周期问题的解题策略.doc

1、周期问题的解题策略 在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，比 如每周七天，从星期一开始，到星期日结束，总是以七天为一个循 环不断重复出现。我们把这种会重复出现的规律性问题称为周期问 题。 要解决这类问题，关键要抓住两点： 找出规律，找出周期。即多少个（次）又出现重复。 用总量除以周期，看余数，余几就是周期里的第几个，没有 余数就是最后一个。 例 1：有一列数，1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7 （1）第 2009 个数是多少？ （2）这列数字中，“2”会出现多少次 （3）这 2009 个数相加的和是多少？ 分析过程：仔细观察，这 2009 个数不是随意排列的，每六个数

2、 重复一次，按 1、4、2、8、5、7 一个循环依次不断重复出现排列的。 周期找到了，接着用总量除以周期，把余数与周期对比，很容易解 答问题。 （1） 20096=334、5，即重复了 334 次，还余 5 个数，分 别是 1、4、2、8、5。所以第 2009 个数就是 5 （2）（1、4、2、8、5、7）重复了 334 次，“2”也就出现了 334 次，再加上余下的五个数中，“2”又出现了一次，所以，数字 “2”总共出现了 335 次 （3）我们把 2009 个数按每一组（1、4、2、8、5、7）这样分组， 可以分成 334 组，还剩 5 个数，334 组的数都相同，每组的和 =1+4+2+

3、8+5+7=27，那么这 334 组的总和是 27334=9018，再加上 还余下的五个数，即为 2009 个数的总和了。 （1+4+2+8+5+7）334+（1+4+2+8+5）=9018+20=9038 例 2求 22、2（2008 个 2 相乘）+ 33、3（2009 个 3 相乘）的个位数字。 分析过程：要想求和的个位数字，关键是要求出每个加数的个 位数字。 （1）先观察下 22、2（2008 个 2 相乘）个位数的特 点，看是否有周期性，若有，则可根据周期问题的方法来解答 2 个位数字是 2 22 个位数字是 4 222 个位数字是 8 2222 个位数字是 6 22222 个位数字

4、是 2 可见，个位数字是按 2、4、8、6 不断循环重复，所以周期是 4 20084=502，没余数，个位数字就是最后一个：6 （ 2）同理，我们也可以找出 333（2009 个 3 相乘）个 位数字的排列规律 3 个位数字是 3 33 个位数字是 9 333 个位数字是 7 3333 个位数字是 1 33333 个位数字是 3 可见，个位数字是按 3、9、7、1 不断循环重复出现，所以周期是 4 20094=5021，余数是 1，个位数字就是周期里面的第一个 数，即 3 所以，求 222（2008 个 2 相乘）+ 333（2009 个 3 相乘）的个位数字，就是 6+3 的个位数 字，即

5、9 例 32009 个学生按下列方法编号排成五列： 一 二 三 四 五 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 问最后一个学生应该在第几列？ 分析过程：仔细观察，除了第一个学生外，其余学生都是按这 样的次序排列的：二、三、四、五、四、三、二、一、二、三、四、 五、四、三、二、一。按“二、三、四、五、四、三、二、一” 不断循环重复，所以周期是 8 （2009-1）8=251，没余数，说明最后一个学生排在周期里的最 后一个数，即第一列 注意：周期可以是从第一个数开始不断循环重复，也可以不从第 一个数开始，当不是从第一个数开始循环重复时，我们一般先从总 数

6、中把不参与循环的数剔除掉，再除以周期，看余数 例 42009 年 9 月 8 日是星期二 （1）2009 年 9 月 27 日是星期几？ （2）2009 年 12 月 25 日是星期几？ （3）2012 年 10 月 1 日是星期几？ 分析过程：推算星期几的题目，第一要知道周期；第二也是最 重要的是要学会计算天数。第三推星期几：总天数除以 7，看余数， 余几就从当天往后推几天。一周七天，不断循环重复，周期是 7。 计算天数时，遵守以下几个规律：一个月之内的，尾减首就得天 数跨月的，先算整月再算零头天数跨年的，先算整年再算整月 最后算零头天数有几个常识要清楚：1、月：3、5、7、8、10、12

7、月为大月，31 天；4、6、9、11 月为小月，30 天；2 月平年 28 天， 闰年 29 天；年：平年 365 天，闰年：366 天，四年一闰，一般情况 下能被 4 整除的是闰年，下面的为例外：能被 100 整除的但不能被 400 整除的是平年。3200 年以及它的倍数年将不是闰年 （1）属一个月之内的。从 9 月 8 日到 27 日有 27-8=19 天 197=2（周）5（天） 从星期二往后推 5 天，就是星期日。 即 2009 年 9 月 27 日是星期日 （2）属跨月的。 先算整月：9 月 8 日至 10 月 8 日至 11 月 8 日至 12 月 8 日，三 个月共 30+31+

8、30=91（天） 再算零头：12 月 8 日至 12 月 25 日有 25-8=17 天 所以，共有 91+17=108（天） 1087=15（周）3（天） 从星期二往后推三天，就是星期五 即 2009 年 12 月 25 日是星期五 （3）属跨年的 先算整年：2009.9.82010.9.82011.9.82012.9.8 三年共 365+365+366=1096 天 再算整月:2012.9.82012.10.8 一个月 共 30 天 最后算零头: 2012.10.810.1 共 8-1=7 天 所以 共有 1096+30-7=1119 天 11197=159(周)6 天 从星期二往后推六天

9、，就是星期一 即 2012 年 10 月 1 日是星期一 例 5伸出你的左手，从大拇指开始，按大拇指、食指、中指、 无名指、小指、无名指、中指、食指、大拇指、食指的顺序依 次数数字：1、2、3，问：数到 2009 时，你数在哪个手指上？ 分析过程：我们先看数字规律，找出周期来。大拇指、食指、中 指、无名指、小指、无名指、中指、食指、大拇指、食指8 个 循环重复一次，周期是 8 20098=2511 余几就是一个周期中的第几个。 所以，数到 2009 时，正好数到大拇指的位置上。 例 6一列数 1、2、4、7、11、16、22、29。这列数左起第 2009 年数除以 5 的余数是几？ 解析：由于

10、是求余数，因此找出这列数除以 5 的余数规律是本题 的关键。 15 余数是 1 25 余数是 2 45 余数是 4 75 余数是 2 115 余数是 1 165 余数是 1 225 余数是 2 295 余数是 4 从上可以看出余数的排列规律是：按 1、2、4、2、1每隔这 五个数循环重复出现，周期是 5 20095=4014 余数是几就是一个周期中的第几个数 所以，第 2009 个数除以 5 的余数是 2。 本课小结：解答周期性问题，需要我们具有较强的观察能力， 能从数字变化中找出它的周期性变化规律。找周期是关键，找周期 的方法往往从出发位置开始，看经过多少步以后又回到起始位置。 对于一些较复杂的问题，我们可以借助画示意图或列举部分数字等 方法帮助寻找周期。