1、勾股定理课时练(1)1. 在直角三角形 ABC 中,斜边 AB=1,则 AB 的值是( )22ACBA.2 B.4 C.6 D.82.如图 1824 所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD,ADBC,斜腰 DC 的长为 10 cm, D=120,则该零件另一腰 AB 的长是_ cm(结果不取近似值).3. 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12,则它斜边上的高为_4.一根旗杆于离地面 12 处断裂,犹如装有铰链那样倒向地面,旗杆顶落于离旗杆地步 16 ,mm旗杆在断裂之前高多少 ?5.如图,如下图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面 3 米处折断,树的顶端落在离树杆底部4 米处,那么这棵
2、树折断之前的高度是 米. 6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方 4000 米处,过了 20 秒,飞机距离这个男孩头顶 5000 米,求飞机每小时飞行多少千米?7. 如图所示,无盖玻璃容器,高 18 ,底面周长为 60 ,在外侧距下底 1 的点 C 处有cmccm一蜘蛛,与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口 1 的 F 处有一苍蝇,试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛,所走的最短路线的长度.8. 一个零件的形状如图所示,已知 AC=3 ,AB=4 ,BD=12 。求 CD 的长.cmcm9. 如图,在四边形 ABCD 中,A=60,B=D=90,BC=2,CD=3,求 AB 的长.1
3、0. 如图,一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马,而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?11 如图,某会展中心在会展期间准备将高 5m,长 13m,宽 2m 的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18 元,请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱? 12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源为了不致于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为 15 千米早晨 8:00 甲先出发,他以 6 千米/时的速度向东行走,1 小时后乙出发,他以 5 千米/时的速度向北行进,上午
4、10:00,甲、乙二人相距多远?还能保持联系吗?“路”4m3m第 2 题图第 5 题图第 7 题图第 9 题图第 8 题图5m13m第 11 题图第一课时答案:1.A,提示:根据勾股定理得 ,所以 AB =1+1=2;12ACB22ACB2.4,提示:由勾股定理可得斜边的长为 5 ,而 3+4-5=2 ,所以他们少走了 4 步.m3.,提示:设斜边的高为 ,根据勾股定理求斜边为 ,再利1360x 136952用面积法得, ;1360,2154. 解:依题意,AB=16 ,AC=12 ,在直角三角形 ABC 中,由勾股定理,222 016ACB所以 BC=20 ,20+12=32( ),m故旗杆
5、在断裂之前有 32 高.5.8 6. 解:如图,由题意得,AC=4000 米,C=90,AB=5000 米,由勾股定理得 BC=(米),3045022所以飞机飞行的速度为 (千米/小时)5467. 解:将曲线沿 AB 展开,如图所示,过点 C 作 CEAB 于 E.在 R ,EF=18-1-1=16( ) ,90,CEFt cmCE= ,)(360.21cm由勾股定理,得 CF= )(3416022c8. 解:在直角三角形 ABC 中,根据勾股定理,得 543222ABC在直角三角形 CBD 中,根据勾股定理,得 CD2=BC2+BD2=25+122=169,所以 CD=13.9. 解:延长
6、BC、AD 交于点 E.(如图所示)B=90,A=60,E=30又CD=3,CE=6,BE=8,设 AB= ,则 AE=2 ,由勾股定理。得x 38,)2(2xx10. 如图,作出 A 点关于 MN 的对称点 A,连接 AB 交 MN 于点 P,则AB 就是最短路线. 在 RtADB 中,由勾股定理求得 AB =17km11.解:根据勾股定理求得水平长为 ,m12532地毯的总长 为 12+5=17(m),地毯的面积为 172=34( ,)铺完这个楼道至少需要花为:3418=612(元)12. 解:如图,甲从上午 8:00 到上午 10:00 一共走了 2 小时,走了 12 千米,即 OA=1
7、2乙从上午 9:00 到上午 10:00 一共走了 1 小时,走了 5 千米,即 OB=5在 RtOAB 中, AB2=122十 52169 ,AB =13,因此,上午 10:00 时,甲、乙两人相距 13 千米1513, 甲、乙两人还能保持联系ABDP NAM第 10 题图O AB勾股定理的逆定理(2)一、 选择题1.下列各组数据中,不能作为直角三角形三边长的是( )A.9,12,15 B. C.0.2,0.3,0.4 D.40,41,943,152.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是( )A.三个内角比为 121 B.三边之比为 12 5C.三边之比为 2 D. 三个内角比为 12
8、3353.已知三角形两边长为 2 和 6,要使这个三角形为直角三角形,则第三边的长为( )A. B. C. D.以上都不对21004或4. 五根小木棒,其长度分别为 7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是( )71541520(A)B(C)DA B C D二、填空题5. ABC 的三边分别是 7、24、25,则三角形的最大内角的度数是 .6.三边为 9、12、15 的三角形,其面积为 .7.已知三角形 ABC 的三边长为 满足 , ,则此三角形为 三角形.cba,18,0abc8.在三角形 ABC 中,AB=12 ,AC=5 ,BC=13 ,则 BC 边上的高为
9、AD= .mmcm三、解答题9. 如图,已知四边形 ABCD 中,B=90,AB=3,BC=4 ,CD=12,AD=13,求四边形 ABCD 的面积.10. 如图,E、F 分别是正方形 ABCD 中 BC 和 CD 边上的点,且 AB=4,CE= 41BC,F 为 CD 的中点,连接 AF、 AE,问AEF 是什么三角形?请说明理由.11. 如图, AB 为一棵大树,在树上距地面 10m 的 D 处有两只猴子,它们同时发现地面上的 C 处有一筐水果,一只猴子从 D 处上爬到树顶 A 处,利用拉在 A 处的滑绳 AC,滑到 C 处,另一只猴子从 D 处滑到地面 B,再由 B 跑到 C,已知两猴子
10、所经路程都是 15m,求树高 AB.12.如图,为修通铁路凿通隧道 AC,量出A=40B50,AB5 公里,BC4 公里,若每天凿隧道 0.3 公里,问几天才能把隧道 AB 凿通?第 9 题图FEACBD第 10 题图BACD.第 11 题图18.2 勾股定理的逆定理答案:一、1.C;2.C ;3.C,提示:当已经给出的两边分别为直角边时,第三边为斜边=当 6 为斜边时,第三边为直角边= ;4. C;;10262 2462二、5.90提示:根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形,所以最大的内角为90.6.54,提示:先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形,面积为 7.5419直角,提示:;8
11、.2222 8610,10,10)( cbababa 得,提示:先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形,再利用面积法求得36;AD325三、9. 解:连接 AC,在 RtABC 中,AC2=AB2BC 2=324 2=25, AC =5.在ACD 中, AC 2CD 2=2512 2=169,而 AB 2=132=169, AC 2CD 2=AB2, ACD=90故 S 四边形 ABCD=SABC S ACD = ABBC ACCD= 34 512=630=36 .121210. 解:由勾股定理得 AE2=25,EF 2=5,AF2=20, AE 2= EF2 +AF2,AEF 是直角三角
12、形11. 设 AD=x 米,则 AB 为(10+x)米,AC 为(15-x )米,BC 为 5 米,(x+10) 2+52=(15-x)2,解得 x=2,10+x=12(米)12. 解:第七组, .132,1)7(2,1572 cba第 组,n)(, ncnb勾股定理的逆定理 (3)一、基础巩固1.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的 是( )A.三内角之比为 123 B.三边长的平方之比为 123C.三边长之比为 345 D.三内角之比为 3452.如图 1824 所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD,ADBC,斜腰 DC 的长为 10 cm, D=120,则该零件另一腰 AB 的
13、长是_ cm(结果不取近似值).图 18 图 182 5 图 18263.如图 1825,以 RtABC 的三边为边向外作正方形,其面积分别为 S1、S 2、S 3,且S1=4,S 2=8,则 AB 的长为_.4.如图 1826,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E 为 AB 中点,F 为 AD 上的一点,且AF= AD,试判断EFC 的形状.45.一个零件的形状如图 1827,按规定这个零件中A 与 BDC 都应为直角,工人师傅量得零件各边尺寸:AD=4,AB=3,BD=5 ,DC=12 , BC=13,这个零件符合要求吗?图 18276.已知ABC 的三边分别为 k21,2k,k 2+1
14、(k1) ,求证:ABC 是直角三角形.二、综合应用7.已知 a、 b、c 是 RtABC 的三 边长,A 1B1C1 的三边长分别是 2a、2b、2c,那么A 1B1C1 是直角三角形吗?为什么?8.已知:如图 1828,在ABC 中,CD 是 AB 边上的高,且 CD2=ADBD.求证:ABC 是直角三角形 . 图 1828 9.如图 1829 所示,在平面直角坐标系中,点 A、B 的坐标分别为 A(3,1) ,B (2,4) ,OAB 是直角三角形吗?借助于网格,证明你的结论. 图 1829 10.已知:在ABC 中,A、B 、C 的对边分别是 a、b、c,满足 a2+b2+c2+338
15、=10a+24b+26c.试判断ABC 的形状 .12.已知:如图 18210,四边形 ABCD,ADBC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3. 求:四边形ABCD 的面积 .图18210参考答案一、基础巩固1.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的 是( )A.三内角之比为 123 B.三边长的平方之比为 123C.三边长之比为 345 D.三内角之比为 345思路分析:判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法:有一个角是直角或两锐角互余;两边的平方和等于第三边的平方;一边的中线等于这条边的一半.由 A 得有一个角是直角;B、C 满足勾股定理的逆定理,所以 应选 D.答案:D2.如图
16、1824 所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD,ADBC,斜腰 DC 的长为 10 cm, D=120,则该零件另一腰 AB 的长是_ cm(结果不取近似值).图 1824解:过 D 点作 DEAB 交 BC 于 E,则 DEC 是直角三角形.四边形 ABED 是矩形,AB=DE.D=120, CDE=30.又在直角三角形中,30所对的直角边等于斜边的一半,CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得,DE= cm.35102AB= cm.351023.如图 1825,以 RtABC 的三边为边向外作正方形,其面积分别为 S1、S 2、S 3,且S1=4,S 2=8,则 AB 的长为_.图 1
17、825 图 1826思路分析:因为ABC 是 Rt,所以 BC2+AC2=AB2,即 S1+S2=S3,所以 S3=12,因为 S3=AB2,所以 AB= .313S答案: 24.如图 1826,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E 为 AB 中点,F 为 AD 上的一点,且AF= AD,试判断EFC 的形状.41思路分析:分别计算 EF、CE、CF 的长度,再利用勾股定理的逆定理判断即可.解:E 为 AB 中点,BE=2.CE 2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得,EF 2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.CE 2+EF2=CF2,EF
18、C 是以CEF 为直角的直角三角形.5.一个零件的形状如图 1827,按规定这个零件中A 与 BDC 都应为直角,工人师傅量得零件各边尺寸:AD=4,AB=3,BD=5 ,DC=12 , BC=13,这个零件符合要求吗?图 1827思路分析:要检验这个零件是否符合要求,只要判断 ADB 和DBC 是否为直角三角形即可,这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解:在ABD 中,AB 2+AD2=32+42=9+16=25=BD2,所以ABD 为直角三角形,A =90.在BDC 中,BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.所以BDC 是直角三角形, CDB =90.因此这个
19、零件符合要求.6.已知ABC 的三边分别为 k21,2k,k 2+1(k1) ,求证:ABC 是直角三角形.思路分析:根据题 意,只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.证明:k 2+1k21,k 2+12k=(k1) 20,即 k2+12k,k 2+1 是最长边.(k 21) 2+(2k )2=k42k 2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,ABC 是直角三角形 .二、综合应用7.已知 a、 b、c 是 RtABC 的三 边长,A 1B1C1 的三边长分别是 2a、2b、2c,那么A 1B1C1 是直角三角形吗?为什么?思路分析:如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同
20、的倍数,得到的三角形还是直角三角形(例 2 已证).解:略8.已知:如图 1828,在ABC 中,CD 是 AB 边上的高,且 CD2=ADBD.求证:ABC 是直角三角形 . 图 1828思路分析:根据题意,只要判断三边符 合勾股定理的逆定理即可.证明:AC 2=AD2+CD2,BC 2=CD2+BD2,AC 2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2ADBD+BD2=(AD+BD) 2=AB2.ABC 是直角三角形 .9.如图 1829 所示,在平面直角坐标系中,点 A、B 的坐标分别为 A(3,1) ,B (2,4) ,OAB 是直角三角形吗?借助于网格,证明你的结论.图 1829
21、思路分析:借助于网格,利用勾股定理分别计算 OA、AB 、OB 的长度,再利用勾股定理的逆定理判断OAB 是否是直角三角形即可.解: OA 2=OA12+A1A2=32+12=10,OB2=OB12+B1B2=22+42=20,AB2=AC2+BC2=12+32=10,OA 2+AB2=O B2.OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形 .10.阅读下列解题过程:已知 a、b、c 为ABC 的三边,且满足 a2c2b 2c2=a4b 4,试判断ABC的形状.解:a 2c2b 2c2=a4b 4,(A)c 2(a2b 2)=(a2+b2)(a2b 2),(B) c2=a2+b2, (C)ABC
22、 是直角三角形.问:上述解题 过程是从哪一步开始出现错误的?请写出该步的代号_;错误的原因是 _;本题的正确结论是_.思路分析:做这种类型的题目,首先要认真审题,特别是题目中隐含的条件,本题错在忽视了 a 有可能等于 b 这一条件,从而得出的结论不全面.答案:(B) 没有考虑 a=b 这种可能,当 a=b 时ABC 是等腰三角形;ABC 是等腰三角形或直角三角形.11.已知:在ABC 中,A、B 、C 的对边分别是 a、b、c,满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断ABC 的形状 .思路分析:(1)移项,配成三个完全平方;(2)三个非负数的和为 0,则都为 0;(3)
23、已知a、b 、c ,利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.解:由已知可得 a210a+25+b 2 24b+144+c226c+169=0,配方并化简得,(a 5)2+(b12) 2+(c13) 2=0.(a 5) 20,(b12) 20,(c13) 20.a 5=0,b12=0,c13=0.解得 a=5,b=12,c=13.又a 2+b2=169=c2,ABC 是直角三角形 .12.已知:如图 18210,四边形 ABCD,ADBC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.求:四边形 ABCD 的面积.图 18210思路分析:(1)作 DEAB,连结 BD,则可以证明ABDEDB
24、(ASA) ;(2)DE=AB=4,BE=AD=3 ,EC=EB =3;(3)在DEC 中,3、4、5 为勾股数,DEC 为直角三角形,DEBC;(4) 利用梯形面积公式,或利用三角形的面积可解.解:作 DEAB,连结 BD,则可以证明ABDEDB(ASA),DE=AB=4,BE=AD=3.BC=6,EC=EB=3.DE2+CE2=32+42=25=CD2,DEC 为直角三角形.又EC=EB=3,DBC 为等腰三角形,DB=DC=5. 在 BDA 中 AD2+AB2=32+42=25=BD2,BDA 是直角三角形 .它们的面积分别为 SBDA= 34=6;SDBC= 64=12.11S 四边形
25、 ABCD=SBDA+SDBC=6+12=18.CBAD勾股定理的应用(4)1.三个半圆的面积分别为 S1=4.5,S 2=8,S 3=12.5,把三个半圆拼成如图所示的图形,则ABC 一定是直角三角形吗?说明理由。2.求知中学有一块四边形的空地 ABCD,如下图所示,学校计划在空地上种植草皮,经测量A=90,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要 200 天,问学校需要投入多少资金买草皮?3.(12 分)如图所示,折叠矩形的一边 AD,使点 D 落在 BC 边上的点 F 处,已知AB=8cm,BC=10cm,求 EC 的长。4.如图,一个牧童在小河的南 4km
26、 的 A 处牧马,而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?5.(8 分)观察下列各式,你有什么发现?32=4+5,5 2=12+13,7 2=24+25 92=40+41这到底是巧合,还是有什么规律蕴涵其中呢?(1)填空:13 2= + (2)请写出你发现的规律。(3)结合勾股定理有关知识,说明你的结论的正确性。6.如图,在 RtABC 中,ACB=90,CDAB, BC=6,AC=8, 求 AB、CD 的长D CBA7.在数轴上画出表示 的点(不写作法,但要保留画图痕迹)178.已知如图,四边形 AB
27、CD 中,B =90,AB=4,BC=3,CD=12,AD=13,求这个四边形的面积9.如图,每个小方格的边长都为 1求图中格点四边形 ABCD 的面积。D CBAAB小河东北牧童 小屋_A_B _C_D勾股定理复习题(5)一、填空、选择题题:3.有一个边长为 5 米的正方形洞口,想用一个圆盖去盖住这个洞口,圆的直径至少为( )米。4、一旗杆离地面 6 米处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部 8 米处,则旗杆折断之前的高度是 ( )米。6、 在ABC 中,C=90,AB=10。 (1)若A=30,则 BC= ,AC= 。(2)若A=45,则BC= ,AC= 。8、在ABC 中,C=90,AC=0.9
28、cm,BC=1.2cm.则斜边上的高 CD= m11、三角形的三边 a b c,满足 ,则此三角形是 三角形。2()cab12、小明向东走 80 米后,沿另一方向又走了 60 米,再沿第三个方向走 100 米回到原地。小明向东走 80 米后又向 方向走的。13、 中,AB=13cm ,BC=10cm ,BC 边上的中线 AD=12cm 则 AC 的长为 cmABC14、两人从同一地点同时出发,一人以 3 米/秒的速度向北直行,一人以 4 米/秒的速度向东直行,5 秒钟后他们相距 米.15、写出下列命题的逆命题,这些命题的逆命题成立吗?两直线平行,内错角相等。 ( )如果两个实数相等,那么它们的
29、平方相等。( )若 ,则 a=b ( )2ab全等三角形的对应角相等。 ( )角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。( )16、下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是( )(A)a=15 b=8 c=17 (B) a:b:c=1: : 23(C) a=2 b= c= (D) a=13 b=14 c=1565817、若一个三角形的三边长为 6,8,x,则使此三角形是直角三角形的 x 的值是( ).A.8 B.10 C. D.10 或282818、下列各命题的逆命题不成立的是( )A.两直线平行,同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等,则这两个数相等C.对顶角相等 D.如果 a=b 或
30、 a+b=0,那么 2ab二、解答题:19、有一个水池,水面是一个边长为 10 尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面 1尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面。水的深度与这根芦苇的长度分别是多少?20、一根竹子高 1 丈,折断后竹子顶端落在离竹子底端 3 尺处.折断处离地面的高度是多少? (其中丈、尺是长度单位,1 丈=10 尺)21、某港口位于东西方向的海岸线上。 “远航”号、 “海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行, “远航”号每小时航行 16 海里, “海天”号每小时航行 12 海里。它们离开港口一个半小时后相距 30 海里。如果知道“远航号”沿东北方向航行,能知道“海天号”沿哪个方向航行吗?23、一根 70cm 的木棒,要放在长、宽、高分别是 50cm,40cm,30cm 的长方体木箱中,能放进去吗?(提示:长方体的高垂直于底面的任何一条直线.)
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