勾股定理培优题.docx

1、学习贵在落实 1勾股定理一、知识要点1、勾股定理勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，蕴含着丰富的文化价值，勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理” .勾股定理反映了直角三角形（三边分别为 a、b、c，其中 c 为斜边）的三边关系，即 a2+b2=c2，它的变形式为c2-a2=b2 或 c2-b2=a2.勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用，它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算，是一种重要的数学方法.2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2，则

2、这个三角形是以 c 为斜边的直角三角形.勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的，实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的，这是里体现了数学中的重要思想数形结合思想，突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边的关系来判断直角的新方法，它将数形之间的联系体现得淋漓尽致.因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”.二、基本知识过关测试1.如果直角三角形的两边为 3，4，则第三边 a 的值是 .2.如图，图形 A 是以直角三角形直角边 a 为直径的半圆，阴影 SA= .3.如图，有一个

3、圆柱的高等于 12cm，底面半径 3cm，一只蚂蚁要从下底面上 B 点处爬至上底与 B 点相对的 A 点处，所需爬行的最短路程是 .4.如图.在 ABC 中，CD AB 于 D，AB=5，CD= ，BCD=30 ，则 AC= .25.作长为 ， ， 的线段.2356.在下列各组数中 5，12，13 ；7，24，25；3 2，4 2，5 2；3a，4a，5a；a 2+1，a 2-1，2a(a1)；m 2-n2，2mn，m 2+n2(mn0)可作直角三角形三边长的有 组.7.如图，四边形 ABCD 中，AB=1，BC=2，CD=2，AD =3，ABBC，则四边形 ABCD 的面积是 . 学习贵在落

4、实 2Aa1213 B A DCB A DCBA第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 第 7 题图8.如图，在正方形 ABCD 中，F 为 DC 中点，E 为 BC 上一点，且 EC= BC，试判断 AEF 的形状.1FEDCBA三、综合.提高.创新【例 1】 （1）在三角形纸片 ABC 中，C=90，A=30，AC =3，折叠该纸片，使点 A 与点 B 重合，折痕与AB、AC 分别相交于点 D 和点 E（如图） ，折痕 DE 的长是多少？EDCBA（2）如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，AD=10，按如图所示折叠，使点 D 落在 BC 上的点 E 处，求折痕 AF 的长.学习贵在落实

5、 3FEDCBA（3）如图，正三角形 ABC 的边长为 2，M 是 AB 边上的中点，P 是 BC 边上任意一点，PA+PM 的最大值和最小值分别记作 S 和 T，求 S2-T2 的值.PMCBA【练】如图，四边形 ABCD 是长方形，把ACD 沿 AC 折叠到ACD，AD与 BC 交于 E，若 AD=4，DC=3，求 BE.DEDCBA【例 2】 （1）如图，ABC 中，C=60，AB=70，AC =30，求 BC 的长.学习贵在落实 4C BA（2）如图，在四边形 ABCD 中，AB=2，CD=1，A=60， B=D=90，求四边形 ABCD 的面积. DCBA【练】如图，ABC 中，A=

6、150，AB=2，BC = ，求 AC 的长.13CB A【例 3】 （1）如图，ABC 中，AB=AC =20，BC =32，D 为 BC 上一点，AD AB，求 CD.DCB A（2）如图，在 Rt ABC 中，C=90，D 、E 分别是 BC、AC 中点，AD=5，BE= ，求 AB.210学习贵在落实 5EDCBA【例 4】如图，ABC 中，ACB =90，CDAB 于 D，设 AC=b，BC =a，AB=c ，CD=h，求证：（1） ；221abh+=（2）a+bc+h；（3）以 a+b，h 和 c+h 为边的三角形是直角三角形.DCBA【例 5】 （1）如图，ABCD 为矩形，P

7、为矩形 ABCD 所在平面上一点，求证：PA 2-PB2=PD2 -PC2. PDCBA学习贵在落实 6（2）锐角ABC 中，ADBC 于 D，若B=2C ，求证：AC 2=AB 2+ABBC.D CBA变式：如图，AM 是ABC 的 BC 边上的中线，求证：AB 2+AC 2=2(AM 2+BM 2).MCBA（3）如图，ABC 中，AB =AC，P 为线段 BC 上一动点，试猜想 AB 2，AP 2， PB，PC 有何关系，并加以证明.PCBA变式：若点 P 在 BC 的延长线上，如图， （3）中结论是否仍然成立？并证明.学习贵在落实 7PCBA（4）在等腰 RtABC 的斜边 AB 所在

8、的直线上取点 P 并设 s =AP2+BP2，试探求 P 点位置变化时，s 与 2CP2 的大小关系，并证明.PC BA变式：若点 P 在 BA 的延长线上，如图中， （4）中结论是否仍然成立？并证明.P C BA【例 6】 （1）如图，ABC 中，D 为 BC 边上的中点，以 D 为顶点作EDF=90，DE、DF 分别交 AB、AC 于E、F，且 BE2+FC2=EF2，求证：BAC=90.学习贵在落实 8FED CB A（2）在 RtABC 中，BAC=90，AB=AC，E ，F 分别是 BC 上两点，若EAF=45，试推断 BE，CF，EF 之间的关系，并证明.FEAB C变式一:将（2

9、）中AEF 旋转至如图所示，上述结论是否仍然成立？试证明.FEB CA变式二：如图，AEF 中EAF=45，AG EF 于 G，且 GF=2，GE=3，求 SAEF .学习贵在落实 9GFEA【例 7】 （1）在ABC 中，ACB =90，AC =BC，P 为ABC 内一点，且 PA=3，PB=1，PC=2，求BPC 的度数.PC BA（2）如图，在四边形 ABCD 中，ABC=30，ADC=60，AD=CD，求证 BD2=AB2+BC2.D C BA【例 8】在等腰ABC 中，AB=AC ，边 AB 绕点 A 逆时针旋转角度 m，得到线段 AD.（1）如图 1，若BAC=30，30m80，连接 BD，请用含 m 的式子表示DBC;学习贵在落实 10DCBA（2）如图 2，若BAC=90，0m360，射线 AD 与直线 BC 相交于点 E，是否存在旋转角度 m，使，若存在，求出所有符合条件的 m 的值；若不存在，请说明理由.AEBED CB A【例 9】 （1）已知点 P 在一、三象限的角平分线上，且点 P 到点 A（3，6）的距离为 PA=15，求点 P 的坐标；（2）已知直角坐标平面内的ABC 三个顶点的坐标分别为 A（-1，4） ，B（-4，-2） ，C（2，-2） ，试判断ABC