北京大学算法设计与分析课09年期末试题.doc

1、内部资料，转载请注明出处，谢谢合作。北京大学信息科学技术学院考试试卷考试科目：算法设计与分析 姓名： 学号： 考试时间：2009 年 6 月 9 日 任课教师: 考 场 纪 律1 请持学生证入场考试，并按指定座位就座；除必要的文具和教师指定的用具用书外，其他所有物品包括手机、呼机、MP3、电子词典、书籍、笔记、纸张等严禁带入座位，必须放在指定位置。凡有试题印制问题请向监考教师提出，不得向其他考生询问。2 认真、诚实、独立并在规定时间内完成答卷，严禁任何形式的违纪作弊行为；否则，本答卷成绩以 0 分记，并根据北京大学本科考试工作与学术规范条例给予纪律处分。3 提前交卷的考生不要在考场逗留，不要在

2、门口、窗外大声喧哗。考试结束时间到，请停止答卷，在座位等候监考教师收卷并清点完毕，方可离开考场；考题和试卷不得带出考场。以下为试题和答题纸，共 9 页。 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分分数阅卷人装订线内不要答题一、填空题( 选做 5 道，10 分)1 用矩阵幂的方法求斐波那契数，其运行时间为（ ） 。2 对于一个可以用动态规划法求解的问题，要求问题既要满足（ ）的特性，又要具有大量的（ ） 。3 对于一个可以用贪心法求解的问题，不仅要求问题满足（ ）的特性，还应证明其贪心策略的（ ） 。4 设有 n 个栈操作（ PUSH、POP、MULTIPOP ）的序列，作用于初始为空的栈 S。

3、不区分三种操作，则每个操作的最坏运行时间为（ ） ，平摊运行时间为（ ） 。5 三种平摊分析的方法分别为（ ） 、 （ ） 、（ ） 。6 四后问题的搜索空间为（ ）树；0-1 背包问题的搜索空间为（ ）树；巡回售货员问题的搜索空间为（ ）树。7 （ ）法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解，而（ ）法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。8 回溯法一般以（ ）优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则一般以（ ）优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。二、单项选择题 (10 分)1 下列关于排序算法的叙述，不正确的是？ （ ）A) 堆

4、排序的最差情形运行时间为 ( nlgn)B) 快速排序平均情形运行时间为 (nlgn)C) 任何排序算法的最差情形运行时间都不可能比 (nlgn)更小D) 插入排序在最好情形下的运行时间为 ( n)2 对于课堂讲解的线性时间内找第 i 小的元素的算法， （ ）下列叙述中不正确的是？A) 算法第一步中可以按每五个元素一组找中位数；B) 算法第一步中可以按每七个元素一组找中位数；B) 算法第一步中不能按每三个元素一组找中位数；D) 如果要求的 n 个元素的中位数，则中位数一定是第一步中找到的中位数中的某一个。3 主方法可以求解满足形如下式的递推方程， （ ）则下列关于方程中的约束中不准确的是？A)

5、 对于系数 a，必须满足 a 1B) 对于系数 b，必须满足 b 1C) 若对于常数 0，f(n)=O( nlogba-) ，则 T(n)=(nlogba) D) 若 f(n)=O(nlogba) ，则 T(n)=(nlogbalogn) 4 下列哪些问题不能用贪心法求解？ （ ）A) 霍夫曼编码问题 B) 单源最短路径问题C) 0-1 背包问题 D) 最小生成树问题装订线内不要答题5 可合并堆上可以不包含下列哪个操作？ （ ）A) DECREASE-KEY(H, x, k) B) UNION(H1, H2)C) INSERT(H, x) D) EXTRACT-MIN(H)6 不同堆上插入操作

6、最差情形下的开销或平摊开销， （ ）对二叉堆、二项堆和斐波那契堆，下列选项中描述错误的是？A) 二叉堆为 (lg n) B) 二项堆为 O(lg n)C) 斐波那契堆为 (1) D) 三种堆的开销都是 (lg n)7 关于网络流的割，下列选项中错误的是？ （ ）割(S,T)是流网络 G=(V,E)的一个划分，其中 sS, tT。如果 f 是 G 上的流，那么流经割的净流量为 f(S,T)，割(S,T )上的容量定义为 c(S,T) 。A) | f | c(S, T) B) f(S, T) = | f |C) f(s, V-s) = | f | D) f(S-s, V) = | f |8 下列随

7、机算法一定有解但解不一定正确的是？ （ ）A) Sherwood B) LasVegas C) MonteCarlo D) 三者都不是9 在快速排序算法中引入随机过程的主要目的是什么？ （ ）A) 改善确定性算法的平均运行时间B) 保证算法总能在 O(nlgn)时间内结束C) 避免了算法最坏情况下的发生D) 改善了确定性算法最坏情形下的平均运行时间10 用 Monte Carlo 方法估计四后问题回溯算法的效率。 （ ）五次实验结果分别为、，则解空间中的结点数估计为？A) 16 B) 16.2 C) 17 D) 16.5三、社会名流(20 分)在 n 个人中，一个被所有人知道但却不知道别人的人

8、，被定义为社会名流。现在的问题是如果存在，试找出该社会名流。你可以使用的唯一方式是询问：“请问你知道那个人吗？”请给出提问次数为 O(n)的算法，写出伪代码，分析算法的正确性，并给出算法运行时间的精确分析（即 O(n)中隐藏的系数） 。（提示：当你问 A 是否认识 B 时，如果 A 认识 B，则 A 不是社会名流；如果 A 不认识 B，则 B 不是社会名流）装订线内不要答题四、地板覆盖（20 分）用 2*1 的地板块覆盖 3*n 的地面有多少种方案？如下图是一个覆盖的例子，函数 fn 可用于求解这个问题，请说明 fn 算法的正确性，并说明算法运行时间的上界和下界。int fn(int n) i

9、f (n % 2 = 1) return 0;int f = new intn+1;f0 = 1;for (int i = 2; i = 0; j -= 2)fi += fj*2;return fn;装订线内不要答题五、田忌赛马（20 分）你一定听过田忌赛马的故事吧？如果 3 匹马变成 n 匹，齐王仍然让他的马按从优到劣的顺序出赛，田忌可以按任意顺序选择他的赛马出赛。赢一局，田忌可以得到 200 两银子，输一局，田忌就要输掉 200 两银子。已知国王和田忌的所有马的奔跑速度，并且所有马奔跑的速度均不相同，现已经对两人的马分别从快到慢排好序，请设计一个算法，帮助田忌赢得最多的银子。写出伪代码，证明算法的正确性，并分析算法的复杂度。（提示：可以设计一个贪心策略的算法，面对国王每匹顺序出场的马，如果田忌的马快，就派最快的出场；否则派最慢的马出场）装订线内不要答题