四年级奥数讲义168学子教案库12、精英学生.doc

1、第十二讲 等差数列 你还记得吗 复习一（1） 先介绍一下一些定义和表示方法： 定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数） ，这样的数列我们称它为 等差数列. 譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起，每一项比前一项大 3 ，递增数列 100、95、90、85、80、 从第二项起，每一项比前一项小 5 ，递减数列 （2） 首项：一个数列的第一项，通常用 a1表示； 末项：一个数列的最后一项，通常用 an表示，它也可表示数列的第 n 项. 每个数列都有最后一项吗？数 列分有限数列和无限数列； 项数：一个数列全部项的个数，通常用 n 来表示； 公差：等差数列每

2、两项之间固定不变的差，通常用 d 来表示； 和 ：一个数列的前 n 项的和，常用 Sn来表示 . （3） 三个重要的公式： 通项公式：递增数列：末项=首项(项数-1)公差， 1()nad 递减数列：末项=首项-(项数-1)公差， 项数公式：项数=（末项-首项）公差1 求和公式：和=（首项末项）项数2， 1()2nnsa 想 挑 战 吗 ？ 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子 里拿出一只球，将它变成 3 只球后放回盒子里；第二次 又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成 3 只球后放回 盒子里第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变 成 3 只球后放回到盒子里.这时盒子里共有多少只乒乓球？

3、（4）中项定理 对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的 一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数. 譬如：（1）48123236=（4+36）92=209=1800 ，题中的等差数列有 9 项，中间一项 即第 5 项的值是 20，而和恰等于 209 ； （2）65636153+1=（1+65）332=3333=1089 ，题中的等差数列有 33 项，中间 一项即第 17 项的值是 33，而和恰等于 3333 . 复习 2（1）3、5、7、9、11、13、15、 ，这个数列有多少项？它的第 102 项是多少？ （2）已知等差数列 2、5、8、1

4、1、14 ，问 47 是其中第几项？ （3）如果一等差数列的第 4 项为 21，第 10 项为 57，求它的第 16 项. 专题精讲 （一）等差数列在计算中的综合运用 【例 1】 （1）(2+4+6+96+98+100)-(1+3+5+95+97+99) （2）1+3+4+6+7+9+10+12+13+66+67+69+70； （3）61+692+6993+69994+699995+6999996 【例 2】 （1）从 401 到 1000 的所有整数中，被 8 除余数为 1 的数有多少个？ （2）1 至 100 各数，所有不能被 9 整除的自然数的和是多少？ 【例 3】 已知数列 2、3、4

5、、6、6、9、8、12、，问:这个数列中第 2000 个数是多少?第 2003 个数是 多少? 【例 4】 从 1 到 100 的 100 个数中，每次取出两个不同的自然数相加，使它们的和超过 100.有几种不 同的取法？ 【例 5】 为了参加区里的乒乓球比赛，师大附小在学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手 都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了 78 场比赛.问：有多少人参加了选拔赛？ 【例 6】 小丸子玩投放石子游戏，从 A 出发走 1 米放 1 枚石子，第二次走 4 米又放 3 枚石子，第三次走 7 米再放 5 枚石子，再走 10 米放 7 枚石子，照此规律最后走到 B 处放下 35 枚石

6、子.问从 A 到 B 路程有多远？ 【例 7】 在右图中，每个最小的等边三角形的面积是 12 平方厘米，边长是 1 根 火柴棍.如果最大的三角形共有 8 层，问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘 米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？ （二）等差数列在数表中的综合运用 【例 8】 （希望杯数学邀请赛）观察下面的序号和等式，填括号. 序号 等式 1 1 2 3= 6 3 3 5 7= 15 5 5 8 11= 24 7 7 11 15= 33 （ ） （ ）（ ）7983=（ ） 【例 9】 自然数按一定规律排成下表，问第 60 行第 5 个数是几？ 135791229313414. . 【例

7、 10】 将自然数如下排列，1267156.358449.0.1. 在这样的排列下，数字 3 排在第 2 行第 1 列，13 排在第 3 行第 3 列，问：1993 排在第几行第几列？ 专题展望 本讲主要讲了等差数列在实际解题过程中的综合运用，在以后的学习中我们还会学习到关于等差数 列的更多知识，希望同学们再接再厉，加油！ 练习十二 1. 计算 （1）2+4+8+10+14+16+20+22+92+94+98+100； （2）1000+999-998+997+996-995+106+105-104+103+102-101； （3）72+793+7994+79995+799996 2. 在 12

8、00 这二百个自然数中，所有能被 4 整除或能被 11 整除的数的和是多少? 3. 从 1 到 50 这 50 个连续自然数中，取两不同的数相加，使其和大于 50，有多少种不同的取法？ 4. 用相同的立方体摆成右图的形式，如果共摆了 10 层，那么最下面一层有 多少个立方体？ 5. 把自然数依次排成“三角形阵”，如图 93.第一排 1 个数；第二排 3 个 数；第三排 5 个数；求： （1）第十二排第一个数是几？最后一个数是几？ （2）207 排在第几排第几个数？ （3）第 13 排各数的和是多少？ 数学故事 从前有一个非常聪明的数学家，他能用数学知识为人们解决许多 常见的生活问题，受到人们的

9、爱戴可是国王嫉贤妒能，总想找借口 把年轻的数学家除掉，但一直没有如愿 那时国王正在修一个豪华的宫殿，将要落成的一天，国王看着漂 亮的宫殿忽然想到一个为难数学家的好办法，于是派人把数学家找来， 说有难事请他帮忙 数学家来到皇宫拜见国王，国王见到数学家心中就有气，他脸露 一丝坏笑，说：“听说你很有能耐，什么难题都难不倒你，并以此得 到了我臣民的拥护，能有你这样的臣民我应该很高兴，但我怕你是欺 世盗名之徒，骗取我臣民的忠心，所以我要考考你，假如你能过关， 我就相信你，并保证永远不会再为难你，否则，就将你永远赶出我的 国家!”数学家被迫答应了 国王的问题是：新建的皇宫给国王的每一位妃子都建了一个寝宫，

10、 国王为了区分不同的妃子在哪个寝宫，决定在每个寝宫门口挂上数目不同的中国结办法是在第一个门 口中间挂上一个，在第二个门口除了中间的一个再分别在两侧各挂上一个，在第三个门口除了第二个门 口的三个再在两侧各挂上一个如此类推，国王共有 50 个妃子，问一共需要多少个中国结? 国王不许数学家到宫门口去试，只许他用脑子想，要是一小时内没有结果就算失败国王出完题之 后命人看住数学家，不让他出去，自己想到后宫去休息一会儿可还没等到他跨出门口就被数学家叫住 了，数学家已经得出了答案：2500 个中国结国王半信半疑，急忙命人去试一下试了半天，终于试完 了，果然是 2500 个! 国王被迫让数学家离开了，可是事后

11、百思不得其解，数学家是怎样知道答案的呢?但碍于面子他宁 死不向数学家请教，只是终日冥思苦想，再也没有心思害人了但他最终也没想明白是怎么回事，终于 积劳成疾，命不久矣临死前他终于忍不住命人把数学家请来，客气地说：“我以前终日与你为难，最 终还是难不住你，这些日子我一直对你算出中国结数目的事不解，不知道你如何能那么快得出答案，你 能告诉我吗?” 见国王时日无多，数学家恭敬地说：“是这样的，我把每个门口的中国结数目列在一起，想成一列 数，它们相邻两个的差都是 2，我称这样的数列为等差数列，第 50 个门口是 99 个，与第一个门口的一 个合成 100 个，第 49 个门口是 97 个，与第二个门口的 3 个合成 100 个，如此类推，一共可以合成 25 个 100，合起来共是 2500 个中国结 ” 国王听完满意地点了点头，传出命令：“封数学家为全国最聪明的人”说完永远闭上了双眼