北京市顺义区2015-2016学年八年级上期末数学试卷含答案解析.doc

1、2015-2016 学年北京市顺义区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 10 道小题，每小题 3 分，共 30 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合 题意的 1 的平方根是（ ） A B C D 2若分式 的值为 0，则 x 的值是（ ） Ax3 Bx 2 Cx= 2 Dx=3 3若ABC 有一个外角是锐角，则 ABC 一定是（ ） A钝角三角形 B锐角三角形 C等边三角形 D等腰三角形 4下列等式成立的是（ ） A B C D 5下列事件中，随机事件是（ ） A在地球上，抛出去的篮球会下落 B一个标准大气压下，水加热到 100时会沸腾 C购买一张福利彩票中奖了 D掷一枚普通的正

2、方体骰子，向上一面的点数一定大于零 6以 a、b、c 为边长的三角形是直角三角形的是（ ） Aa=3，b=5， c=7 Ba=2 ，b=2，c= Ca= ，b= ，c= Da= ，b= ，c= 7一个不透明的盒子中装有 3 个白球，5 个红球和 7 个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区 别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（ ） A B C D 8下列变形正确的是（ ） A B C D 9已知等腰三角形的底边长为 a，底边上的高为 h，用直尺和圆规作这个等腰三角形时，甲同学的 作法是：先作底边 BC=a，再作 BC 的垂直平分线 MN 交 BC 于点 D，并在 DM 上截取

3、DA=h，最 后连结 AB、AC，则ABC 即为所求作的等腰三角形；乙同学的作法是：先作高 AD=h，再过点 D 作 AD 的垂线 MN，并在 MN 上截取 BC=a，最后连结 AB、AC ，则ABC 即为所求作的等腰三角 形对于甲乙两同学的作法，下列判断正确的是（ ） A甲正确，乙错误 B甲错误，乙正确 C甲、乙均正确 D甲、乙均错误 10在锐角三角形 ABC 中，高 AD 和 BE 交于点 H，且 BH=AC，则 ABC 的度数是（ ） A30 B45 C60 D30 或 45 二、填空题（共 10 道小题，每小题 3 分，共 30 分） 11当 x 时， 有意义 12若式子 是分式，则

4、x 的取值范围是 13一个均匀的正六面体的六个面上，有一个面写 1，两个面写 2，三个面写 3，任意投掷一次该 六面体，则朝上的一面是 3 的可能性是 14如果 2 是 m 的立方根，那么 m 的值是 15有四张卡片（背面完全相同）分别写有运算符号+，把它们背面朝上洗匀后，从中随 机抽出 1 张卡片，放在“21”的方框里组成一个算式，再计算出结果，则计算结果是 2 的可能性是 16如图，ABC 中， ACB=90，ABC=60，BDAB， DAC=50，则 D 的度数为 17若等边三角形的边长为 2，则它的面积是 18已知 mn=3mn，则 的值是 19一列有规律的数： ，2， ， ， ，则第

5、 6 个数是 ，第 n 个数是 （n 为正整数） 20在数学实践课上，老师给同学们布置了如下任务：为美化校园环境，计划在学校内某处空地， 用 30 平方米的草皮铺设一块等腰三角形绿地，使等腰三角形绿地的一边长为 10 米，请你给出设计 方案同学们开始思考，交流，一致认为应先通过画图、计算，求出等腰三角形绿地的另两边的 长请你也通过画图、计算，求出这个等腰三角形绿地的另两边的长分别为 三、解答题（共 12 道小题，共 60 分） 21计算： （ ） 22计算： + 23解方程： 24已知：如图，AB 平分CAD，C=D=90 求证：AC=AD 25先化简，再求值： ，其中 x+2= 26已知 x

6、=3+ ，y=3 ，求 x2y+xy2 的值 27如图，点 E 在线段 AB 上，ADAB，BC AB，DEC 是等腰直角三角形，且DEC=90 求 证：AB=AD+BC 28在彩虹读书活 动中，某校决定为八年级学生购买同等数量的钢铁是怎样炼成的和居里夫 人自传 ，供学生借阅其中居里夫人自传的单价比钢铁是怎样炼成的的单价多 8 元若 学校购买居里夫人自传用了 1 000 元，购买钢铁是怎样炼成的用了 600 元，请问两种书的 单价各是多少元？ 29已知：如图，在ABC 中，ACB=90，D 是 BC 的中点，DEAC，且 DE=AC，若 AC=2，AD=4，求四边形 ACEB 的周长 30已知

7、：如图，ABC 中，AB=AC=6 ， A=45，点 D 在 AC 上，点 E 在 BD 上，且ABD、 CDE、BCE 均为等腰三角形 （1）求EBC 的度数； （2）求 BE 的长 31已知：x 23x+1=0，求 的值 32在等边ABC 的外侧作直线 BM，点 A 关于直线 BM 的对称点为 D，连结 AD，CD，设 CD 交 直线 BM 于点 E （1）依题意补全图 1，若ABM=30，求BCE 的度数； （2）如图 2，若 60ABM90，判断直线 BM 和 CD 相交所成的锐角的度数是否为定值？若是， 求出这个锐角的度数；若不是，请说明理由 2015-2016 学年北京市顺义区八年

8、级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 道小题，每小题 3 分，共 30 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合 题意的 1 的平方根是（ ） A B C D 【考点】平方根 【分析】根据平方根的定义求出即可 【解答】解： 的平方根为 = ， 故选 C 【点评】本题考查了对平方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，注意：a（a0） 的平方根为 2若分式 的值为 0，则 x 的值是（ ） Ax3 Bx 2 Cx= 2 Dx=3 【考点】分式的值为零的条件 【分析】根据分子为 0；分母不为 0，可得答案 【解答】解：由分式 的值为 0，得 x3=0 且 x+

9、20 解得 x=3， 故选：D 【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不 等于零注意：“分母不为零”这个条件不能少 3若ABC 有一个外角是锐角，则 ABC 一定是（ ） A钝角三角形 B锐角三角形 C等边三角形 D等腰三角形 【考点】三角形的外角性质 【分析】利用三角形的外角与相邻的内角互补的性质计算 【解答】解：ABC 有一个外角为锐角， 与此外角相邻的内角的值为 180减去此外角， 故此角应大于 90， 故ABC 是钝角三角形 故选 A 【点评】此题考查的是三角形内角与外角的关系，即三角形的外角与相邻的内角互补 4下列等式成立的是（ ） A

10、B C D 【考点】二次根式的性质与化简 【分析】根据二次根式的性质对各选项进行逐一分析即可 【解答】解：A、 =33，故本选项错误； B、 = =159，故本选项错误； C、 无意义，故本选项错误； D、 =7，故本选项正确 故选 D 【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键 5下列事件中，随机事件是（ ） A在地球上，抛出去的篮球会下落 B一个标准大气压 下，水加热到 100时会沸腾 C购买一张福利彩票中 奖了 D掷一枚普通的正方体骰子，向上一面的点数一定大于零 【考点】随机事件 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件 【解答

11、】解：A、在地球上，抛出去的篮球会下落是必然事件，故 A 错误； B、一个标准大气压下，水加热到 100时会沸腾是必然事件，故 B 错误； C、购买一张福利彩票中奖了是随机事件，故 C 正确； D、掷一枚普通的正方体骰子，向上一面的点数一定大于零是必然事件，故 D 错误； 故选：C 【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概 念必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事 件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 6以 a、b、c 为边长的三角形是直角三角形的是（ ） Aa=3，b=5， c=7

12、 Ba=2 ，b=2，c= Ca= ，b= ，c= Da= ，b= ，c= 【考点】勾股定理的逆定理 【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形 【解答】解：A、3 2+5272，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意 B、2 2+22=（2 ） 2，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意 C、 （2 ）2 +（ 3 ） 2（3 ） 2，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意 D、 （ ） 2+（ ） 2（ ） 2，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意 故选 B 【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等

13、于较大边的平方，这个三角 形就是直角三角形 7一个不透明的盒子中装有 3 个白球，5 个红球和 7 个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区 别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（ ） A B C D 【考点】可能性的大小 【分析】先求出球的总数，再由概率公式即可得出结论 【解答】解：一个不透明的盒子中装有 3 个白球，5 个红球和 7 个黄球， 球的总数=3+5+7=15（个） ， 这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性= = 故选 B 【点评】本题考查的是可能性的大小，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键 8下列变形正确的是（ ） A B C D 【考点】分式的基本性质

14、 【专题】计算题；分式 【分析】原式各项利用分式的基本性质变形得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、 = ，错误； B、 为最简分式，错误； C、 = =ab，正确； D、 = ，错误， 故选 C 【点评】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键 9已知等腰三角形的底边长为 a，底边上的高为 h，用直尺和圆规作这个等腰三角形时，甲同学的 作法是：先作底边 BC=a，再作 BC 的垂直平分线 MN 交 BC 于点 D，并在 DM 上截取 DA=h，最 后连结 AB、AC，则ABC 即为所求作的等腰三角形；乙同学的作法是：先作高 AD=h，再过点 D 作 AD 的垂线 MN

15、，并在 MN 上截取 BC=a，最后连结 AB、AC ，则ABC 即为所求作的等腰三角 形对于甲乙两同学的作法，下列判断正确的是（ ） A甲正确，乙错误 B甲错误，乙正确 C甲、乙均正确 D甲、乙均错误 【考点】作图复杂作图；等腰三角形的判定 【专题】作图题 【分析】根据线段垂直平分线的性质对两同学的作法进行判断 【解答】解：根据甲同学的作法，AD 垂直平分 BC，则 AB=AC，所以ABC 为直角三角形，而根 据乙同学的作法，AD 只垂直 BC，不平分 BC，所以不能判断 ABC 为等腰三角形， 所以甲同学作法正确，乙同学作法错误 故选 A 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基

16、本作图的基础上进行作图，一般是结合 了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图 形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了等腰三角形的性质 10在锐角三角形 ABC 中，高 AD 和 BE 交于点 H，且 BH=AC，则 ABC 的度数是（ ） A30 B45 C60 D30 或 45 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】先根据已知条件利用 AAS 判定 BDHADC，得出 BD=AD，因为ADB=90 ，所以得 出ABC=45 【解答】解：ABC 为锐角三角形， 高 AD 和 BE 在三角形内， 高 AD 和 BE 交于点 H， AD

17、C=BEC=90 EBD+BHD=90， AHE+HAE=90，BHD=AHE， EAD=EBD， 又 BH=AC，ADC= BDH=90， 在BDH 与 ADC 中， ， BDHADC（AAS） ， BD=AD， ADB =90， ABC=45 故选 B 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、SAS、SSA、HL 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两 边一角对应相等时，角必须是两边的夹角找准哪两个三角形全等是解决本题的关键 二、填空题（共 10 道小题，每小题 3 分，共 30 分） 11当 x

18、时， 有意义 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 3x+20，再解即可 【解答】解：由题意得：3x+20， 解得：x ， 故答案为： 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数 12若式子 是分式，则 x 的取值范围是 x2 【考点】分式有意义的条件 【分析】根据分式有意义的条件可得：x2 0，再解即可 【解答】解：由题意得：x2 0， 解得：x2， 故答案为：x2 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零 13一个均匀的正六面体的六个面上，有一个面写 1，两个面写 2，三个面写 3

19、，任意投掷一次该 六面体，则朝上的一面是 3 的可能性是 【考点】可能性的大小 【分析】先找出任意投掷一次该六面体所能出现的情况及出现 3 的情况，再由概率公式即可得出结 论 【解答】解：一个均匀的正六面体的六个面上，有一个面写 1，两个面写 2，三个面写 3， 任意投掷一次该六面体可能出现 6 种情况，其中写有 3 的面有 3 种， 朝上的一面是 3 的可能性= = 故答案为： 【点评】本题考查的是可能性的大小，熟记概率公式是解答此题的关键 14如果 2 是 m 的立方根，那么 m 的值是 8 【考点】立方根 【分析】依据立方根的定义回答即可 【解答】解：2 3=8， 2 是 8 的立方根

20、m=8 故答案为：8 【点评】本题主要考查的是立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键 15有四张卡片（背面完全相同）分别写有运算符号+，把它们背面朝上洗匀后，从中随 机抽出 1 张卡片，放在“21”的方框里组成一个算式，再计算出结果，则计算结果是 2 的可能性是 【考点】可能性的大小 【分析】先把符号+， ， ， 放在“ 21”的方框里计算出各数，再由概率公式即可得出结论 【解答】解：2+1=3，21=1，21=2，21=2， 计算结果是 2 的可能性= = 故答案为： 【点评】本题考查的是可能性的大小，熟记概率公式是解答此题的关键 16如图，ABC 中， ACB=90，ABC=60，BD

21、AB， DAC=50，则 D 的度数为 70 【考点】多边形内角与外角 【分析】根据四边形 ADBC 的内角和为 360，即可解答 【解答】解：ABC=60，BD AB， DBC=90+60=150， 四边形 ADBC 的内角和为 360， D=360ACBDBCDAC=3609015050=70 故答案为：70 【点评】本题考查了多边形的内角和，解决本题的关键是熟记四边形的内角和为 360 17若等边三角形的边长为 2，则它的面积是 【考点】等边三角形的性质；勾股定理的应用 【专题】计算题 【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得 D 为 BC 的中点，即 BD=CD，在直角三角形 ABD

22、中，已知 AB、BD，根据勾股定理即可求得 AD 的长，即可求三角形 ABC 的面积，即可解题 【解答】解：等边三角形三线合一，即 D 为 BC 的中点， BD=DC=1， 在 RtABD 中，AB=2，BD=1， AD= = ， ABC 的面积为 BCAD= 2 = ， 故答案为： 【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定 理计算 AD 的值是解题的关键 18已知 mn=3mn，则 的值是 【考点】分式的化简求值 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 mn=3mn 代入进行计算即可 【解答】解：原式= ， 当 mn=3mn 时，原

23、式= = = 故答案为： 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 19一列有规律的数： ，2， ， ， ，则第 6 个数是 2 ，第 n 个数是 （n 为正整数） 【考点】算术平方根 【专题】规律型 【分析】根据题意得出规律第 n 个数是 解答即可 【解答】解： ， =2， ， = ， ，则第 6 个数是 =2 ，第 n 个数是 ， 故答案为：2 ； 【点评】本题主要考查算术平方根的知识点，关键是根据题意得出规律进行解答 20在数学实践课上，老师给同学们布置了如下任务：为美化校园环境，计划在学校内某处空地， 用 30 平方米的草皮铺设一块等腰三角形绿地，使等

24、腰三角形绿地的一边长为 10 米，请你给出设计 方案同学们开始思考，交流，一致认为应先通过画图、计算，求出等腰三角形绿地的另两边的 长请你也通过画图、计算，求出这个等腰三角形绿地的另两边的长分别为 和 或 10 和 6 【考点】作图应用与设计作图 【分析】当底 BC=10 时，根据面积求出高 AD，再根据勾股定理求出 AB 即可当腰 AB=10 时， 求出腰上的高 BD，再利用勾股定理求出 AD、BC 【解答】解：如图 1 中，当底 BC=10 米时，作 ADBC 垂足为 D， BCAD=30， AD=6， AB=AC，ADBC， BD=DC=5， AB=AC= = 如图当 AB=AC=10

25、时， 作 BDAC，垂足为 D， ， BD=6， AD= =8，BC= =6 综上所述这个等腰三角形的另外两边分别为 和 或 10 和 6 故答案为为 和 或 10 和 6 【点评】本题考查等腰三角形性质、三角形面积公式、勾股定理，分类讨论是正确解题的关键 三、解答题（共 12 道小题，共 60 分） 21计算： （ ） 【考点】二次根式的混合运算 【分析】首先利用单项式与多项式的乘法，然后进行化简即可 【解答】解：原式= =62=4 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一定要把二次根式化为最简二次 根式的形式 22计算： + 【考点】分式的加减法 【专题】计算题 【分析

26、】异分母分式相加减，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减 【解答】解：原式= + （3 分） = （5 分） = （7 分） 【点评】此题考查异分母分式的减法，比较容易 23解方程： 【考点】解分式方程 【专题】计算题；分式方程及应用 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方 程的解 【解答】解：去分母得：1=2x1+4， 解得：x= 1， 经检验 x=1 是分式方程的解 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方 程求解解分式方程一定注意要验根 24已知：如图，AB 平分CAD

27、，C=D=90 求证：AC=AD 【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】根据角平分线的定义得到CAB=DAB，推出ACBADB，根据全等三角形的性质即 可得到结论 【解答】解：AB 平分 CAD， CAB=DAB， 在ACB 与ADB 中， ， ACBADB， AC=AD 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性 质是解题的关键 25先化简，再求值： ，其中 x+2= 【考点】分式的化简求值 【分析】通分计算括号里面的加法，再算除法，由此顺序化简，进一步代入求得答案即可 【解答】解：原式= =x+1， x+2= ， x= 2， 则

28、原式=x+1= 1 【点评】此题考查分式的化简求值，掌握分式的化简的步骤与方法是解决问题的关键 26已知 x=3+ ，y=3 ，求 x2y+xy2 的值 【考点】二次根式的化简求值 【分析】首先将原式提取公因式 xy，进而分解因式求出答案 【解答】解：x=3+ ，y=3 ， x2y+xy2=xy（x+y） =（3+ ） （3 ） （3+ +3 ） =（94） 6 =30 【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确掌握乘法公式是解题关键 27如图，点 E 在线段 AB 上，ADAB，BC AB，DEC 是等腰直角三角形，且DEC=90 求 证：AB=AD+BC 【考点】全等三角形的判定与性质

29、；等腰直角三角形 【专题】证明题 【分析】由 ADAB，BC AB，DEC=90 ，可推出AED=BCE，进而证得 ADEBEC，根据 全等三角形的性质即可证得结论 【解答】证明：AD AB，BC AB， DEC=90， AED=90BEC，BCE=90BEC， AED=BCE， DEC 是等腰直角三角形， DE=CE， 在ADE 和 BEC 中， ， ADEBEC， AE=BC，AD=BE， AB=AD+BC 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角 形的判定方法是解决问题的关键 28在彩虹读书活动中，某校决定为八年级学生购买同等数量的钢铁是怎样

30、炼成的和居里夫 人自传 ，供学生借阅其中居里夫人自传的单价比钢铁是怎样炼成的的单价多 8 元若 学校购买居里夫人自传用了 1 000 元，购买钢铁是怎样炼成的用了 600 元，请问两种书的 单价各是多少元？ 【考点】分式方程的应用 【分析】首先表示出两种书的价格，进而利用购买同等数量的书籍，进而得出等式求出答案 【解答】解：设居里夫人自传的单价为 x 元，则钢铁是怎样炼成的的单价为：（x8）元， 根据题意可得： = ， 解得：x=20， 检验：当 x=20 时，x（x 8）0，故 x=20 是原方程的根， 则 x8=12 答：居里夫人自传的单价为 10 元， 钢铁是怎样炼成的的单价为 12 元

31、 【点评】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意利用两种书籍数量相等得出等式是解题关键 29已知：如图，在ABC 中，ACB=90，D 是 BC 的中点，DEAC，且 DE=AC，若 AC=2，AD=4，求四边形 ACEB 的周长 【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质 【分析】先证明四边形 ACED 是平行四边形，可得 DE=AC=2由勾股定理和中线的定义可求 AB 和 EB 的长，从而求出四边形 ACEB 的周长 【解答】解：DEAC，且 DE=AC 四边形 ACED 是平行四边形 DE=AC=2 在 RtACD 中，由勾股定理得 CD= =2 D 是 BC 的中点， BC=2CD=4 在

32、ABC 中，ACB=90，由勾股定理得 AB= =2 D 是 BC 的中点，DEBC， EB=EC=4 四边形 ACEB 的周长=AC+CE+EB+BA=10+2 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻找求 AB 和 EB 的 长的方法和途径 30已知：如图，ABC 中，AB=AC=6 ， A=45，点 D 在 AC 上，点 E 在 BD 上，且ABD、 CDE、BCE 均为等腰三角形 （1）求EBC 的度数； （2）求 BE 的长 【考点】等腰三角形的性质 【分析】 （1）由 AB=AC=6， A=45，可求得ABC 的度数，又由 AD=BD，可求得ABD 的

33、度数， 继而求得答案； （2）由 AB=AC=6，A=45，可求得 BD 的长，然后设 DE=EC=x，可得 BE=EC= x，即可得方 程 x+x=3 ，继而求得答案 【解答】解：（1）AB=AC=6，A=45， ABC=ACB=67.5， ABD 是等腰三角形， AD=BD， ABD=A=45， EBC=ABCABD=22.5； （ 2）A= ABD=45， ADB=CDE=90， AB=6， BD=ABcos45=3 ， 设 DE=x，则 CD=DE=x， EC= = x， BE=EC= x， x+x=3 ， 解得：x=6 3 ， BE=6 6 【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及直角

34、三角形的性质注意利用方程思想求解是解此题的 关键 31已知：x 23x+1=0，求 的值 【考点】二次根式的化简求值 【分析】先把 x23x+1=0 变形，得出 x+ =3，再结合完全平方公式求出 的值 【解答】解：x 23x+1=0， x+ =3， （ ） 2=x+ +2=5， = 【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，熟练应用完全平方公式是解题关键 32在等边ABC 的外侧作直线 BM，点 A 关于直线 BM 的对称点为 D，连结 AD，CD，设 CD 交 直线 BM 于点 E （1）依题意补全图 1，若ABM=30，求BCE 的度数； （2）如图 2，若 60ABM90，判断直线 B

35、M 和 CD 相交所成的锐角的度数是否为定值？若是， 求出这个锐角的度数；若不是，请说明理由 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 【专题】探究型 【分析】 （1）根据题意可以作出相应的图形，连接 BD，由题意可得到四边形 ADBC 是菱形，根据 菱形的对角线平分每一组对角，可以得到BCE 的度数； （2）画出相应的图形，根据对称的性质可以得到相等的线段和相等的角，由等边ABC，可以得 到 BC=BA，然后根据三角形内角和是 180，可以推出直线 BM 和 CD 相交所成的锐角的度数，本 题得以解决 【解答】解：（1）补全的图 1 如下所示： 连接 BD，如上图 1 所示， 由已知

36、可得，BM 垂直平分 AD， ABM=30，AB C 是等边三角形， BDA 是等边三角形， ADBC 且 AD=BC，DA=DB， 四边形 ADBC 是菱形， ACB=60， BCE=30； （2）直线 BM 和 CD 相交所成的锐角的度数是定值，若下图所示， 连接 AE 交 BC 于点 F， 由已知可得，BD=BA，BA=BC ，ED=EA ， 则BDA=BAD， EDA=EAD，BD=BC， BDC=BCD， EDB=EAB， BCD=EAB， EFC=BFA，ABC=60 ， CEA=ABC=60， AEC+AEM+DEM=180，DEM=AEM ， DEM=60， 即直线 BM 和 CD 相交所成的锐角的度数是定值，这个锐角的度数是 60 【点评】本题考查了根据轴对称变换作图以及等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形的内 角和、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，根据所求问题可以探索出所求 问题需要的条件