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1、第 2，3，11 章 习题解答 习题 2-1 1. 若自然数 不是完全平方数.证明 是无理数. nn 证明 反证法. 假若 且 互质 ，于是由 可知, 是qp,(Nqp)2pnq2 的因子，从而得 即 ,这与假设矛盾.2p12q2 2. 设 是两个不同实数.证明在 和 之间一定存在有理数. ,abab 证明 不妨设 0, 所以存在正整数 ,使得 ,即 n01abn , 且可知存在整数 , 从而有 .1n1:nmam 综上可得 ,由此导出 b,即 ，其中 是有理数.naba 3. 设 为无理数.证明存在无穷多个有理数 ( , 为整数， )使得 .xpq0q21pxq 证明 反证法. 假若只有有限

2、个有理数满足不等式,即 , iqpx21i ),32(mi 令 iqpx,32,1min 取 , 且选取整数 , 使得N:1)0(,Nq ,pqx21px 但因 是正整数，故又有 , qN 从而可知 , 这与假设矛盾.iqp)3,21(m 习题 2-2 1求下列数集的上、下确界. （1） （2） ,nN1(),nN （3） （4） .1()(),nnN21|, (, )yx 答案： (1) 上确界 1,下确界 0; (2) 上确界 ,下确界 2; e (3) 上确界 1,下确界-1； (4) 上确界 1,下确界 0. 2设 ，验证 . 2|,ExQinf2E 证 由 得 是 的一个下界.,2x

3、 另一方面，设 也是 的下界，由有理数集在实数系中的稠密性，在1 区间中必有有理数 ，则 且 不是 的下界.按下),2(1xEx2 1E 确界定义， .inf2E 3用定义证明上（下）确界的唯一性. 证明 设 为数集 的上确界，即 .按定义， 有 .若 也是 E的EsupEx 上确界且 .不妨设 ，则对 有 即 0, )(0 矛盾.,0x 下确界的唯一性类似可证. 4试证收敛数列必有上确界和下确界，且上下确界中至少有一个属于该数列.趋于 的 数列必有下确界，趋于 的数列必有上确界. 证法 1 设 为收敛数列，则 非空有界，由确界存在原理，存在nxnx .若 ，则 为常数数列，于是， ；若if,

4、supnxn ,nx 且 ，则存在两个子列 使 ，这与,nnx,kknxkknx ,)( 收敛相矛盾.由此可得， 与 至少有一个属于 .x 证法 2 设 ，若 为常数列，则结论显然成立；若 不是常数列，axnlimnx nx 不妨设 ，对 ，当 时， ，而在邻域 外，ax1 01,N0),(0aUxn),(0aU 只有 的有限多项.在这有限项中必存在 的最大项或最小项，于是， 的上下确n n nx 界中至少有一个属于 .nx 若 则 有下界，所以必有下确界；若 ，则 有上界，,nx nxnx 所以必有上确界. 5证明：单调减少有下界的数列必有极限. 证 设数列 单调减少且有下界，根据确界存在原

5、理 有下确界，记 .nx nxinfx 由定义，(1) ；),21( (2) 使 . 0nNxN 因为 单调减少，所以当 时，有 .nxn 于是有 ，故得 .0nxlim 习题 2-3 1用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界. 证 设 是 的一个下界， 不是 的下界，则 .aEbEba 令 ，若 是 的下界，则取 ；)(21bc1cc1 , 若 不是 的下界，则取 .1 ,ca 令 ，若 是 的下界，则取 ；)(12ac2E122 ,bca 若 不是 的下界，则取 ；，E21 ,cb 按此方式继续作下去，得一区间套 ，且满足： 是 的下界， 不是 的,nnEnbE 下界 . 由区间套定理

6、，且 .),21(na,1alimli 下证 ：Eifx)1( 都有 ),21( na，而 xnlim ，即 是 E的下界. 由于 ，从而当 充分大以后，有 .而 不是 的下界,2blimbn 不是 的下界，即 是最大下界.E 2. 设 在 上无界. 证明必存在 ,使得 在 的任意邻域内无界. ()fx,ab0xab()fx0 证明 由条件知， 在 上或 上无界，记使 在其上无界)(xf2)(a , 2()(xf 的区间为 ；再二等分 ，记使 在其上无界的区间为 ，继续,11b)xf ,2ba 作下去，得一区间套 ，满足 在 上无界.根据区间套定理，,n(,nba),1( ，且 .,21 ,0

7、nbax 0limlixbann 因为对任意的 ，存在 ，当 时，有 ，从而可知0N),(,0xan)(xf 在 上无界. ),0 3. 设 , 在 上满足 , ,若 在 上连续, (fx)g0,1(0)f(1)0f()gx1 在 上单调递增.证明存在 ,使 . ()fxg,1 证明 记 且二等分 .若 ，则记 若,1ba)2(f ;,21ba 则记 .类似地,对已取得的 二等分,若 ，则记,0)21(f 2,2nba0)(nf ；若 ，则记 按此方式继nnnba11 0)(nf .11n 续下去，得一区间套 ，其中,a.0)(,nnff 根据区间套定理可知， 且有 .32,b nnbalim

8、li 因为 在 上连续，所以)(xg1,0 ).()(,)(ggnn 注意到 可得) nnn bbfafa ，)(lim)(lim( nn 再由 可知)nn gfgfgf ， .)(0)( 习题 2-4 1. 证明下列数列发散 (1) , 1()21nnx,2; (2) , 13()ny ,. 证 (1) 因为 ， 所以 发散.034124122 nxxnn )(nnx (2) 因为 所以 发散. , ,yy y 2证明:单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列. 证明 必要性显然成立. 充分性. 不妨设数列 单调增加且存在 ，有 ，nx nnxk axknlim 现证 .因为 ，所以 当

9、时有 .注意到axnlimakli,Kak 单调增加且 ，取 ，则当 时，有 nkNNknNnx 于是有 .xk 3. 设极限 存在,证明 .)cossi(lban0ab 证明 (1) 假若 或 ，显然题设极限不存在，矛盾 .0, , (2) 假若 ，设 Anxn)cossi(lm 令 ，则有22si ,cosbaba )sin(i2baba 从而得 ，由 可2)in(A )1co(i)sin()sin( 知 . 又由 可知)( 0)cos( )cos()si(2)si( .2inn 再由 可知2)1(csin)2si()(s . 此结果与等式 矛盾.) 0co 1)(cos2 n 4. 设在

10、 的某个邻域内有 ,且 .证明x()()gxfhx00limli(xxghA .0lim()xfA 证明 因为 ，根据海涅归结原理， 且00lim()li()xxA 0:xn ，都有 .0nhgnnli 又因为 ， 所以 .()()xfx)()(nnnxhfxg,21 根据数列极限的夹逼准则 ， 从而 .Afnli 0limxA 5. 设 在 的一个邻域 内有定义.若对任意满足下列条件的数列()fx00(,)x , , 都有 .证0,nxn 100nnli()nfxA 明 . 0lim()xfA 证明 反证法. 假若 ，则 使得Axf)(lim0 ),(,0, 00 xx 取 使得 取.0)(

11、xf ),1101)(Af ，使得(,2in20212xx ,;2x 取 ， ，使得 ，.，0n ),nn 0)(fn 数列 满足 ，且 ，但 与nx01xx 0xAx 矛盾，所以 .Af)(lim0lim()xfA 6. 证明 的充要条件是:对每个严格单调递增的正无穷大 都有 nx .li()nfx 习题 2-5 1. 设 是有界数列.若 满足 .证明存在 和子列 、 使nanblim()0nablknakb .limlikk 证明 因为数列 有界，由致密性定理，存在 和子列 ，使得 .n lknlknlim 又因为 ，所以 ，从而有 .li()0nab0)(likknbabkli 2设有界

12、数列 发散.证明:存在两个子列 和 收敛于不同的极限.x(1)xk(2)nk 证明 因为 有界，由致密性定理，必有收敛的子列 ，设 .n (1)xk axkn)1(li 又因为 不收敛，所以存在 ，在 以外，有 的无穷多项，x0,(0a 记这无穷多项所成的子列为 ，显然 有界.由致密性定理，必有收敛子列 ，)2(nx)2(nx (2)nxk 设 ，显然 .bxkn2lima 3用致密性定理证明：若 在 上无界，则存在 ，使 在 的()fx, b0, xab()fx0 何邻域内无界. 证明 由于 在 上无界，故 ，使 .()f, a,MMf)( 特别取 ，使 ， , ,1baxM1)(xf ，使

13、22 . 于是，得点列 .)( )(:nxfn 因为 ，由致密性定理， 中必有收敛子列 ，使得bxanxknx0limxkn . 由于 ，根据子列的性质， ，,0)(nf)( )( )(fk 此即 在 的任何邻域内无界.()fx0 4. 设定义在 上的函数 对任意 ,均存在极限 .证明 在,ab()fxtabli()xtf()fx 上有界.,ab 证明 证法 1 反证法. 假定 在 上无界，则 ，使得)(xf ,ba , ,baxn ，nxf)( . 因为 是有界数列，故存在子列 ，使得 ， ，,21knx0limxkn , . 由此可知，极限 不存在，与题设矛盾.knxfk)( )(lim0

14、fx 证法 2 由函数极限的局部有界性， 与 ，使得);(,xUbaxxM . 是 的一个开覆盖，由有限覆盖定xxMtfUt)(,;(,);(UHx 理，存在 的有限开覆盖 . 取 ，ab Hnii 1 ixni1ma 则 ， 必属于 中某一个 ，于是 .,x ),(kxxfkx)( 5. 设函数 在 上只有第一类间断点.证明 在 上有界.()f, ,ab 证明 反证法. 假若 在 上无界，不妨设无上界，于是()fx,ab ,xn 使 .因为 有界，所以存在收敛子列 .)(limnxfn )(0kkn 若 是 的连续点，则有 矛盾.0 ,)(lim)(li)(0 nkxfxfxfk 若 是 的

15、第一类间断点，则有 或 ，x()f 0)(linnkxfk 亦矛盾. 习题 2-6 1设 在 内有定义， . 若对任意的 ，存在 及()fx, )abacdb, xcd0xM ，使得 ，有0x(, )xx ，(xffM 证明:存在 ，对一切 ，有M, , xcd .()ffx 证明 作开区间集 ， 覆盖 . 根据有限覆盖定理， , ,cxEE,dc 存在 的有限子覆盖，记为 ,dc ).,(,),( ),( 2211 mmxxx 当 时，有 .,ii ),21( ( iMffix 令 ，用插项法可得mxxM21 ， .()ff, xcd 2. 设 在 上连续且恒正,试用有限覆盖定理证明: 在

16、上存在正的下界.xab ()fx,ab 3. 用有限覆盖定理证明区间套定理. 证明 设 为区间套，要证存在 ，使 ., nba),21( nban 用反证法.假若 都不是 的公共点，于是 ，使得 ，因1x, nbax,xnba 而 . 作开区间集 ，它覆盖了,);( ,0nxxbaU , );( 1UHx .由有限覆盖定理，存在有限开覆盖 覆盖1ba Hnixi ,2, ., 现取 ， ，而 ，ixni1ma),(,1ixninUb,),(11baxini 这与 相矛盾. 由此可知存在 ，使 .,1ban),21( nban 习题 2-7 1. 用柯西收敛准则判定下列数列的收敛性 (1) 2c

17、os1cos;n nx (2) 1()3 (3) .201nnxaqaq (,01,)kaM 解 (1) 收敛. 因为 npnpnpn 21)21(2121cos()cos)cs(22 (2) 收敛. 因为 1)312(1 ( )1nnpxpnp (3) 收敛. 设 ，则m)( 01 (q112Mqaaxmnnn 2. 满足下列条件的数列 是不是柯西列?nx (1) 对任意自然数 ,都有plim0;pn (2) ,11nnxkx(,23,);k (3) .1kM,0 解 (1) 对任意自然数 ,都有 ，即 当 时，有plimnpnx,0Nn 故 是柯西列.,npxnx (2) 因为 ，121x

18、kxiii 所以 .kxxinini 1)(221121 再由(3)，取 即可得证.kxM2 (3) 记 ， niiy21),32(n 显然， 是递增有界数列，因而是收敛数列，也是柯西列. 再根据不等式n ，),21( 1 pyxxnppniipn 可知 是柯西列.n 3证明 存在的充要条件是：对任意给定的 ，存在 ，当 ()xlimf 0X, xX 时，恒有 . 证明 必要性.设 ，则 ，当 时，恒有Axfx)(li ,x .2 于是，当 时，有Xx, .2)()()( Axffff 充分性.已知 ，当 时，有 .0 ,X, )(xff 于是， ，对上述 ，当 时，有)(:nxn N ,0n

19、m, ，Xxm , 从而有 .)(mnxff 根据数列极限的柯西收敛准则可知 收敛，再由函数极限与数列极限的关系得到 )(nf 存在.)(lixfx 习题 3-1 1. 设定义在 上的函数 在 内连续,且 和 存在(有限).问,ab()fxablim()xafli)xbf 在 上是否有界?是否能取得最值?()fx, 解 在闭区间 上构造辅助函数,ab . ),(,)( )bxffxg 则 在 上连续，从而 在 上有界. 由于 ，故)(,ab)(g,a)( )(bxafxg 在 上也有界，即存在 ，使得 .xf 01M, ,)1Mf 令 ，则有 .)( ,max,1bfM (x 条件同上，但 在

20、 上却不一定能取得极值. 例如：()f 2. 试用确界存在原理或有限覆盖定理证明有界性定理. 证明 （1）用确界存在原理证. 设 在 上有界. ，则 非空)(xfE,a,baxE 且有上界，由确界存在原理，存在 . 下面要证 并且 ，以使sup ，,baE 即 在 上有界.反证法。若 ，由连续函数的局部有界性， 在()fxb )( ,0xf 内有界，即存在 ，使 ，这与 相矛盾，所以 .,00xE0Esupb 再证 在 上有界. 因为 在点 连续，所以存在 ，使 在()fx,ab()fx ()fx,b 上有界；再由 可知 在 上有界，于是 在 上有界.Esup()fx2,ba()fx,ab （

21、2）用有限覆盖定理证. 已知 在 上连续，则 在 上每一点 的f, 0x 极限存在，因此存在点 的邻域 ，使 在该邻域内有界， ，这里0x),(0)(xf Mf)( 的正数 及 与点 有关.由于 上的每一点都得到这样一个邻域（即开区间） ，这些Mba 开区间的全体构成一个开区间集，它覆盖了 . 根据有限覆盖定理，在开区间集中必有, 有限个开区间覆盖 ，记这有限个开区间为, ，相应的 分别记为) ,(,) ( ) ,( 2211 kkxxx M . 令 ，则有 .kM2 ma1M , ,(baxf 注：对于区间端点 和 ，可以用延拓的方法将 及 换为开区间ab),a,(b 及 ， 并考虑函数),

22、(a),( bxbfaxfg ),( 3. 设 是 上的连续正值函数,若 .证明 .()fx0lim()xflim()xf 证明 反证法. 假定结论不成立，则 有 ，使得 .nX ,0Xn0 因为 连续，所以 在 上有界，从而 ，使得 时，有)(xf)(xf,0Mxf)( 由此可知， ，使 ，这与.Mnxfn)(li)xf 矛盾. 4. 设 在 内连续,且 .证明 在 内可取得最小值.()fx)lim()xf()f,) 证明 因为 ，故 有 ，且 ，当(lifx ,00xX 时，有 . 由于 在-X ，X上连续，故可取得最小值，从而Xx)x()f 在 内可取得最小值.()f), 5. 设 在

23、上连续,若开区间 内任一点均非 的极值点.证明 在(fxab(,)ab()fx()fx 上单调.,ab 证明 容易知道， 的最大、最小值点不在 内，因此不妨假定 是最小()fx(,)(af 值， 是最大值，此时 是递增的.事实上，若存在 ，使得)(f 2121),(xbx ，则 是 上的最大值， 是最小值. 而在 上，则21x)(1f,2x)(f , 是最大值， 是最小值. 由此得出 是 的极大值点，矛盾.)(fa1x 6. 设 在 上连续,且对任意 总存在 使 .证明fxb,xab,yab1()()2fyfx 在 上存在零点.()f, 证明 由于 在 上连续，故 在 上也连续，设 为其最小值

24、.()fx,a)(xf,)(0xf 又依题设，存在 ，使得 ，这只有 .,0by200yf)(00yff 7. 用有界性定理证明最值存在定理. 证明 因为 在 上连续，所以有界，从而存在上、下确界 、 .现证()fx,ab Mm,0bax 使 （对 类似可证）.假若不存在这样的 ，则对 有 .Mf)(m0x,ba0)(xf 令 ，易知 在 上连续，从而有界.不妨设)(1xfxF)(xF,ab ,)(baF 但因 是 的上确界，故存在 使f , MxfxMxf )(1)(,1)( 矛盾. 习题 3-2 1 . 设 , , , .证明: 方程 在 和1a230123b3120aaxbxb12(,)

25、 内恰好各有一个实根.23(,)b 证明 令 ，则 在 和 内连续，321)(bxabxaf )(xf12,)b3(,) 是 的无穷型间断点.321,bf 由 ， 2121 lim ,limbxaxab 则有 ， 32111li)(libfxbx .32122li)(li bxaafbxbx 从而必存在 ，使 . 对 在 上应用) ,10)( ,)(21xff )(xf,21 零点定理，则 在 内至少存在一个根.又由于 ，故 在)(xf,(,212)(xf 内单调减，所以恰有一个实根.12(,)b 类似证明 在 内也恰有一个实根.)(xf),32b 2. 闭区间 上具有介值性的函数是否一定在

26、上连续?,a,ab 解 如果一个函数可以取到它的任何两个函数值之间的一切值，则称此函数具有介值性 质.闭区间上的连续函数具有介值性，但反之不真. 例如 .01 ,)(xxf 具有介值性，但在 不连续. 又例如0 .1 ,)( xxxf为 无 理 数 ，为 有 理 数 ， 虽然 取介于 之间的所有数作为其函数值，但是 在 上)(xf 1,1ff )(xf1, 并不连续. 3. 设函数 在开区间（ ）上连续，且 和 存在，证明： 可()f, ab(0)fa()fb()f 取到介于 和 之间的一切值.0a()f 证明 作辅助函数 . ),0( ,)bxfafxg 在 上连续，当 时， .)(xg,a

27、b,)(fg 4. 设 在 上连续, , .证明存在 使 .f nxalimnxA,ab()fA 证法 1 因为 在 上连续，所以存在最大值 和最小值 ，且使()f,bMm ，从而有 .由介值定理知 ，使Mxfmn)( xfAn)li , .A 证法 2 因为 有界，所以存在收敛子列 .而 在nx )( ,kbaxkn(fx 上连续，故有 .,ab Afffnkk)(lim)(li)( 5. 设 在 上连续, .证明：存在 , 使得()fxabab,cd2ac . fcd 证明 设 ，则)(2()xfxfF ， .)(abfa )2()bafbF 因为 ，所以 ，故存在 ，使得)f)( , ，

28、即 .0)2()fF )(2ff 令 ，则 .2 ,abdc )( ,2cfdfabcd 6. 设 在 上连续, 是任一自然数.()fx01n (1) 若 .证明存在 ,使 ；(f 1,0,n()ff (2) 若 .证明存在 使 .),)f(,1)n()f 证明 (1) 作 ，则有)(xffxF ).1()1( ,22 ),1()1(,00nfnFnffn 由此，相加得 0)()()(0f 若有 ，使得 ，则取 ，即得所证.)(a1,2 nk nkFnk1, 若对一切 均有 ，则必存在 ，使b )(f 21 ，从而可知在 与 之间存在 ，使得 0)( ,)(21nFk12)(10ff 因此，取

29、 即可得证., (2) 作 ，证法同(1).nxffxF1)() 习题 3-3 1. 判断下列函数的一致连续性. (1) , ; (2) , ;2()sinfx0)2()fx(,) (3) , ; (4) , .1(30 解 (1) 因为 212121212 sinisnisini xxxx 所以 只要取 ，则 ，当 时，就有,0), 212sinix 故 在 上是一致连续的.()fx),0 (2) (3) 取 . 任给 ，取 ，21021 ,21nxn 当 充分大时，有 ，,)(4nxn 但是 212si)si 故 在区间 非一致连续.()fx1 ,0( (4) 2. 设 , 在有限开区间

30、内均一致连续.证明 也在 内一致连续.若()fxg(,)ab()fxg(,)ab 换为无限区间,结论还成立吗?ab 证明 易知 , 在 有界，设 ，则()fxg(,)ab21)( ,)(Mxxf 有),(,x )()( )( ()12 xgMxfffxgff 由此可知， 在 内一致连续.()f(,)ab 若 换为无限区间,结论不一定成立. 例如 在 一致连续，而(ab xf)(),1 在 不一致连续. 又如 .2)xgf),1sin,agx 3. 设 在有限开区间 内连续. 证明 在 内一致连续的充要条件是:极限(,ab()fab 和 均存在.lim)xafli)xbf 证明 必要性. 由 在

31、 内一致连续可知， ， ，当()fx,ab0 时， . 于是，对 中满足,x)(xff (,)ab 的任意两点，可知 ，2 a x 从而有 .)(xff 根据柯西收敛准则，极限 存在. 类似证明 存在.lim)xalim()xbf 充分性. 作函数 . ),(),(,)xbfafF 显然， 在 上连续，由康托定理 在 上一致连续，当然在 内也一)(x,ba)(F,b(,)ab 致连续.又因为 ，所以 在 内一致连续.),()axfFfx()a 4. 设 在有限开区间 内一致连续.证明 在 内有界. ()fx , 证明 由 3 题直接可得. 5. 设 在有限区间 上有定义,证明 在 上一致连续的

32、充要条件是 把柯西列()fI()fxI ()fx 映射成柯西列,即对任何柯西列 , 也是柯西列. nIn 证明 必要性. 设 在 上一致连续，则 ，使得()fx0, .Ixf , ,)( 设 满足 ，于是对上述 ， ，n,x 0)(limnnx nxN, 从而有 .ff 充分性 反证法.假若 在 上不一致连续，于是 ，()xI nxIxnn1,0 但 .由致密性定理， ；因为0)(nnfxf )( , kxkknn ，故 . 数列 收敛于 ，kk knxlim ,21 k 因而是柯西列.但由 ，可知0)(kkff 不是柯西列，与假设矛盾. )(,),(,),(2211 kknnn xfxxff

33、 习题 11-1 1. 求下列函数项级数的收敛域. (1) ； (2) .21 nx12(3)nx1) 解 (1) 设 ，, )(2xunn 当 时，因为 ，所以级数绝对收敛； 又因为 ，令 1x )(1xunn ，得 ，所以，当 即 时，级数也绝对收敛. 当 时，tnntu )(1t x 有 ，故级数发散.综合以上结果，该级数的收敛域为 .2xn (,)1, (2) 当 时，有 ，此时级数发散；0nnu2)( 当 时，有 ，故 时级数发散.x nnn xx311)(32 所以，级数的收敛域为 .) ,2() ,( 2. 讨论函数项级数 的敛散域. 1 nxa0 解 如果 ，由于 ，0xanx

34、an1limli 所以，当 时，级数收敛；当 时，由 可知级数发散；1x1n 当 时，由 可知级数也发散；当 时，由 Abel 判别法可na)( 1x 知级数 收敛. 1)(nn 如果 ，从 可知， 当 时，级数绝对收敛annnnaxa 1)(1 ax （Cauchy 判别法） ；当 时，由 知级数发散.x)( n 习题 11-2 1. 证明函数项级数 在 上一致收敛.1()1)nxn ,) 证明 因为 )( 11)( ,1 nxkxksxkn 而且 ， 故结论成立. 01)( nsn 2. 设 在区间 上一致收敛于 ,且对任意 有 .试问是否存在 ,()nfxI()fxxI()fAN 使当

35、时,对任意 有 ?NnfA 解 否. 例如： 在 内一致收敛于 ，且arctyxx1)(),(arctyx .但是对任何正整数 ，存在 和4),1(arctyxx NNn10 ， 使18320Nty 48)32(00 arctyxn 3. 设 在 上收敛于 ,且 在 上连续.()nfx,ab()ff,b (1)若 在 上单调递增. 证明 在 上一致收敛于 ;12) ()nfx,ab()fx (2) 证明 在 上一致收敛于 的充要条件是 :对 中任一收敛点列(nfx, , 有 .0()nx0lim)(nfx 证明 (1) 由 的连续性可知，对任给的 ，存在分割(xf bxxan10 使得 )()

36、1iixf ),21(ni 又存在 ，使当 时，有 Nn)iinxf ),(i 从而可知，对任意的 ，有 .iixx1:(1inni xff 注意到 是递增的，故有 .)(f )()() iniiin xfxf 从而得到 .( ()baxfn (2) 证明 必要性. 由一致收敛性可知， 当 时，有, 01N1n 2)(xffn )(x 又由 的连续性知，存在 ，当 时，有)(xf 12Nn 2)(0xffn 从而得到 .)()( 00 xfffxf nnn 充分性. 反证法.假定 不一致收敛于 ，则 以及 ，()nfx,baxkn ，使得 （ ）),21(k 0(kknf 且不妨假定 ，由 的

37、连续性及题设可知， ，当 时，有0xkn)Kk ， .2)(ffk 2)(0xffkn 从而得到 ，000)()( kkkk nnn xffxf 这与（ ）式矛盾. 习题 11-3 1. 在定理 11.3.1 (定理 11.3.1)和定理 11.3.3(定理 11.3.3)中,若将区间改为开区间或无限区间,结 论是否仍然成立? 2. 在定理 11.3.3 (定理 11.3.3)的条件下,能否推出 一致收敛?()nSx1()nu 3. 在定理 11.3.3 (定理 11.3.3) 中将条件(2)减弱为: 在 中某一点处收()nSx1()nu,ab 敛.其结论不变,试给出证明. 4. 利用定理 1

38、1.3.1证明下列函数项级数不一致收敛. (1) , , (2) , .0(1)nnx0120(1)nnx01 证明 (1) ， 在 上不连续，0( ,)(,nsxs )(x1,0 所以级数不一致收敛. (2) ， 20(1)nnx022)1(nx 在 不连续，所以级数不一致收敛.)(s ,2x 5. 设 (例 11.2.3),试问 在 上是否一致收敛?是否有2()1nS()nSx,) , ?limlinnxx ,) 证明 （1） . 取 0 ,1)(lim)( ,1()2 xsxs nnn21 则 不趋于 ，故 在 上不一致收敛25()nnxs ,0nnS) （2） 由于在 处， 1(li)

39、( ,0)(li xsxsn 所以，在 处 不成立.0xlim()li()nnSx 6. 证明 在 上是连续的.1()ns(1,) 证明 因为 ，使得 ，所以只需证明该级数在)0 ,0rx ,0rx 上是一致收敛的. 由于 ,r , ,)1(1( rxnxn 又注意到 ，当 时有 .Nn0 ,)qrn 根据 M判别法可知，该级数在 上一致收敛，这说明 在点 处连续，由,)(xs0 的任意性可知 在 上连续.)1,(0x)(xs1 7. 证明 ( 为欧拉常数).011limln()()nnkdc 证明 由于 ，故 在 上一致收敛.从而有21)(nx1)(nx1,0 （C 为欧拉常数）CNn dx

40、nddnNNnN1101010 )l(lim )(limli)( 8. 证明 在 上连续可导.31si()nxx(,) 证明 首先，由 ，可知该级数在 上一致收敛，),( ,1i3xn ),( 从而 在 上连续. 又因为 ，而)(xs), ),( ,cos)si(23xnd12cosnx 在 上一致收敛. 根据逐项求导定理可知 ，由),( ),( )(12sn 于每一项 连续，所以 在 上连续.2cosnx)(xs), 习题 11-4 1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性. （1） ， ；（2） ， ；nxneS)(0, )()nxnSe0,1 （3） ， （i） ， （ii） ；s

41、i ,x() （4） ， （i） ， （ii） .21)(xnn1, 2x 解 （1） . s ),0(,lm)(li xesnx ， 故 一致收敛.exnxn)(sn （2） ，令 ，得 .0)(lis )1()(xexnnx1 当且仅当 时.1)(exsnn , 所以，当 时， 在 上一致收敛.1()xS （3） . )(xs0sinlm)(lisn (, )x （i）当 时， ， 故 在 一致收敛.(, )x00sinnx)(xsn), （ii）当 时，(,)sn ii)( 对于 ，无论 取多大，当 时，总有 .21n2x21sin)(xn 故 在 不一致收敛.)(xsn), （4） ，

42、 .01lim(li2xnxsn 1)(2xnsxn （i）当 时，对于 ，无论 取多大，当 时，总有0, 1x3 ，故 在 不一致收敛.2)(sn )(sn , （ii）当 时， ， ,x nxxxn 1122 故 在 一致收敛.)(sn1 2. 讨论下列函数项级数的一致收敛性. （1） ， ;21nxne(0,)x （2） ， ;1)(nnx(2, ) （3） ， ;21ne (0, )x （4） ， ;134sinx(, ) （5） ， ; 11)(nn 0, 1x （6） ， .1sinx, ) 解（1） （2）因为 ，而 收敛，由 M判别法可知)2( 12)(nxunn 1n 所论级数一致收敛. （3） （4）因为 ，而 收敛，由 M判别法所论可知34341sin)(xxun