深圳市罗湖区2016届九年级上期末数学试卷含答案解析.doc

1、广东省深圳市罗湖区 2016 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，每小题给出的四个选项中，其中只有一项是 正确的 1一元二次方程（x1） （x 2）=0 的解是（ ） Ax=1 Bx=2 Cx 1=1，x 2=2 Dx 1=1，x 2=2 2如图，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、C 的中点，则 SADE：S ABC=（ ） A1：2 B1：3 C1：4 D1：5 3如图，平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可用如图表示，则图中阴影部分所表示的 图形是（ ） A矩形 B菱形 C矩形或菱形 D正方形 4在 RtABC 中， C=90

2、， BC=a，AC=b ，AB=c，则 sinA=（ ） A B C D 5小亮根据取 x 的值为：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5 时，代入 x212x15 求值，估算一元二次方程的 解（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+12x15 .59 0.84 2.29 3.76 5.25 A1.1x1.2 B1.2x 1.3 C1.3x1.4 D1.4x1.5 6如图，在 22 的正方形网格中有 9 个格点，已经取定点 A、B、C，在余下的 6 个点中任取一点 P，满足ABP 与ABC 相似的概率是（ ） A B C D 7对于抛物线 y=3（x2） 2+1，下列说法中错

3、误的是（ ） A抛物线开口向下 B对称轴是直线 x=2 C顶点坐标是（2，1） D抛物线与 x 轴没有交点 8如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（ ） A12cm 2 B8cm 2 C6cm 2 D3cm 2 9如图，在ABC 中，AB=AC ，A=36 ，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，下列结论正确的有（ ） AD=BD=BC；BCD ABC； AD2=ACDC；点 D 是 AC 的黄金分割点 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10如图，A、D 是电线杆 AB 上的两个瓷壶，AC 和 DE 分别表示太阳光线，若某一时刻线段 AD 在地面上的影长 CE=1m，BD 在

4、地面上的影长 BE=3m，瓷壶 D 到地面的距离 DB=20m，则电线杆 AB 的高为（ ） A15m B m C21m D m 11如图，将 n 个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放，点 A1，A 2，A n 分别是正方形的中心， 则这 n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ） An Bn 1 C4（n 1） D4n 12如图，点 A 在双曲线 y= 上，且 OA=4，过点 A 作 ACx 轴，垂足为 C，OA 的垂直平分线交 OC 于点 B，如果 AB+BCAC=2，则 k 的值为（ ） A82 B8+2 C3 D6 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分 13在某校组

5、织的知识竞赛中共有三种试题，其中语文类 4 题，综合类 8 题，数学类若干题已知 从中随机抽取一题，是数学类的概率是 ，则数学类有 题 14如图，小明在 A 时测得某树的影长为 2m，B 时又测得该树的影长为 8m，若两次日照的光线互 相垂直，则树的高度为 m 15如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是直线 x=1，若点 P（4，0）在该抛物线上，则一 元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根为 16如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 在 DE 上，且 DR：RE=5 ：4，BR 分别与 AC、CD 相交于点 P、Q ，则 BP：PQ：PQ= 三、

6、解答题：本题共 7 小题，其中第 17 小题 6 分，第 18 小题 6 分，第 19 小题 7 分，第 20 小题 7 分，第 21 小题 8 分，第 22 小题 8 分，第 23 小题 10 分，共 52 分 17计算：| |+ sin45（ ） 1 （3） 0 18如图，把带有指针的圆形转盘 A、B 分别分成 4 等份、3 等份的扇形区域，并在每一个小区域 内标上数字（如图所示） 小明、小乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转 盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为 3 的倍数，则小明胜；否则，小乐胜 （若有指针落在 分割线上，则无效，需重新转动转盘） （1）试用列表或画

7、树状图的方法，求小明获胜的概率； （2）请问这个游戏规则对小明、小乐双方公平吗？做出判断并说明理由 19如图，一次函数的图象与反比例函数 y= 的图象交于点 A（m，6）和点 B（4， 3） （1）求反比例函数的表达式和点 A 的坐标； （2）根据图象回答，x 在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值 20人民公园划出一块矩形区域，用以栽植鲜花 （1）经测量，该矩形区域的周长是 72m，面积为 320m2，请求出该区域的长与宽； （2）公园管理处曾设想使矩形的周长和面积分别为（1）中区域的周长和面积的一半，你认为此设 想合理吗？如果此设想合理，请求出其长和宽；如果不合理，请说明理由，并求出

8、在（1）中周长 减半的条件下矩形面积的最大值 21如图，某测量员测量公园内一棵树 DE 的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点 A 处测得树顶 端 D 的仰角为 30，朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C 处，测得树顶端 D 的仰角为 60已知 A 点的高度 AB 为 3 米，台阶 AC 的坡度为 1： （即 AB：BC=1： ） ，且 B、C、E 三点在同一条 直线上 （1）求斜坡 AC 的长； （2）请根据以上条件求出树 DE 的高度（侧倾器的高度忽略不计） 22如图，正方形 ABCD 中，P、Q 分别是边 AB、BC 上的两个动点，P 、Q 同时分别从 A、B 出 发，点 P 沿 AB 向

9、B 运动；点 Q 沿 BC 向 C 运动，速度都是 1 个单位长度/秒运动时间为 t 秒 （1）连结 AQ、DP 相交于点 F，求证：AQDP； （2）当正方形边长为 4，而 t=3 时，求 tanQDF 的值 23如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C（0，3） 且点 A 的坐标为（1，0） ，点 B 的坐标为（3 ，0） ，点 P 是抛物线上第一象限内的一个 点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）连 PO、PB，如果把POB 沿 OB 翻转，所得四边形 POPB 恰为菱形，那么在抛物线的对称 轴上是否存在点 Q，使Q

10、AB 与 POB 相似？若存在求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由； （3）若（2）中点 Q 存在，指出 QAB 与 POB 是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐 标 广东省深圳市罗湖区 2016 届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，每小题给出的四个选项中，其中只有一项是 正确的 1一元二次方程（x1） （x 2）=0 的解是（ ） Ax=1 Bx=2 Cx 1=1，x 2=2 Dx 1=1，x 2=2 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题 【分析】利用因式分解法解方程 【解答】解：x1=0 或 x

11、2=0， 所以 x1=1，x 2=2 故选 C 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解 化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方 程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学 转化思想） 2如图，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、C 的中点，则 SADE：S ABC=（ ） A1：2 B1：3 C1：4 D1：5 【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理 【分析】证出 DE 是ABC 的中位线，由三角形中位线定理得出 DEBC，DE= BC，

12、证出 ADEABC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论 【解答】解：点 D、E 分别是 AB、C 的中点， DE 是ABC 的中位线， DEBC，DE= BC， ADEABC， SADE：S ABC=（ ） 2= ； 故选：C 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理， 证明三角形相似是解决问题的关键 3如图，平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可用如图表示，则图中阴影部分所表示的 图形是（ ） A矩形 B菱形 C矩形或菱形 D正方形 【考点】多边形 【分析】根据正方形、平行四边形、菱形和矩形的定义或性质逐个进行分析，即可得出答案

13、【解答】解：正方形是特殊的矩形，即是邻边相等的矩形， 也是特殊的菱形，即有是一个角为直角的菱形； 正方形、矩形和菱形都是特殊的平行四边形， 故图中阴影部分表示的图形是正方形 故选：D 【点评】此题主要考查学生对正方形、平行四边形、菱形和矩形的包含关系的理解和掌握，解答此 题的关键是熟练掌握这四种图形的性质 4在 RtABC 中， C=90， BC=a，AC=b ，AB=c，则 sinA=（ ） A B C D 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据正弦的定义解答即可 【解答】解：sinA= = ， 故选：B 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余

14、弦 为邻边比斜边，正切为对边比邻边 5小亮根据取 x 的值为：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5 时，代入 x212x15 求值，估算一元二次方程的 解（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+12x15 .59 0.84 2.29 3.76 5.25 A1.1x1.2 B1.2x 1.3 C1.3x1.4 D1.4x1.5 【考点】估算一元二次方程的近似解 【分析】由表格可发现 y 的值0.59 和 0.84 最接近 0，再看对应的 x 的值即可得 【解答】解：由表可以看出，当 x 取 1.1 与 1.2 之间的某个数时，y=0，即这个数是 x212x15=0 的 一个根

15、 x212x15=0 的一个解 x 的取值范围为 1.1x1.2 故选：A 【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方 程关系正确理解的基础上的 6如图，在 22 的正方形网格中有 9 个格点，已经取定点 A、B、C，在余下的 6 个点中任取一点 P，满足ABP 与ABC 相似的概率是（ ） A B C D 【考点】概率公式；相似三角形的判定 【分析】找到可以使ABP 与 ABC 相似的点，根据概率公式解答即可 【解答】解：满足ABP 与 ABC 相似的点有 3 个， 所以满足ABP 与ABC 相似的概率是 故选 A 【点评】本题考查了概率公式：如果

16、一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A ）= 7对于抛物线 y=3（x2） 2+1，下列说法中错误的是（ ） A抛物线开口向下 B对称轴是直线 x=2 C顶点坐标是（2，1） D抛物线与 x 轴没有交点 【考点】二次函数的性质 【分析】根据抛物线的解析式，由 a 的值可得到开口方向，由顶点式可以得到顶点坐标和对称轴， 根据抛物线所处的位置即可确定与 x 轴的交点情况 【解答】解：抛物线 y=3（x2） 2+1， a=30，抛物线的开口向下，故选项 A 错误； 顶点坐标是（2，1） ，则对称轴为直线 x=2，故选项 B、C

17、错误； 顶点在第一象限，开口向下， 抛物线与 x 轴有两个交点，故选项 D 正确； 故选 D 【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的解析式可以得到开口方向、对称 轴、顶点坐标 8如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（ ） A12cm 2 B8cm 2 C6cm 2 D3cm 2 【考点】由三视图判断几何体；圆柱的计算 【分析】首先判断出该几何体，然后计算其面积即可 【解答】解：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为 3cm，底面直径为 2cm， 侧面积为：dh=23=6， 故选 C 【点评】本题考查了由三视图判断几何体及圆柱的计算，解题的关键是首先判断出该几何体 9

18、如图，在ABC 中，AB=AC ，A=36 ，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，下列结论正确的有（ ） AD=BD=BC；BCD ABC； AD2=ACDC；点 D 是 AC 的黄金分割点 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；黄金分 割 【分析】在ABC 中，AB=AC ，A=36 ，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，可推出 BCD，ABD 为 等腰三角形，可得 AD=BD=BC，正确；由三角形的面积公式得出正确；利用三角形相似的 判定与性质得出正确，即可得出结果 【解答】解：由 AB=AC，A=36，

19、得 ABC=C=72， 又 BD 平分 ABC 交 AC 于点 D， ABD=CBD= ABC=36=A， AD=BD， BDC=ABD+A=72=C， BC=BD， BC=BD=AD， 正确； BCD 是ABC 的一部分， 错误； 由知：CBD= A， C=C， BCDACB， BC：AC=CD：BC， BC2=CDAC， AD=BD=BC，AD 2=CDAC， 正确； 设 AD=x，则 AC=AB=1，CD=ACAD=1 x， 由 AD2=CDAC，得 x2=（1x） ， 解得 x= 1（舍去负值） ， AD= ， 正确 正确的有 3 个 故选 C 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质

20、，相似三角形判定与性质明确图形中的三个等腰三 角形的特点与关系是解决问题的关键 10如图，A、D 是电线杆 AB 上的两个瓷壶，AC 和 DE 分别表示太阳光线，若某一时刻线段 AD 在地面上的影长 CE=1m，BD 在地面上的影长 BE=3m，瓷壶 D 到地面的距离 DB=20m，则电线杆 AB 的高为（ ） A15m B m C21m D m 【考点】相似三角形的应用 【分析】根据阳光是平行的得到BDE BAC，利用相似三角形对应边成比例得到关于 AB 的比例 式，再代入数据求解即可 【解答】解：太阳光线是平行的， ACDE， BDEBAC， ， BE=3m，CE=1m ， BC=4m，

21、， 解得：AB= 故选：B 【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度不 大 11如图，将 n 个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放，点 A1，A 2，A n 分别是正方形的中心， 则这 n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ） An Bn 1 C4（n 1） D4n 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质 【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的 ，已知两个正方形可得到一个阴影部 分，则 n 个这样的正方形重叠部分即为（n1）个阴影部分的和 【解答】解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的 ，即是 4=1， n 个这样的正方形重

22、叠部分的面积和为：1（n 1）=n 1 故选：B 【点评】此题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到 n 个这样的正方形重叠部分的面积和的 计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积 12如图，点 A 在双曲线 y= 上，且 OA=4，过点 A 作 ACx 轴，垂足为 C，OA 的垂直平分线交 OC 于点 B，如果 AB+BCAC=2，则 k 的值为（ ） A82 B8+2 C3 D6 【考点】勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征；线段垂直平分线的性质 【分析】首先设点 A 的坐标为（ x，y） ，由 OA=4，可得 x2+y2=16，由题意得出 xy=2，由 得出 xy=6，即可得出结果 【

23、解答】解：设点 A 的坐标为（ x，y） ， OA=4， x2+y2=16， OA 的垂直平分线交 OC 于 B， AB=OB， AB+BCAC=OB+BC+AC=OC+AC=xy=2， 由得：xy=6， 点 A 在双曲线 y= 上， k=6 故选：D 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及反比例函数的性质此题难度适中，注意掌握数形 结合思想与方程思想的应用 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分 13在某校组织的知识竞赛中共有三种试题，其中语文类 4 题，综合类 8 题，数学类若干题已知 从中随机抽取一题，是数学类的概率是 ，则数学类有 24 题 【考点】概率公式 【

24、分析】首先设数学类有 x 题，由在某校组织的知识竞赛中共有三种试题，其中语文类 4 题，综合 类 8 题，数学类若干题，由概率公式可得： = ，继而求得答案 【解答】解：设数学类有 x 题 根据题意得： = ， 解得：x=24， 经检验，x=24 是原分式方程的解， 故数学类有 24 题 故答案为：24 【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 14如图，小明在 A 时测得某树的影长为 2m，B 时又测得该树的影长为 8m，若两次日照的光线互 相垂直，则树的高度为 4 m 【考点】平行投影；相似三角形的应用 【专题】计算题 【分析】根据题意，画出示意图，易

25、得：Rt EDCRtCDF，进而可得 = ；即 DC2=EDFD， 代入数据可得答案 【解答】解：如图：过点 C 作 CDEF， 由题意得：EFC 是直角三角形， ECF=90， EDC=CDF=90， E+ECD=ECD+DCF=90， E=DCF， RtEDCRtCDF， 有 = ；即 DC2=EDFD， 代入数据可得 DC2=16， DC=4； 故答案为：4 【点评】本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的 应用 15如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是直线 x=1，若点 P（4，0）在该抛物线上，则一 元二次方程 ax2+bx+c=

26、0 的两根为 2 和 4 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】根据抛物线的对称性求出抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标，根据二次函数与一元二次方 程的关系解答即可 【解答】解：抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是直线 x=1，点 P（4，0） ， 另一个交点坐标为（ 2，0） ， 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根为 2 和 4， 故答案为：2 和 4 【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点的求法，掌握二次函数的性质以及二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a 0）与 x 轴的交点坐标，令 y=0，即 ax2+bx+c=0，解关于 x 的一元 二次方程即

27、可求得交点横坐标是解题的关键 16如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 在 DE 上，且 DR：RE=5 ：4，BR 分别与 AC、CD 相交于点 P、Q ，则 BP：PQ：PQ= 7：2：5 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【分析】用平行四边形的性质得到平行，可得到 PB=PR， ，且 DR：RE=5：4，代入可得到 QR 和 PQ 之间的关系，结合 BP=PR=PQ+QR= PQ，可得到答案 【解答】解：四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形， BC=AD=CE， ACDE， PB=PR， ， 又 PCDR， PCQRDQ， ，

28、 DR：RE=5：4， RE= DR， = ， QR= PQ， 又 BP=PR=PQ+QR= PQ， BP：PQ：QR=7：2：5， 故答案为：7：2：5 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质及平行四边形的性质，由条件得到 QR= PQ，BP= PQ，是解题的关键 三、解答题：本题共 7 小题，其中第 17 小题 6 分，第 18 小题 6 分，第 19 小题 7 分，第 20 小题 7 分，第 21 小题 8 分，第 22 小题 8 分，第 23 小题 10 分，共 52 分 17计算：| |+ sin45（ ） 1 （3） 0 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三

29、角函数值 【专题】计算题；实数 【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利 用负整数指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果 【解答】解：原式= + 32 =2 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 18如图，把带有指针的圆形转盘 A、B 分别分成 4 等份、3 等份的扇形区域，并在每一个小区域 内标上数字（如图所示） 小明、小乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转 盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为 3 的倍数，则小明胜；否则，小乐胜 （若有指针落在 分割线上，则无效，需重新转动转盘） （

30、1）试用列表或画树状图的方法，求小明获胜的概率； （2）请问这个游戏规则对小明、小乐双方公平吗？做出判断并说明理由 【考点】游戏公平性；列表法与树状图法 【分析】 （1）列举出所有情况，看指针所指两区域的数字之积为 3 的倍数的情况占总情况的多少， 即可求得小明胜的概率； （2）由（1）进而求得小乐胜的概率，比较两个概率即可得出游戏是否公平 【解答】解：（1）根据题意画图如下： 共有 12 种情况，指针所指两区域的数字之积为 3 的倍数的有 5 种情况，则小明胜的概率是 ； （2）由（1）得乐乐胜的概率为 1 = ，两人获胜的概率不相同，所以游戏不公平 【点评】此题考查了概率的公平性，如果一个

31、事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中 事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A ）= ，注意本题是放回实验解决本题的关键是 得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平 19如图，一次函数的图象与反比例函数 y= 的图象交于点 A（m，6）和点 B（4， 3） （1）求反比例函数的表达式和点 A 的坐标； （2）根据图象回答，x 在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （1）根据 k=xy=6m=4（3） ，求 k、m 的值即可求得； （2）找到一次函数图象在反比例函数图象之上的 x 的取值范围即可 【解答】

32、解：（1）由反比例函数解析式可知，k=xy=6m=4（3） ，解得 k=12，m= 2， 反比例函数解析式为 y= ，A（ 2，6） （2）一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围为：x2 或 0x4 【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数，一次函数和反比例函数的交点，函数与不等式 的关系这里体现了数形结合的思想 20人民公园划出一块矩形区域，用以栽植鲜花 （1）经测量，该矩形区域的周长是 72m，面积为 320m2，请求出该区域的长与宽； （2）公园管理处曾设想使矩形的周长和面积分别为（1）中区域的周长和面积的一半，你认为此设 想合理吗？如果此设想合理，请求出其长和宽；如果不合

33、理，请说明理由，并求出在（1）中周长 减半的条件下矩形面积的最大值 【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用 【专题】几何图形问题 【分析】 （1）设矩形的一边长为 x，则另一边的长为 36x 米，利用矩形的面积计算方法列出方程求 解即可； （2）设矩形的一边长为 y，根据题意得矩形的另一边的长为（18y）米，利用矩形的面积计算方法 列出方程后用根的判别式进行判断即可 【解答】解：（1）设矩形的一边长为 x，则另一边的长为 36x 米，根据题意得： x（36x ）=320， 解得：x=20 或 x=16， 答：矩形的长和宽分别为 20 米和 16 米； （2）设矩形的一边长为 y，根据题意得

34、矩形的另一边的长为（18y）米， 根据题意得：y（18y）=160， 整理得：y 218y+160=0， =b24ac=（18） 24160=3160， 此设想不合理 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意表示出矩形的长和宽，从而根据 矩形的面积的计算方法列出方程求解 21如图，某测量员测量公园内一棵树 DE 的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点 A 处测得树顶 端 D 的仰角为 30，朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C 处，测得树顶端 D 的仰角为 60已知 A 点的高度 AB 为 3 米，台阶 AC 的坡度为 1： （即 AB：BC=1： ） ，且 B、C、E 三点在同

35、一条 直线上 （1）求斜坡 AC 的长； （2）请根据以上条件求出树 DE 的高度（侧倾器的高度忽略不计） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用- 坡度坡角问题 【分析】过点 A 作 AFDE 于 F，可得四边形 ABEF 为矩形，设 DE=x，在 RtDCE 和 RtABC 中 分别表示出 CE，BC 的长度，求出 DF 的长度，然后在 RtADF 中表示出 AF 的长度，根据 AF=BE，代入解方程求出 x 的值即可 【解答】解：如图，过点 A 作 AFDE 于 F， 则四边形 ABEF 为矩形， AF=BE，EF=AB=3 米， 设 DE=x， 在 RtCDE 中

36、，CE= = x， 在 RtABC 中， = ，AB=3 ， BC=3 ， 在 RtAFD 中，DF=DE EF=x3， AF= = （x3） ， AF=BE=BC+CE， （x 3）=3 + x， 解得 x=9 答：树高为 9 米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角 关系解直角三角形，难度一般 22如图，正方形 ABCD 中，P、Q 分别是边 AB、BC 上的两个动点，P 、Q 同时分别从 A、B 出 发，点 P 沿 AB 向 B 运动；点 Q 沿 BC 向 C 运动，速度都是 1 个单位长度/秒运动时间为 t 秒 （1）连结 AQ、DP

37、相交于点 F，求证：AQDP； （2）当正方形边长为 4，而 t=3 时，求 tanQDF 的值 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质 【分析】 （1）根据正方形的性质得到 AB=AD，BAD=B=90，推出ADP ABQ，由全等三角 形的性质得到BAQ=ADP，根据余角的性质即可得到结论； （2）根据勾股定理得到 PD=AQ=5，推出APFADP ，根据相似三角形的性质得到 ，求 得 PF= ，得到 DF= ，同理得到 AF= ，求得 FQ= ，根据三角函数的定义即可得到结论 【解答】解：（1）在正方形 ABCD 中， AB=AD，BAD=B=90， 由题意得

38、：AP=BQ， 在ADP 与ABQ 中， ， ADPABQ， BAQ=ADP， PAF+DAF=90， DAF+ADF=90， AFD=90， AQDP； （2）正方形边长为 4，而 t=3 时， AD=AB=4，AP=BQ=3， PD=AQ=5， PAF=ADP，AFP=PAD=90， APFADP， ， PF= ， DF= ， AFP=AFD=90， APFADF， ， AF= ， FQ= ， tanQDF= = 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定 理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 23如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=

39、ax2+bx+c 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C（0，3） 且点 A 的坐标为（1，0） ，点 B 的坐标为（3 ，0） ，点 P 是抛物线上第一象限内的一个 点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）连 PO、PB，如果把POB 沿 OB 翻转，所得四边形 POPB 恰为菱形，那么在抛物线的对称 轴上是否存在点 Q，使QAB 与 POB 相似？若存在求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由； （3）若（2）中点 Q 存在，指出 QAB 与 POB 是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐 标 【考点】二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式

40、；相似三 角形的性质；位似变换 【专题】综合题 【分析】 （1）点 A、B、C 的坐标已知，只需运用待定系数法就可求出抛物线的解析式； （2）由四边形 POPB 为菱形可得 PO=PB，从而有POB= PBO由点 Q 在抛物线的对称轴上可得 QA=QB，从而有 QAB=QBA由 QAB 与 POB 相似可得 PBO=QBA，从而可得点 Q、P、B 共线由 PO=PB 可得点 P 在 OB 的垂直平分线上，从而可得 xP= ，代入抛物线即可求出点 P 的坐 标，设直线 PB 的解析式为 y=mx+n，运用待定系数法就可求出直线 PB 的解析式由抛物线的对称 轴方程可得到点 Q 的横坐标，代入直线

41、 PB 的解析式，即可得到点 Q 的坐标； （3）观察图象，易知QAB 与POB 位似，位似中心即为点 B，由此可得到位似中心的坐标 【解答】解：（1）A（ 1， 0） 、B（3，0） 、C（0，3）在抛物线 y=ax2+bx+c 上， ， 解得 抛物线的解析式为 y=x2+2x+3； （2）在抛物线的对称轴上存在点 Q，使QAB 与 POB 相似，如图所示 四边形 POPB 为菱形， PO=PB， POB=PBO 点 Q 在抛物线的对称轴上， QA=QB， QAB=QBA 由QAB 与 POB 相似可得PBO= QBA， 点 Q、 P、B 共线 PO=PB， 点 P 在 OB 的垂直平分线上， xP= ， 此时 yP=（ ） 2+2 +3= ， 点 P 的坐标为（ ， ） 设直线 PB 的解析式为 y=mx+n， 则有 ， 解得 直线 PB 的解析式为 y= x+ 抛物线的对称轴为 x= =1， xQ=1， yQ= 1+ =5， 点 Q 的坐标为（1，5） （3）QAB 与POB 位似，位似中心为点 B，点 B 的坐标为（3，0） 【点评】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式及直线的解析式、抛物线的对称性、菱 形的性质、相似三角形的性质、图形的位似等知识，证到点 Q、P、B 共线是解决第（2）小题的关 键