1、1 平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明 中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了 部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论， 其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章 节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等， 这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1 平均值不等式 一般地，假设 为 n 个非负实数，它们的算术平均值记为12,.a2.,naA 几何平均值记为 。 1122(.).nn nG 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。 ，12nnaa 即
2、，nA 当且仅当 时，等号成立。12.a 上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。 平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵 活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其 中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2 平均值不等式的证明 证法一（归纳法） （1） 当 时，已知结论成立。2n （2） 假设对 k（正整数 2）时命题成立，即对 0,1,.ia 有 。 11212.(.)kknaa 那么，当 1nk时，由于 ， ，121.kkaA121.kkGa 关于 是对称的，任意对调 与 ， 和 的值121,. ij()A1kG 不改变，因此不
3、妨设 ，121min,.ka112x,.kka 显然 ，以及 可得kA11()()0kkAa .ka 所以 11121()k kk aA 2 211. ).()kkkA 即 两边乘以 ，得1211.()kkkAa1k 。12.()kk kaG 从而，有 1kG 证法二（归纳法） （1） 当 时，已知结论成立。2n （2） 假设对 k（正整数 2）时命题成立，即对 0,1,.ia 有 。1212kkaa 那么，当 nk时，由于 121.kaa11(.)(kkkGG112.(kk 11)kkka12()kG(G 从而，有 1kA 证法三（归纳法） （1） 当 时，已知结论成立。2n （2） 假设对
4、 （正整数 2k）时命题成立，即对 0,1,.ia 有 。1212kkaa 那么，当 nk时，由于121.ka 证法四（归纳法和变换） 证法五（利用排序不等式） 设两个实数组 和 满足12,.na12,.nb ，; 则 （同序乘积之和）12.nb （乱序乘积之和）jjjaab （反序乘积之和）1211.nn 其中 是 的一个排列，并且等号同时成立的充分必要,.jj, 条件是 或 成立。12.na12.nb 证明： 切比雪夫不等式（利用排序不等式证明） 杨森不等式（Young）设 则对 有12120,12,0x 等号成立的充分必要条件是 。1212xx 琴生不等式（Jensen） 设 为上凸（或
5、下凹）函数，则对任意(),)yfxab(,)ixab ，我们都有12.in 或2 12()().().)n nfxffxfx1 其中 10(,2.)ni i 习题一 1. 设 。求证：对一切正整数 ，有1,abRn21()nnn 2. 设 求证：,c3(1)()2(1)ababc 3. 设 为正实数，证明：123,x 22311231()()xx 4. 设 ，求证：,abcRbc()()8()()abc 5. 设 ，且 ，求证：,xyzxyz 222 6. 设 ，满足 ，求证： ,abcR221abc3abc 7. 设 是非负实数，满足 ，求证：d1d 3333cbcabac 8. 设 为给定的自然数， ，对于 个给定的实数nn12,.;na 记 的最小值为 ，求在(1)ijaijm 的条件下， 的最大值。221.n
