拉普拉斯变换的应用.doc

1、第1页共22页1毕业设计（论文）题目拉普拉斯变换的应用院（系）数学科学学院专业信息与计算科学届别学号姓名指导老师第2页共22页2摘要拉普拉斯变换是重要的定理本文首先叙述拉普拉斯变换的相关定理及其推广，然后通过了举例子的方法来列举了拉普拉斯变换在广义积分、微分方程求解中应用,以及拉普拉斯变换的延迟性质的应用关键词拉普拉斯变换拉普拉斯变换应用；拉普拉斯变换的推广ABSTRACTTHETHEOREMOFLAPLACETRANSFORMISIMPORTANTTHISPAPERDESCRIBEDTHERELATEDTHEOREMANDITSEXTENSIONOFTHELAPLACETRANSFORMAT

2、ION,THENANEXAMPLETHROUGHTHEWAYOFENUMERATINGTHELAPLACETRANSFORMATIONAPPLIEDINTHEGENERALIZEDINTEGRAL,DIFFERENTIALEQUATION,ANDDELAYTHENATUREOFTHEAPPLICATIONOFLAPLACETRANSFORMKEYWORDSLAPLACETRANSFORMLAPLACETRANSFORMAPPLICATIONAGENERALIZATIONOFLAPLACETRANSFORM第3页共22页3目录第一章拉普拉斯变换的概念及存在定理4引言41拉普拉斯变换的定义42拉普

3、拉斯变换的存在定理53拉普拉斯变换的基本性质6第二章拉普拉斯变换的推广及其逆变换71拉普拉斯变换的推广72拉普拉斯逆变换7第三章拉普拉斯变换的应用91利用拉普拉斯变换解微分方程（组）92用拉普拉斯变换解积分方程12第四章利用拉普拉斯变换求解广义积分131主要方法及证明132计算0DTTTF型积分153计算00,TDXXTF型积分16第五章延迟性质在拉普拉斯变换中的应用18结语20参考文献21后记22第4页共22页4第一章拉普拉斯变换的概念及存在定理引言复变函数论产生于18世纪，它是数论、代数、方程等理论研究中的重要方法之一，以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分在数学中为了把较复

4、杂的运算转化为较简单的运算,常常采取一种变换手法,如数量乘积或商通过对数变换变成和或者差然后再作指数变换即得原来数量的乘积和商所谓积分变换,就是通过积分运算,把一个函数变成另一个函数的变换,一般是化为含参数的积分积分变换理论和方法不仅在数学许多分支中,而且在其他自然科学和各种工程技术领域中有广泛应用,已经成为不可缺少的运算工具,本论文主要总结归纳了拉普拉斯的变换几个重要方面的应用通过本论文，不仅能使你对拉普拉斯的变换有更加深入的了解，而且能掌握其运用，增强自身的实际运用能力，使得自己对于拉普拉斯的变换有了真正意义上的掌握，而不是仅仅是停留在课本上的认识1拉普拉斯变换的定义设函数T在0，上有定义

5、，如果对于复参变量JWS,积分DTETFSFST0在复平面S的某一个区域内收敛，则称SF为函数TF的拉普拉斯变换，记为SFSF对应地，称函数SF为SF的拉普拉斯逆变换，记为1SFTF同时，SF和SF分别被称为像函数和原函数第5页共22页52拉普拉斯变换的存在定理若函数TF）满足下列条件1在0T的任一有限区间上连续或者分段连续；2当T时，TF具有有限的增长性，即存在常数0M及0C，使得CTMETF0X（1）成立（其中C称为TF的增长指数，或者称TF的增长是不超过指数级的）则TF的拉普拉斯变换FS在半平面CSRE上一定存在，拉普拉斯积分在CC1RE上绝对收敛而且一致收敛，并且SF在CSRE的半平面

6、内解析证设JWS,则TSTEE，由不等式（1），可得DTEMDTETFSFTCST00又由CSRE，即0C，可知上式右端积分收敛，因此SF在半平面CSRE上存在注1上述拉普拉斯变换存在定理证明表明，一个函数即使它的绝对值随着T的增大而增大，但只要不比某个指数函数增长得快，则它的拉普拉斯变换就存在，这一点可以从拉普拉斯的变换与傅里叶变换的关系中得到一种直观的解释大多数物理和工程技术中常见的函数都满足存在定理的条件，因而拉普拉斯变换的应用范围较傅里叶更广泛注2存在定理中的条件是充分而非必要条件例如，对于函数MTTF来说，当1M时，拉普拉斯变换是存在的；但当21M时，TTF1却不满足存在定理中的条件

7、1，因为这时TF在0T时为无穷大，不满足在0T的任一有限区间上连续或者分段连续的要求同理，单位脉冲函数T也不满足定理中的条件，但T的拉普拉斯变换是存在的注3当满足拉普拉斯变换存在定理条件的函数TF在0T处有界时，积分第6页共22页6DTETFTFST0中的下限取0或者0不会影响其结果。但当TF在0T处包含了脉冲函数时，则拉普拉斯变换的积分下限必须明确指明是0还是03拉普拉斯变换的基本性质1线性性质设,为常数，1TF，2TF是任意两个函数，且11SFTF，22SFTF则有2121SFSFTFTF2位移性质若SFTF，0S为常数，则00SSFTFETS（CSS0RE），或者001TFESSFTS3

8、微分性质若SFTF，则0FSSFTF4积分性质若SFTF，则有10SFDTTFST更一般地，有100T0SFDTDTDTNSNTT次第7页共22页7第二章拉普拉斯变换的推广及其逆变换1拉普拉斯变换的推广拉普拉斯变换的定义式为0DXEXFXFXFSX2其中1S是一个复参数，令IWS；2当S时，XF的增长率不超过某一指数函数，存在实数0M及0C，使得CXMEXF0X成立因为原函数XF在区间,0内有定义是一种特殊情况，而在,0X内有定义才是一般情况0X可以小于零，等于零，大于零，所以将1式修改为DXEXFXFSFXXXS003其中10X为任意实常数，即0X；2XX0；3其他条件与式2相同或类似下面式

9、子4称为拉普拉斯变换的推广,下列是对其证明证明若对函数XG先乘以000XXEXXH，并设00XXEXXHXG满足傅里叶积分定理中的条件，然后取傅里叶变换，则有DXEXFEDXEEXXHWGXXIWXIWXIWXXX00000（4）其中10XXH为海维赛函数；20XXHXGXF若令IWS，0ISXSGESF，则得DXEXFSFXXS052拉普拉斯逆变换定理设SF在半平面SRE内除有限个孤立奇点NSSS,2,1外是解析的，且当S时，0SF，则有第8页共22页8JJKSTNKSTSESFSDSESFJ,RE211,即NKKSTSESFSTF1,RE虚轴JRRC实轴JR图81证作如图81所示的闭曲线R

10、CLC,RC在SRE的区域内是半径为R的圆弧当R充分大后，可使SF的所有奇点包含在闭曲线C围成的区域内。同时，STE在全面解析，所以STESF的奇点就是SF的奇点根据留数定理可得CNKKSTSTSESFSJDSESF1,RE2即JRJRCNKKSTSTSTRSESFSDSESFDSESFJ1,RE21在上式左方，取R时的极限，并根据约当引理，当0T时有RCSTKDSESF0LIM从而NKKSTJRJRSTJSESFSDSESF121,RE第9页共22页9当SF为有理函数时，可以结合留数定理的有关方法计算例1求2115SSSSF的拉氏逆变换解2222222212212112152SSSSSSSS

11、SF得2SIN2COS21TTETFT第三章拉普拉斯变换的应用1利用拉普拉斯变换解微分方程（组）例2求方程TEYYY32满足初值条件00TY，10TY的解解设方程组的解TYY，0T，且设SYTY，对方程的两边取LAPLACE变换，并考虑到初值条件，则得113212SSYSSYSYS这是含未知量SY的代数方程，整理后解出SY，得3112SSSSSY，这便是所求的LAPLACE变换，取它的逆变换便可以得出所求函数TY为了求SY的逆变换，将他化为部分分式的形式，即3811831413112SSSSSSSSY，取其逆变换，最后得第10页共22页10TTTEEETY381834123813TTEEE这便

12、是所求微分方程满足索哥初值条件的解本例是一个常系数非齐次线性微分方程满足初值条件的求解问题,下面将给出一个常系数线性微分方程的边值问题的例子例3求方程02YYY满足边界条件4,00LYY的解，其中L为已知常数解设方程的解XYY，LX0且设SYXY（注意自变量T通常表示时间，如不会混淆，这里也可以记TYY）。对方程的两倍取LAPLACE变换，且考虑到边界条件，则得002002SYYSSYYSYSYS整理后得210SYSY取其逆变换，可得LLEYXY0从而LLEY40于是LXXELXY4这便是所求微分方程满足边界条件的解,通过求解过程可以发现，常系数线性微分方程的边值问题可以先当作它的边值问题来求

13、解，而所得微分方程的解中含有未知的初值可由已知的边值而求得，从而最后完全确定微分方程满足边界条件的解第11页共22页11例4解方程组40,2022YXTYXDTDYTYXDTDX解由拉氏变换,TYLSYTXLSX，则有4,2SSYDTTDYLSSXDTTDXL，又知道21STL将原方程组两边同取拉普拉斯变换，可得22124122SSYSXSSXSSYSXSSX经计算，得11313,1133222212SSSSSYSSSSSX最后，由拉氏逆变换得191392831331131330232421221TEEESSDSDESSSLSSSLTXTTSSTSSTTTETETY9139283第12页共22

14、页122用拉普拉斯变换解积分方程例5解积分方程DTFATTFTSIN0解对方程两边作拉普拉斯变换，并注意到原方程中的积分就是未知函数TF与SINT的卷积，从而由卷积定理得到SIN0TTFATTF令TFSF，则有11122SSFSASF，421SSASF作拉氏变换，得61111341214211TTASASASSASFTF例6解积分方程TDTYTTY0COS2SIN解解此方程要用到拉普拉斯变换卷积定理令SYTY，则1211COS2SIN22SYSSSTTYTSY故211SSY，于是TTESYTY1通过对以上例题的求解，我们可以看出，用拉普拉斯变换法解微分方程或积分方程具有以下几个优点；1求解过程

15、规范,便于在工程技术中使用；第13页共22页132当初始条件全部为零时（这在工程中是常常遇到的），用拉普拉斯变换来解方程就会显得特别简单，而用经典的方法求解却不会因此而变得简单；3当方程中的非齐次项（在工程中成为输入函数）具有跳跃点而不可微时，用经典的方法求解是很困难的，而用拉普拉斯变换求解却不会因此而带来任何困难；4在时间计算中可以用拉普拉斯变换表来求一些函数的像原函数，这使得求解方程变得更加方便第四章利用拉普拉斯变换求解广义积分1主要方法及证明如果广义积分0DXXF收敛，那么我们可以利用拉普拉斯变换的方法来求解它的值通过引入参数变量T,使其成为含参变量T的广义积分，此时可视其为T的函数0,

16、DXTXGTF当TF满足拉普拉斯变换存在定理时，可以对TF取拉普拉斯变换,0DXTXGLTFL显然，在等号右侧去拉普拉斯变换时需要交换积分次序下面，我们首先给出，并由此可得到关于交换积分次序的一条定理引理1设,TXG在区间DTCXA,上连续,ADXTXG,关于T在,DC上一致收敛，那么0,DXTXGTF是T在,DC上的连续函数该引理的证明可参加数学分析教材引理2设,TXG在区域BTAXA,上连续，ADXTXG,关于T在,BA上一致收敛，那么0,DXTXGTF在,BA上可积，且BAAABADXTXGDXDXTXGDT,证明由于函数ADXTXG,关于T在,BA上一致收敛，由引理1可知，函数第14页

17、共22页14ADTTXG,关于T在,BA上连续，所以BAABAACDTDXTXGDTDXTXG,LIM对任意AC，由于,TXG在区间BTACXA,上连续，所以CABABACADXDTTXGDTDXTXG,，于是BAACBAACDXDTTXGDXDTTXGDTDXTXG,LIMLIM由上可得BAABAADXDTTXGDTDXTXG,例7计算广义积分其中000,0DTWTJET0WTJ为第一类零阶BESSEL函数解由于221WAPELT，利用00LIMPFPDTTF，可得222200011LIMWAPDTWTJEPT当0A时，即得001WDTWTJ例8计算广义积分00,0WDTWTJERT其中0W

18、TJ为第一R阶BESSEL函数解由于RTRPPWPWWTJL2222,故得RRRTPPWPWWTJEL2222RRRRPRTWAWWPWPPWDTWTJE2222222200LIM第15页共22页15当0A时，即得01WDTWTJR上述结果表明0DTWTJR的值与R无关2计算0DTTTF型积分定理（积分反演定）设TF是可变换的，TFLPF定义在0REP上，且PDPPF收敛，则TTFDPPFLP15有上述可得命题设TF是可变换的，TFLPF定义在0REP上，且PDPPF与0DTTTF均收敛，则PPDPPFLIM0存在，且00DTTTFDPPF6解由1可得PDPPFTTFL则有000LIMPPDP

19、PFDPPFDTTTF例9计算广义积分DTTT0SIN解由于11SIN2PTL利用（6）可得211SIN0002ARCTGPDPPDTTT例10计算广义积分03COS1DTETTT第16页共22页16解设TTFCOS1，则根据性质，有111122SSSSSTFLSF，则222221LN211LN2111COS1SSSSDSSSTTLSS，令3S,得03910LN21COS1DTETTT例11计算广义积分0,0COSCOS0BADTTBTAT解由于2222COSCOSBPPAPPBTATL，利用6可得ABDPBPPAPPDTTBTATLNCOSCOS0022223计算00,TDXXTF型积分例1

20、2计算广义积分00SINTDXXTX解由于,11SIN2222XPFXPXPXXXTXL，PPXARCTGPDXXPDXXPFX211,00022，则0122SINPLDXXTX例13计算广义积分0220COSTDXBABX,解由于,COS222222XPFXPXAPXATXL，第17页共22页1721111,0220222222002222APAPXARCTGPAXARCTGAAPPDXXPBAAPPDXXPXAPDXXPF则，012222COSATEAAPALDXXATX去BT,得ABEADXXABX2COS022例14计算广义积分021SINDXXXX解选取01SIN,2TXXTXXTF

21、，由于,111SIN2222XPFXXPXXTXL，002221211,PPDXXXPDXXPF则，121112121SIN11012EPPLPPLDXXXTX例15计算广义积分0220SINMDXXMX解选取0SIN,2TXTXXTF,由于,412122COS1SIN222222XPFXPPPXXTXLXTXL202200222212142,PPXPXDPDXXPPDXXPF第18页共22页18则，TPLDXXTX22SIN21022取MT，得0222SINMXMX第五章延迟性质在拉普拉斯变换中的应用延迟性质若0T时，0TF，则对于任一00T，有00SFETTFST或者00TTFSFEST证

22、由拉氏变换的定义，有00000000TTSTSTSTDTETTFDTETTFDTETTFTTF由0T时，0TF可知，当0TT时，00TTF，从而上式右端第一个积分为0对于第二个积分，令0TTU，则得000000SFEDUETFEDUETFTTFSTSUSTSTSU例16设TF是周期为T且在一个周期上分段连续的周期函数（在拉氏变换理论中，周期为T的周期函数TF是指当0T时，TF恒等于0；当0T时，TFTTF），证明TSTSTSDTETFETF00RE11证记其他,00,1TTTFTF则第19页共22页19,21111KTTFTTFTTFTFTF在上式两边取拉氏变换,记,011TSTDTETFTF

23、SF从而由延迟性质得10RE11111211211STSTKSTSTSTKSTSTSTESSFESFEEESFESFESFESFTF时，当即0RE110TSTSTSDTETFETF第20页共22页20结语根据论文的性质以及特点，本论文主要是对已有的知识理论进行总结以及扩展，对其运用与扩展进行总结完成此论文主要求对已掌握的知识进行总结归纳，以及陌生的知识点进行查找资料并且了解掌握如何找到对知识点有用的资料这是一个很重要的发面，这需要花费不少精力后面的对资料进行整理归纳是一个难点，这要求你对知识点要有较深刻的认识我通过在图书馆查找相关的书籍以及在报刊上寻找相关论文和网络上查找相关资料相结合，进行一

24、步步筛选从而找到自己所需要的内容，然后添加到论文里面来丰富论文的内容，使得论文根据完整丰富第21页共22页21参考文献1郑列李家雄复变函数与积分变换教程M2版武汉科学出版社，20132张元林积分变换3版北京高等教育出版社M,20123李锐复变函数与积分变换2版哈尔滨哈尔滨工业大学出版社M，20144钟玉泉复变函数论M3版北京高等教育出版社，20045盖云英复变函数与积分变换学习指导M2版北京科学出版社，20066严振军复变函数M2版合肥中国科技大学出版社，20017孙振绮，丁效华复变函数论与运算微积M北京机械工业出版社，2004第22页共22页22后记当我写到这里的时候，我终于放下心来了，毕业

25、论文终于写完了这可以说是我大学四年来的的一个学习成果的汇报和总结回首大学四年来，不得不感慨时间的转瞬即逝还记得我们那时刚刚踏入大学的校门口，一转眼现在又要步入社会了这四年里我学的了很多也成长了很多，这都离不开身边的同学和老师的帮助首先，我要感谢的是我的论文指导老师林珍连老师老师在忙碌的教学过程中经常抽出时间来对我进行指导，指出我论文的不足之处，并给我指明改正的方向对于我不了解的地方对我耐心的进行讲解，给了我很多的建议和启发林老师严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远对于老师的指导和帮助，永远都会铭记其次我还要感谢身边陪伴我的亲人，同学，和曾经教过我的老师，曾经帮我我的人，他们堆我的成长起着重大的作用，他们对于我的帮助我将铭记于心最后，我要感谢我自己。正是因为自己的坚持和不懈努力，才能完成这篇论文所以我相信，只要有坚定的信念，我们就没有克服不了的困难