc

11、 3江苏省常州市 2011 届高三复习迎考试卷数学试题(附加题)21 【选做题】在 A，B，C，D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分解答应写出文字说明、B C EDA 新课标第一网不用注册，免费下载！新课标第一网系列资料 A BCDDFO证明过程或演算步骤A选修 41 几何证明选讲如图， AB 是 O 的直径， C、 F 为 O 上的点，且 CA 平分 BAF，过点 C 作 CD AF交 AF 的延长线于点 D. 求证： DC 是 O 的切线.【证明】连结 OC，所以 OAC= OCA.来源:学科网 ZXXK又因为 CA 平分 BAF，所以 OAC= FAC，于是

12、FAC= OCA，所以 OC/AD. 又因为 CD AF，所以 CD OC，故 DC 是 O 的切线 10 分B选修 42 矩阵与变换变换 T 是绕坐标原点逆时针旋转 2的旋转变换，求曲线 221xy在变换 T 作用下所得 的曲线方程来源:Z*xx*k.Com【解】变换 T 所对应变换矩阵为 01M，设 y是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是 0xy，则 0xy，即 0,yx，代入 22001x，即 221，所以变换后的曲线方程为 221xy 10 分C选修 44 参数方程与极坐标（本题满分 10 分）已知圆 1O和圆 2的极坐标方程分别为 2， cos()24（1）把圆 和圆 的极坐

13、标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程【解】 （1） 24，所以 24xy；因为 2cos24，所以 2cossin，所以 0xy 5 分（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为 1xy 化为极坐标方程为 cosin1，即 2sin4 10 分来源:学科网ZXXKD选修 45 不等式证明选讲（本题满分 10 分）已知 0mabR， ， ，求证： 新课标第一网不用注册，免费下载！新课标第一网系列资料 PCADBO【解】因为 0m，所以 10，所以要证 221amb，即证 22()()abab， 即证 22()0， 来源:学科网即证 2()0，而 2(

14、)0显然成立，故221abm 10 分江苏省高淳高级中学 2011 届高三上学期第二次质量检测(数学理)附加题21本大题包括 A，B，C，D 共 4 小题，请从这 4 题中选做 2 小题. 每小题 10 分，共 20 分请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲如图， PA 切 O 于点 ， D 为 PA的中点，过点 D 引割线交 O 于 、 两点求证: BCP【证明】因为 PA与 圆相切于 ，所以 2DBC， 2 分因为 D 为 PA 中点，所以 DP=DA， 所以DP2=DBDC，即 P 5 分因为BDC， 所以 BD PC 8 分所

15、以 P 10 分 来源:Zxxk.ComB选修 42：矩阵与变换曲线 21xy在二阶矩阵 1aMb的作用下变换为曲线 21xy，求实数 ,ab的值；解：设 为曲线 上任意一点， 为曲线 上与 对应的点，(,)P2(,)Pxy224P则 ，即 6 分1axbyxayb代入的 得 ，22()()12 新课标第一网不用注册，免费下载！新课标第一网系列资料 及方程 ，从而 ，解得 ， 10 分2241xy2214ba2,0abC选修 44 参数方程与极坐标圆 1O和圆 2的极坐标方程分别为 cossin， （1）把圆 和圆 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过圆 1，圆 2两个交点的直线的

16、直角坐标方程解：以极点为原点，极轴为 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位 （1）x， ，由 得 cosxsiny4cos24cos所以 24即 为圆 的直角坐标方程 3 分01O同理 为圆 的直角坐标方程 6 分2（2）由 2xy相减得过交点的直线的直角坐标方程为 10 分40xyD 选修 45：不等式选讲已知实数 ,0mn（）求证：22()abn；（）求函数 291(0,)12yx的最小值答：（）证明：因为 ，利用柯西不等式，得 ，, 2)()abmn所以 5 分来源:Z#xx#k.Com22()abmn（）由（） ，函数 ，2293(3)5111yxxx所以函数 的最小值为 25，当且仅当 时取得10 分29(0,)12yx