1、 第 1 页 共 11 页 三个“二次”间的关系 一 知识梳理 一二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系 b 24ac 0 0 0)的图象 x y Ox1 x2 x y O x1x 2 x y O 一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根 有两相异实根 x1， x2 b 2a 有两相等实根 x1x 2 b2a 没有实根 ax2bxc0 (a0) x|xx2 (x1x 2) R一元二次 不等式解集 ax2bx+c0) x|x1A； 若不等式 f(x)A； 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)A 的解集为 D； 若不等式 f(x)0 时， 44a 2.当 0，即 00，解为 xR
2、 且 x1.0.令 f(a)(x3)ax 26x 9.因 为 f(a)0 在| a|1 时恒成立，所以 若 x3，则 f(a)0，不符合题意，应舍去 若 x3，则由一次函数的单调性，可得Error!，即Error!，解得 x4. 【课堂练习 5】1. （2014 湘潭模拟）对于满足 0a4 的实数 a，使 x2ax4xa3 恒成立的 x 取值范围 是_ 解析：原不等式等价于 x2ax4x a30，a( x1)x 24x30，令 f(a)a( x1)x 24x3，则 函数 f(a)a(x1)x 24x 3 表示直线，要使 f(a)a (x1)x 24x30，则有 f(0)0，f (4)0，即 x
3、24x30 且 x210 ，得 x3 或 x0),若 1, 21,使得 f(x1)= g(x2),则实数 a 的取值范围是 （ ） 第 9 页 共 11 页 A 1(0,2B 1,32C (0,3D 3,) 【答案】D 3. (2015丽水模拟)当 x(，1时，不等式( m2m )4x2 x0 恒成立，则实数 m 的取值范围是( ) A(2,1) B(4,3) C(1,2) D(3,4) 解析：选 C 原不等式变形为 m2m x，函数 y x在( ，1上是减函数， x 1 2，( 12) (12) (12) (12) 当 x( ，1时，m 2m x恒成立等价于 m2m2，解得1m2.( 12)
4、 4. （2012 广东）设 a1，集合 ， 20,3(1)60ARBRaxDAB （1）求集合 D（用区间表示） ； 解析：（）设 ，其对称轴为 ，2()3()6gxax4x 判别式 ， ，1948a(0)ga 当 时， ，B=R， ；130,DAB 当 时， ， 的两根为 ， ，()gx13()4x23(1)4ax 当 即 a0 时， ， ， ；A ()406g12012(,)(,)12(0,),)Dx 当 即 时， ， ；B 3(1)a12x2(,)Dx 当 即 时， ， ， ；C ()041(0)g122, 综上所述：当 时， ；3,D 当 时， ，1a()(3)3()(1), ,)4
5、4aaaa 当 时， .01, 5. 已知函数 .)(log)(2axxf （1）若 ，求 ；4f （2）若 时，函数 恒有意义，求实数 的取值范围；,a （3）函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 1，求实数 的值。()fx0, a 解答 (1) 所以 3 分252log1a(4)ff162log4 (2) 即：当 时 恒成立，当 时，,4x0xR 当 时, 恒成立， ，当 时恒成立0x20x2aax0,2 即： ，所以 7 分min4a, 第 10 页 共 11 页 (3) 令 由（2）知，2()4hxa,4a (i)若 ，则 的对称轴 ，则 ,所以,0()hx02minax()(0)4
6、28ha 82maxin()log4af824 ,a (ii)若 ，则 的对称轴 ，则0()hx0,12a ,所以 2minax()4()8ah 28max4in()logaf2 ,与 矛盾20或 0, （iii ）若 ，则 的对称轴 ，则,4()hx1,2a2minax()()40ah 所以 ，根据题意，有 24minax()logaf 22442log1log1a ,其中 满足条件，综上： 或 12 分2248a0 6. 已知函数 是定义在(-,+)上的奇函数.)1,0(41)( axfx且 (1)求 的值；a (2)求函数 的值域；f (3)当 ， 恒成立，求实数 t 的取值范围.高&考%资( 源、网 c,0(2)(xt 解析 (1)f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,即 f(-x)=-f(x)恒成立,f(0)=0. 即 1- =0, 解得 a=2. 42a0 a (2)y= ,2 x= ,由 2x0 知 0, -11， 所以 m 对任意 t1 成立 t 1t2 t 1 1t 1 1t 1 1 第 11 页 共 11 页 因为 t1 12 13, 所以 ， 1t 1 （t 1） 1t 1 1t 1 1t 1 1 13 当且仅当 t2, 即 x ln 2 时等号成立因此实数 m 的取值范围是 .( ， 13
