小学五年级奥数讲义(教师版)30讲全.doc

1、五年级奥数 - 1 - 小学奥数基础教程(五年级) 第 1 讲数字迷（一） 第 16 讲 巧算 24 第 2 讲 数字谜(二) 第 17 讲 位置原则 第 3 讲 定义新运算(一) 第 18 讲 最大最小 第 4 讲 定义新运算(二) 第 19 讲 图形的分割与拼接 第 5 讲 数的整除性(一) 第 20 讲 多边形的面积 第 6 讲 数的整除性(二) 第 21 讲 用等量代换求面积 第 7 讲 奇偶性（一） 第 22 讲用割补法求面积 第 8 讲 奇偶性（二） 第 23 讲 列方程解应用题 第 9 讲 奇偶性（三） 第 24 讲 行程问题（一） 第 10 讲 质数与合数 第 25 讲 行程问

2、题（二） 第 11 讲 分解质因数 第 26 讲 行程问题（三） 第 12 讲 最大公约数与最小公倍数（一） 第 27 讲 逻辑问题（一） 第 13 讲最大公约数与最小公倍数（二） 第 28 讲 逻辑问题（二） 第 14 讲 余数问题 第 29 讲 抽屉原理(一) 第 15 讲 孙子问题与逐步约束法 第 30 讲 抽屉原理(二) 五年级奥数 - 2 - 第 1 讲 数字谜（一） 数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。例如用猜想、拼凑、排 除、枚举等方法解题。数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。 这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及

3、小数的除法竖式问题。 例 1 把+，-，四个运算符号，分别填入下面等式的内，使等式成立（每个运算符号只准使 用一次）：（5137）（179）=12。 分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定 “”的位置。 当“”在第一个内时，因为除数是 13，要想得到整数，只有第二个括号内是 13 的倍 数，此时只有下面一种填法，不合题意。（513-7）（17+9）。 当“”在第二或第四个内时，运算结果不可能是整数。 当“”在第三个内时，可得下面的填法：（5+137）（17-9）=12。 例 2 将 19 这九个数字分别填入下式中的中，使等式成立：=5568。 解：将

4、 5568 质因数分解为 5568=26329。由此容易知道，将 5568 分解为两个两位数的乘积 有两种：5896 和 6487，分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种： 12464， 16348， 24232， 29192， 32174， 48116。 显然，符合题意的只有下面一种填法：17432=5896=5568。 例 3 在 443 后面添上一个三位数，使得到的六位数能被 573 整除。 分析与解：先用 443000 除以 573，通过所得的余数，可以求出应添的三位数。由 443000573=77371 推知， 443000+ （573-71）=443502 一定能被 573 整除

5、， 所以应添 502。 例 4 已知六位数 3344 是 89 的倍数，求这个六位数。 分析与解：因为未知的数码在中间，所以我们采用两边做除法的方法求解。 先从右边做除法。由被除数的个位是 4，推知商的个位是 6；由左下式知，十位相减后的差是 1，所以商的十位是 9。这时，虽然 8996=8544，但不能认为六位数中间的两个内是 85，因 为还没有考虑前面两位数。 再从左边做除法。如右上式所示，a 可能是 6 或 7，所以 b 只可能是 7 或 8。 由左、右两边做除法的商，得到商是 3796 或 3896。由 379689=337844， 389689=346744 知，商是 3796，所求

6、六位数是 337844。 例 5 在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适 当的数字代替字母，使加法竖式成立。 分析与解：先看竖式的个位。由 Y+N+N=Y 或 Y+ 10，推知 N 要么是 0，要么是 5。如果 N=5，那么 要向上进位，由竖式的十位加法有 T+E+E+1=T 或 T+10，等号两边的奇偶性不同，所以 N5，N=0。 此时，由竖式的十位加法 T+E+E=T 或 T+10， E 不是 0 就是 5，但是 N=0，所以 E=5。 竖式千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同，说明百位、千位加法都要向上进位。 因为 N=0，所以 I0

7、，推知 I=1，O=9，说明百位加法向千位进 2。 再看竖式的百位加法。因为十位加法向百位进 1，百位加法向千位进 2，且 X0 或 1， 所以 R+T+T+122，再由 R，T 都不等于 9 知，T 只能是 7 或 8。 五年级奥数 - 3 - 若 T=7，则 R=8，X=3，这时只剩下数字 2，4，6 没有用过，而 S 只比 F 大 1，S，F 不可能是 2，4，6 中的数，矛盾。 若 T=8，则 R 只能取 6 或 7。R=6 时，X=3，这时只剩下 2，4，7，同上理由，出现矛盾；R=7 时， X=4，剩下数字 2，3，6，可取 F=2，S=3，Y=6。所求竖式见上页右式。 解这类题目

8、，往往要找准突破口，还要整体综合研究，不能想一步填一个数。这个题目是美国 数学月刊上刊登的趣题，竖式中从上到下的四个词分别是 40， 10， 10， 60，而 40+10+10 正 好是 60，真是巧极了！ 例 6 在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。请你填上适当 的数字，使竖式成立。 分析与解：按减法竖式分析，看来比较难。同学们都知道，加、减法互为逆运算，是否可以把减 法变成加法来研究呢（见右上式）？不妨试试看。 因为百位加法只能向千位进 1，所以 E=9，A=1，B=0。 如果个位加法不向上进位，那么由十位加法 1+F=10，得 F=9，与 E=9 矛盾，

9、所以个位加法向 上进 1，由 1+F+1=10，得到 F=8，这时 C=7。余下的数字有 2，3，4，5，6，由个位加法知，G 比 D 大 2，所以 G，D 分别可取 4，2 或 5，3 或 6，4。所求竖式是 解这道题启发我们，如果做题时遇到麻烦，不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以 变换，将不熟悉的问题变为熟悉的问题。另外，做题时要考虑解的情况，是否有多个解。 练习 1 1.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是 621819，求原来的四位数。 解：621819（100-1）= 6281。 2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。请

10、你用适当的数字代 替字母，使竖式成立： （1） A B (2) A B A B + B C A - A C A A B C B A A C （1）由百位加法知，A=B+1；再由十位加法 A+ C=B+10，推知 C=9，进而得到 A=5，B=4（见上右式） 。 （2）由千位加法知 B=A-1，再由个位减法知 C=9。因为十位减法向百位借 1，百位减法向千位借 1， 所以百位减法是（10+B-1）-A=A， 化简为 9+B=2A，将 B=A-1 代入，得 A=8， B=7（ 见右上式）。 3.在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：123456789。 解：1（23456789）=90720。

11、 4.在下面的算式中填上若干个（ ），使得等式成立：123456789=2.8。 解：1（23）4（5678）9=2.8。 5.将 19 分别填入下式的中，使等式成立：=3634。 提示：3634=22379。4679= 23158= 3634。 五年级奥数 - 4 - 6.六位数 391是 789 的倍数，求这个六位数。 提示：仿照例 3。391344。 7.已知六位数 7888 是 83 的倍数，求这个六位数。 提示：仿例 4，商的后 3 位是 336，商的第一位是 8 或 9。774888。 第 2 讲 数字谜（二） 这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。 例 1 在下面的算

12、式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，求 abcde. 1abcde3=abcde1 分析与解：这道题可以从个位开始，比较等式两边的数，逐个确定各个字母所代表的数码。现 在，我们从另一个角度来解。1abcde 与 abcde1 只是 1 所在的位置不同，设 x=abcde 则算式变为 （100000+x）3=10x+1， 300000+3x=10x+1， 7x=299999， x=42857。 这种代数方法干净利落，比用传统方法解简洁。我们再看几个例子。 例 2 在内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。 1 2 4 8 1 8 1 1 2 4 9 9 2 1 0 0 4

13、 4 求竖式。 例 3 左下方的除法竖式中只有一个 8，请在内填入适当的数字，使除法竖式成立。 例 4 解：竖式中除数与 8 的积是三位数，而与商的百位和个位的积都是四位 数， 所以 x=112，被除数为 989112=110768。右上式为所求竖式。 代数解法虽然简洁，但只适用于一些特殊情况，大多数情况还要用传统的方法。 例 4 在内填入适当数字，使下页左上方的小数除法竖式成立。 分析与解：先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖式（见下页右上方竖式）。可以看 出，除数与商的后三位数的乘积是 1000=2353的倍数，即除数和商的后三位数一个是 23=8 的 倍数，另一个是 53=125

14、的奇数倍，因为除数是两位数，所以除数是 8 的倍数。又由竖式特点 知 a=9，从而除数应是 96 的两位数的约数，可能的取值有 96，48，32，24 和 16。 因为，c=5，5 与除数的乘积仍是两位数，所以除数只能是 16，进而推知 b=6。因为商的 后三位数是 125 的奇数倍，只能是 125，375，625 和 875 之一，经试验只能取 375。至此，已 求出除数为 16，商为 6.375，故被除数为 6.37516=102。上页右式即为所求竖式。 五年级奥数 - 5 - 求解此类小数除法竖式题，应先将其化为整数除法竖式，如果被除数的末尾出现 n 个 0，则 在除数和商中，一个含有因

15、子 2n（不含因子 5），另一个含有因子 5n（不含因子 2），以此为突 破口即可求解。 例 5 一个五位数被一个一位数除得到下页的竖式（1），这个五位数被另一个一位数除得到下页的 竖式（2），求这个五位数。 分析与解：由竖式（1）可以看出被除数为 10*0（见竖式（1），竖式（1）的除数为 3 或 9。在竖式（2）中，被除数的前两位数 10 不能被整数整除，故除数不是 2 或 5，而被除数 的后两位数*0 能被除数整除，所以除数是 4，6 或 8。当竖式（1）的除数为 3 时，由竖式 （1）知， a=1 或 2，所以被除数为 100*0 或 101*0，再由竖式（2）中被除数的前三位数 和后

16、两位数分别能被除数整除，可得竖式（2）的除数为 4，被除数为 10020； 当竖式（1）的除数为 9 时，由能被 9 整除的数的特征，被除数的百位与十位数字之和应为 8。因为竖式（2）的除数只能是 4，6，8，由竖式（2）知被除数的百位数为偶数，故被除数只 有 10080，10260，10440 和 10620 四种可能，最后由竖式（2）中被除数的前三位数和后两位数 分别能被除数整除，且十位数不能被除数整除，可得竖式（2）的除数为 8，被除数为 10440。 所以这个五位数是 10020 或 10440。 练习 2 1.下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的 答案（1）4

17、285；（2）461538。 7(1000A+ B)= 6(1000BA)， 化简后得 538A=461B，由于 538 与 461 互质，且 A，B 均为三位数， 所以 A=461，B= 538。所求六位数是 461538。 2.用代数方法求解下列竖式： 3.在内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立： 8 7 . ) .) .) . 8 0 0 0 答案（1）12481=10044；（2）11768412= 9807。 提示：（1）设被乘数为 a，由 8a999，81a10000，推知 所以 a=124。 （2）根据竖式特点知，商是 9807。设除数是 a，根据竖式特点由 8a100，9a

18、100，推知 所以 a=12。 3.答案（1）先将竖式化为整数除法竖式如左下式： 五年级奥数 - 6 - 易知 f=2，g=0；由 g=0 知 b，d 中有一个是 5，另一个是偶数而 f= 2，所以 b= 5，进而推 知 d= 6；再由 d= 6，f= 2 知 a= 2 或 7，而 e=3 或 4，所以 a=7；最后求出 c=5。见上页右下式。 （2）先将除法竖式化为整数除法竖式如左下式：由竖式特点知 b=c=0；因为除数与 d 的乘积是 1000 的倍数，d 与 e 都不为 0，所以 d 与除数中必分别含有因子 23和 52，故 d=8，除数是 125 的奇数倍， 因此 e=5；又 f0，e

19、= 5，所以 f=g=5；由 g=5，d=8 得到除数为 50008=625，再由 625a 是三位 数知 a=1，所以被除数为 6251008=630000，所求竖式见右上式。 第 3 讲 定义新运算（一） 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的 意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这 个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些 新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。 例 1 对于任意数 a，b，定义运算“*”： a*b=ab-a-b。求 12*4 的

20、值。 分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=124-12-4=48-12-4=32。 根据以上的规定，求 106 的值。 3，x=2，求 x 的值。 分析与解：按照定义的运算， =2， x=6。 由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号 应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，等，以防止发生混淆， 而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。如例 1 中，a*b=ab-a-b，新运算符 号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。 分析与解：按新运算的定义，符号“”表示求两个数的平

21、均数。 四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。 五年级奥数 - 7 - 按通常的规则从左 至右进行运算。 分析与解：从已知的三式来看，运算“ ”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面 的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第 1 个数是 1 位数，第 2 个数 是 2 位数，第 3 个数是 3 位数按此规定，得 3 5=3+33+333+3333+33333=37035。 从例 5 知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。 例 6 对于任意自然数，定义：n！=12 n。 例如 4！=1234。那么 1！+2！+3！

22、+100！的个位数字是几？ 分析与解：1！=1， 2！=12=2， 3！=123=6， 4！=1234=24， 5！=12345=120， 6！=123456=720， 由此可推知，从 5！开始，以后 6！，7！，8！，100！的末位数字都是 0。 所以，要求 1！+2！+3！+100！的个位数字，只要把 1！至 4！的个位数字相加便可求 得：1+2+6+4=13。所求的个位数字是 3。 例 7 如果 m，n 表示两个数，那么规定：mn=4n-（m+n）2。求 3（46）12 的值。 解：3（46）12=346-（4+6）212=31912 =419-（3+19）212=6512=412-（6

23、5+12）2=9.5 练习 3 1.对于任意的两个数 a 和 b，规定 a*b=3a-b3。求 8*9 的值。（值为 2） 2.已知 a b 表示 a 除以 3 的余数再乘以 b，求 13 4 的值。（值为 4） 3.已知 a b 表示（a-b）（a+b），试计算：（5 3） （10 6）。（值为 0） 五年级奥数 - 8 - 4.规定 ab 表示 a 与 b 的积与 a 除以 b 所得的商的和，求 82 的值。 答案 5.假定 mn 表示 m 的 3 倍减去 n 的 2 倍，即 mn=3m-2n。 （2）已知 x（41）=7，求 x 的值。 答案 提示：（2）x（41）= 7，x（43-12

24、）= 7， x10=7， 3x-102=7，x=9。 （2）相当于由 123 x=40320，求 x。 40320220160， 201603= 6720，67204=1680，16805=336，88=1， 即 1/40320=11/21/31/41/51/61/71/8。所以 x=8。 7.对于任意的两个数 P， Q，规定 PQ=（PQ）4。例如：28=（2 8）4。已知 x（85 ）=10，求 x 的值。 解：x（85）= x（854）= x10= x104，由 x104=10，求得 x=4。 8.定义： ab=ab-3b，a b=4a-b/a。计算：（43 ）（2 b） 。 解： （4

25、3）（2 6 ）= (43-33)(42-6/2) = 35=3 5-35=0。 9.已知： 2 3=234，4 5=45678，求（4 4）（3 3）的值。 提示：新运算“ ”是：从第一个数字起，求越来越大的连续几个自然数的乘积，因数个数 是第二个数字。（4 4）（3 3）= （4567）（345）=14。 五年级奥数 - 9 - 第 4 讲 定义新运算（二） 例 1 已知 ab=（a+b）-（a-b），求 92 的值。 分析与解：这是一道很简单的题，把 a=9，b=2 代入新运算式，即可算出结果。但是，根据四 则运算的法则，我们可以先把新运算“”化简，再求结果。 ab=（a+b）-（a-b

26、）=a+b-a+b=2b。 所以，92=22=4。 由例 1 可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、 法则的前提下，不妨先化简表示式。这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。 例 2 定义运算：ab=3a+5ab+kb，其中 a，b 为任意两个数，k 为常数。比如： 27=32+527+7k。 （1）已知 52=73。问：85 与 58 的值相等吗？ （2）当 k 取什么值时，对于任何不同的数 a，b，都有 ab=ba，即新运算“”符合交换律？ 分析与解：（1）首先应当确定新运算中的常数 k。因为 52=35+552+k2=65+2k， 所以由已知 52

27、=73，得 65+2k=73，求得 k=（73-65）2=4。定义的新运算是： ab=3a+5ab+4b。 85=38+585+45=244， 58=35+558+48=247。 因为 244247，所以 8558。 （2）要使 ab=ba，由新运算的定义，有 3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0， 3(a-b)-k(a-b)=0， (3-k)(a-b)=0。 对于两个任意数 a，b，要使上式成立，必有 3-k=0，即 k=3。 当新运算是 ab=3a+5ab+3b 时，具有交换律，即 ab=ba。 例 3 对两个自然数 a 和 b，它们的最小公倍数与最大公约数的

28、差，定义为 ab，即 ab=a，b- （a，b）。比如，10 和 14 的最小公倍数是 70，最大公约数是 2，那么 1014=70-2=68。 （1）求 1221 的值；（2）已知 6x=27，求 x 的值。 分析与解：（1）1221=12，21-（12，21）=84-3=81； （2）因为定义的新运算“”没有四则运算表达式，所以不能直接把数代入表达 式求 x，只能用推理的方法。 因为 6x=6，x-（6，x）=27，而 6 与 x 的最大公约数（6，x）只能是 1，2，3，6。所 以 6 与 x 的最小公倍数6，x只能是 28， 29， 30， 33。这四个数中只有 30 是 6 的倍数，

29、 所以 6 与 x 的最小公倍数和最大公约数分别是 30 和 3。因为 ab=a，b（a，b）， 所以 6x=303，由此求得 x=15。 例 4 a 表示顺时针旋转 90，b 表示顺时针旋转 180，c 表示逆时针旋转 90，d 表示不转。定 义运算“”表示“接着做”。求：ab；bc ；ca。 分析与解： ab 表示先顺时针转 90，再顺时针转 180，等于顺时针转 270，也等于逆时针 转 90，所以 ab=c。 bc 表示先顺时针转 180，再逆时针转 90，等于顺时针转 90，所以 bc=a。 ca 表示先逆时针转 90，再顺时针转 90，等于没转动，所以 ca=d。 对于 a，b，c

30、，d 四种运动，可以做一个关于“”的运算表（见下表）。比如 cb，由 c 所 在的行和 b 所在的列，交叉处 a 就是 cb 的结果。因为运算符合交换律，所以由 c 所在的列和 b 所在的行也可得到相同的结果。 例 5 对任意的数 a，b，定义：f（a）=2a+1， g（b）=bb。 五年级奥数 - 10 - （1）求 f（5）-g（3）的值；（2）求 f（g（2）+g（f（2）的值； （3）已知 f（x+1）=21，求 x 的值。 解：（1） f（5）-g（3）=（25+1）-（33）=2； （2）f（g（2）+g（f（2）=f（22）+g（22+1） =f（4）+g（5）=（24+1）+（

31、55） =34； （3）f（x+1）=2（x+1）+1=2x+3，由 f（x+1）=21，知 2x+3=21，解得 x=9。 练习 4 答案 2.定义两种运算“”和“”如下： ab 表示 a，b 两数中较小的数的 3 倍，ab 表示 a，b 两数中较大的数的 2.5 倍。比如： 45=43=12，45=52.5=12.5。计算：(0.60.5)+(0.30.8)(1.20.7)-(0.640.2) 解：原式=（0.53+0.82.5）(0.73-0.642.5)=7。 提示：从已知的四式发现，第一个数的 4 倍加上第二个数等于结果，所 4.设 m，n 是任意的自然数，A 是常数，定义运算 mn

32、=（Am-n）4，并且 23=0.75。试确定常 数 A，并计算：（57）（22）（32） 提示：由 23= （A2-3）4=0.75，推知 A=3。定义的运算是： mn=（3m-n）4。（57） （22）（32）=（35-7）4(32- 2)4（33-2）4 =217/4=8/7。 5.用 a，b，c 表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动： a 表示顺时针旋转 240，b 表示顺时针旋转 120，c 表示不旋转。 运算“”表示“接着做”。试以 a，b，c 为运算对象做运算表。 6.对任意两个不同的自然数 a 和 b，较大的数除以较小的数，余数记为 a b。比如 7 3=1

33、，5 29=4，4 20=0。（1）计算：1998 2000，（5 19） 19，5 （19 9）； （2）已知 11 x=4，x 小于 20，求 x 的值。6.（1）2，3，1；（2）7 或 14。 五年级奥数 - 11 - 提示：（1）（5 9） 19= 4 19=3，5 （19 5）= 5 4= 1。 （2）当 x11 时，x 是 7；当 x11 时，x 是 14。 7.对于任意的自然数 a，b，定义：f（a）=aa-1，g（b）=b2+1。 （1）求 f（g（6）-g（f（3）的值；（2）已知 f（g（x）=8，求 x 的值。 解：（1）f（g（6）- g（f（3）= f(62+1)-

34、 g（33-1）= f( 4)- g（8） = （44-1）-（82+1）= 10；。 （2）由 f( g（x）)= 8=33-1，推知 g（x）= 3；再由 x2+1=3，得 x=4。 第 5 讲 数的整除性（一） 三、四年级已经学习了能被 2，3，5 和 4，8，9，6 以及 11 整除的数的特征，也学习了一些整 除的性质。这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。 数的整除性质主要有： （1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。 （2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 （3）如果一个数能分别被几个

35、两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自 然数的乘积整除。 （4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。 （5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。 灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。 例 1 在里填上适当的数字，使得七位数7358能分别被 9，25 和 8 整除。 分析与解：分别由能被 9，25 和 8 整除的数的特征，很难推断出这个七位数。因为 9，25，8 两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被 9258=1800 整除，所以七位数的个位，十 位都是 0；再由能被 9 整除的数的特征

36、，推知首位数应填 4。这个七位数是 4735800。 例 2 由 2000 个 1 组成的数 11111 能否被 41 和 271 这两个质数整除？ 分析与解：因为 41271=11111，所以由每 5 个 1 组成的数 11111 能被 41 和 271 整除。按 “11111”把 2000 个 1 每五位分成一节， 20005=400 ，就有 400 节， 因为 2000 个 1 组成的数 1111 能被 11111 整除，而 11111 能被 41 和 271 整除，所以根据 整除的性质（1）可知，由 2000 个 1 组成的数 11111 能被 41 和 271 整除。 例 3 有四个

37、数：76550，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被 12 整 除？ 分析与解：根据有关整除的性质，先把 12 分成两数之积：12=121=62=34。 要从已知的四个数中找出两个，使其积能被 12 整除，有以下三种情况： （1）找出一个数能被 12 整除，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被 12 整除； （2）找出一个数能被 6 整除，另一个数能被 2 整除，那么它们的积就能被 12 整除； （3）找出一个数能被 4 整除，另一个数能被 3 整除，那么它们的积能被 12 整除。 容易判断，这四个数都不能被 12 整除，所以第（1）种情况不存在。

38、对于第（2）种情况，四个数中能被 6 整除的只有 76554，而 76550，76552 是偶数，所以可 以选 76554 和 76550，76554 和 76552。 对于第（3）种情况，四个数中只有 76552 能被 4 整除，76551 和 76554 都能被 3 整除，所以 可以选 76552 和 76551，76552 和 76554。 综合以上分析，去掉相同的，可知两个数的乘积能被 12 整除的有以下三组数：76550 和 76554， 76552 和 76554， 76551 和 76552。 例 4 在所有五位数中，各位数字之和等于 43 且能够被 11 整除的数有哪些？ 分析

39、与解：从题设的条件分析，对所求五位数有两个要求： 各数位上的数字之和等于 43； 能被 11 整除。 五年级奥数 - 12 - 因为能被 11 整除的五位数很多，而各数位上的数字之和等于 43 的五位数较少，所以应选 择为突破口。有两种情况： （1）五位数由一个 7 和四个 9 组成；（2）五位数由两个 8 和三个 9 组成。 上面两种情况中的五位数能不能被 11 整除？9，8，7 如何摆放呢？根据被 11 整除的数的 特征，如果奇数位数字之和是 27，偶数位数字之和是 16，那么差是 11，就能被 11 整除。满 足这些要求的五位数是： 97999，99979， 98989。 例 5 能不能

40、将从 1 到 10 的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被 3 整除？ 分析与解：10 个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我们采用反证法。 假设题目的要求能实现。那么由题意，从前到后每两个数一组共有 5 组，每组的两数之和 都能被 3 整除，推知 110 的和也应能被 3 整除。实际上，110 的和等于 55，不能被 3 整除。 这个矛盾说明假设不成立，所以题目的要求不能实现。 练习 5 1.已知 4205 和 2813 都是 29 的倍数，1392 和 7018 是不是 29 的倍数？（1） 提示：.是。7018 和 1392 分别是 4205 与 2813 的和与差。 2

41、.如果两个数的和是 64，这两个数的积可以整除 4875，那么这两个数的差是多少？（14）。 提示：已知这两个数的积可以整除 4875，说明这两个数都是 4875 的因数。4875= 355513，用这些因子凑成两个数，使它们的和是 64，显然这两个数是 313=39 和 55=25。它们的差是 39-25=14。 3.173是个四位数。数学老师说：“我在这个中先后填入 3 个数字，所得到的 3 个四位数， 依次可以被 9，11，6 整除。”问：数学老师先后填入的 3 个数字之和是多少？（19） 提示：先后填入的三个数依次是 7，8，4。 6， 进而知 f=4，所求数为 123654 和 32

42、1654。 答案：123654 和 321654。 提示：由题意知，b，d，f 是偶数，e= 5，所以 a，c 只能是 1 和 3。 班有多少名学生？ 提示：总分等于平均分乘以学生人数，因为平均分 90=910，所以总 （人）。 6.能不能将从 1 到 9 的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被 3 整除？ 答案：不能。 提示：假设能。因为前两个数的和能被 3 整除，第 2、第 3 个数的和也能被 3 整除，所以第 1、第 3 两个数除以 3 的余数相同。类似可知，排在第 1，3，5，7，9 位的数除以 3 的余数都相 同。 在 19 中，除以 3 的余数相同的数只有 3 个，不可能有

43、 5 个。这个矛盾说明假设不成立。 五年级奥数 - 13 - 第 6 讲 数的整除性（二） 我们先看一个特殊的数1001。因为 1001=71113，所以凡是 1001 的整数倍的数都能 被 7，11 和 13 整除。 能被 7，11 和 13 整除的数的特征： 如果数 A 的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能 被 7 或 11 或 13 整除，那么数 A 能被 7 或 11 或 13 整除。否则，数 A 就不能被 7 或 11 或 13 整除。 例 2 判断 306371 能否被 7 整除？能否被 13 整除？ 解：因为 371-306=65，65 是 1

44、3 的倍数，不是 7 的倍数，所以 306371 能被 13 整除，不能被 7 整 除。 例 3 已知 108971 能被 13 整除，求中的数。 解：108-971=1008-971+0=37+0。上式的个位数是 7，若是 13 的倍数，则必是 13 的 9 倍， 由 139-37=80，推知中的数是 8。 2 位数进行 改写。根据十进制数的意义，有 因为 100010001 各数位上数字之和是 3，能够被 3 整除，所以这个 12 位数能被 3 整除。 根据能被 7（或 13）整除的数的特征，100010001 与（100010-1=） 100009 要么都能被 7（或 13）整除，要么都

45、不能被 7（或 13）整除。 同理， 100009 与（ 100-9=）91 要么都能被 7（或 13）整除，要么都不能被 7（或 13）整除。 因为 91=713，所以 100010001 能被 7 和 13 整除，推知这个 12 位数能被 7 和 13 整除。 分析与解：根据能被 7 整除的数的特征，555555 与 999999 都能被 7 因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被 7 整除，所以等号右边第二个数也能被 7 整除，推知 5599 能被 7 整除。根据能被 7 整除的数的特征，99-55=44 也应能被 7 整除。由 44 能被 7 整除，易知内应是 6。 下面再告诉

46、大家两个判断整除性的小窍门。 判断一个数能否被 27 或 37 整除的方法： 五年级奥数 - 14 - 对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的数连加， 如果所得的和能被 27（或 37）整除，那么这个数一定能被 27（或 37）整除；否则，这个数就不 能被 27（或 37）整除。 例 6 判断下列各数能否被 27 或 37 整除： （1）2673135；（2）8990615496。 解：（1） 2673135=2，673，135，2+673+135=810。 因为 810 能被 27 整除，不能被 37 整除，所以 2673135 能被 27 整除，不能被 37 整除。 （2）8990615496=8，990，615，496，8+990+615+496=2，109。 2，109 大于三位数，可以再对 2，109 的各节求和，2+109=111。 因为 111 能被 37 整除，不能被 27 整除，所以 2109 能被 37 整除，不能被 27 整除，进一步 推知 8990615496 能被 37 整除，不能被 27 整除。 由上例看出，若各节的数之和大于三位数，则可以再连续对和的各节求和。 判断一个数能否被个位是 9 的数整除的方法： 为了叙述方便，将个位是 9 的数记为 k9（= 10k+9），