资阳市乐至县2016届九年级上期末数学试卷含答案解析.doc

1、2015-2016 学年四川省资阳市乐至县九年级（上）期末数学试卷 一选择题：（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）以下各小题，每小题都给出 A、B、C、D 四个选项，但其中只有一个选项符合题目的要求，请把它选出来，并把它的 代号填在相应的题目后的括号内.若选错、多选、不选均计 0 分.） 1下列二次根式中， 的同类根式是( ) A B C D 2如图，在ABC 中， C=90，AB=3，BC=2 ，则 cosB 的值是( ) A B C D 3如图的四个转盘中，C、D 转盘分成 8 等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落 在阴影区域内的概率最大的转盘是( ) A B C

2、 D 4判断一元二次方程 x22x+1=0 的根的情况是( ) A只有一个实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D没有实数根 5如图，点 D 在ABC 的边 AC 上，要判定ADB 与ABC 相似，添加一个条件，不正 确的是( ) AABD=C BADB=ABC C D 6河堤横断面如图所示，堤高 BC=5 米，迎水坡 AB 的坡比是 1： （坡比是坡面的铅直 高度 BC 与水平宽度 AC 之比） ，则 AC 的长是( ) A5 米 B10 米 C15 米 D10 米 7用配方法解方程 x24x3=0，下列配方结果正确的是( ) A （x4 ） 2=19 B （x 2） 2=7

3、 C （x+2） 2=7 D （x+4） 2=19 8如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 CD 上，若 DE：CE=1：2，则CEF 与ABF 的周长比为( ) A1：2 B1：3 C2：3 D4：9 9某商品经过两次降价，零售价降为原来的 ，已知两次降价的百分率均为 x，则列出方 程正确的是( ) A B C （1+x） 2=2 D （1x） 2=2 10如图，在正方形 ABCD 中，BPC 是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交 AD 于点 E、F，连结 BD、DP ，BD 与 CF 相交于点 H给出下列结论： BDEDPE； = ；DP 2=PHPB； tanDBE=2 其

4、中正确的是( ) A B C D 二填空题：（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11当 x_时，二次根式 有意义 12 （1998宁波）已知： ，则 的值为_ 13在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有 3 个红球且摸到红球的概率为 ，那么口袋中球的总个数为_ 14关于 x 的一元二次方程 x2+2x+a=0 的一个根为 2，则它的另一个根为_ 15如图，ABC 中，A、B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是（1，0） 以点 C 为 位似中心，在 x 轴的下方作ABC 的位似图形 ABC，并把ABC 的边长放大到原来的 2 倍设 B

5、的坐标是（3，1） ，则点 B 的坐标是_ 16如图，平行四边形 ABCD 中，B=30，ABBC，将ABC 沿 AC 翻折至 ABC，连 结 BD若 AB=2 ，ABD=75，则 BC=_ 三解答题（共 8 个大题，共计 72 分） 17计算 （1） （2） 18解方程 （1）x 24x5=0 （2）2（x2） 2=（x2） 19为弘扬“东亚文化” ，某单位开展了“ 东亚文化之都”演讲比赛，在安排 1 位女选手和 3 位男选手的出场顺序时，采用随机抽签方式 （1）请直接写出第一位出场是女选手的概率； （2）请你用画树状图或列表的方法表示第一、二位出场选手的所有等可能结果，并求出他 们都是男选

6、手的概率 20如图，某市对位于笔直公路上的两个小区 A、B 的供水路线进行优化改造，测得供水 站 M 在小区 A 的南偏东 60方向，在小区 B 的西南方向，小区 B 到供水站 M 的距离为 300 米， （1）求供水站 M 到公路 AB 的垂直距离 MD 的长度 （2）求小区 A 到供水站 M 的距离 （结果可保留根号） 21如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，点 E、F 在 AB 边上，连接 DE，CF 交 AD 于 G，点 E 是 BF 中点 （1）求证：AFG AED （2）若 FG=2，G 为 AD 中点，求 CG 的长 22已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+a2

7、=0 （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围； （2）设方程两根为 x1，x 2 是否存在实数 a，使 ？若存在求出实数 a，若不存 在，请说明理由 23小明是个爱动脑筋的学生，在学习了解直角三角形以后，一天他去测量学校的旗杆 DF 的高度，此时过旗杆的顶点 F 的阳光刚好过身高 DE 为 1.6 米的小明的头顶且在他身后形 成的影长 DC=2 米 （1）若旗杆的高度 FG 是 a 米，用含 a 的代数式表示 DG （2）小明从点 C 后退 6 米在 A 的测得旗杆顶点 F 的仰角为 30，求旗杆 FG 的高度 （点 A、C、D、G 在一条直线上， ，结果精确到 0.1）

8、24如图，已知在矩形 ABCD 中，AB=a，BC=b ，点 E 是线段 AD 边上的任意一点（不含 端点 A、D） ，连结 BE、CE （1）若 a=5，sinACB= ，求 b （2）若 a=5，b=10 当 BEAC 时，求出此时 AE 的长 （3）设 AE=x，试探索点 E 在线段 AD 上运动过程中，使得 ABE 与BCE 相似时，求 a、b 应满足什么条件，并求出此时 x 的值 2015-2016 学年四川省资阳市乐至县九年级（上）期末 数学试卷 一选择题：（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）以下各小题，每小题都给出 A、B、C、D 四个选项，但其中只有一个选项

9、符合题目的要求，请把它选出来，并把它的 代号填在相应的题目后的括号内.若选错、多选、不选均计 0 分.） 1下列二次根式中， 的同类根式是( ) A B C D 【考点】同类二次根式 【分析】根据同类二次根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数为 2 者即可 【解答】解：A、 =2，与 的被开方数不同，故本选项错误； B、 与 的被开方数不同，故本选项错误； C、 =2 ，与 的被开方数相同，故本选项正确； D、 与 的被开方数不同，故本选项错误； 故选 C 【点评】本题考查了同类二次根式的知识，要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化 简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然

10、后判断 2如图，在ABC 中， C=90，AB=3，BC=2 ，则 cosB 的值是( ) A B C D 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据在直角三角形中，余弦为邻边比斜边，可得答案 【解答】解：ABC 中， C=90，AB=3，BC=2 ，得 cosB= = ， 故选：C 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜 边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 3如图的四个转盘中，C、D 转盘分成 8 等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落 在阴影区域内的概率最大的转盘是( ) A B C D 【考点】几何概率 【分析】利用指针落在阴影区域内的概率是

11、： ，分别求出概率比较即可 【解答】解：A、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为： = ； B、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为： = ； C、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为： ； D、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为： ， ， 指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是： 故选：A 【点评】此题考查了几何概率，计算阴影区域的面积在总面积中占的比例是解题关键 4判断一元二次方程 x22x+1=0 的根的情况是( ) A只有一个实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D没有实数根 【考点】根的判别式 【分析】先计算出=（ 2） 2411=0，然后根据 的意义进行判断方程根的

12、情况 【解答】解：= （2） 2411=0， 方程有两个相等的实数根 故选 B 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根的判别式=b 24ac：当 0， 方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数 根 5如图，点 D 在ABC 的边 AC 上，要判定ADB 与ABC 相似，添加一个条件，不正 确的是( ) AABD=C BADB=ABC C D 【考点】相似三角形的判定 【分析】由A 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得 A 与 B 正确；又由 两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得 D 正确，继而求得

13、答案， 注意排除法在解选择题中的应用 【解答】解：A 是公共角， 当 ABD=C 或ADB=ABC 时， ADBABC（有两角对应相等的三角形相似） ； 故 A 与 B 正确； 当 时，ADBABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似） ； 故 D 正确； 当 时， A 不是夹角，故不能判定ADB 与ABC 相似， 故 C 错误 故选 C 【点评】此题考查了相似三角形的判定此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角 形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用 6河堤横断面如图所示，堤高 BC=5 米，迎水坡 AB 的坡比是 1： （坡比是坡面的铅直 高度

14、BC 与水平宽度 AC 之比） ，则 AC 的长是( ) A5 米 B10 米 C15 米 D10 米 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【分析】Rt ABC 中，已知了坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比，通过解直 角三角形即可求出水平宽度 AC 的长 【解答】解：RtABC 中，BC=5 米，tanA=1： ； AC=BCtanA=5 米； 故选 A 【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力 7用配方法解方程 x24x3=0，下列配方结果正确的是( ) A （x4 ） 2=19 B （x 2） 2=7 C （x+2） 2=7 D （x+4） 2=1

15、9 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】移项，再配方，即可得出答案 【解答】解：x 24x3=0， x24x=3， x24x+4=3+4， （x2） 2=7， 故选 B 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，即方程两边都 加上一次项系数一半的平方，难度适中 8如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 CD 上，若 DE：CE=1：2，则CEF 与ABF 的周长比为( ) A1：2 B1：3 C2：3 D4：9 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的周长比 等于相似比就可得到答

16、案 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， DCAB，CD=AB DFEBFA， DE：EC=1 ： 2， EC：DC=CE：AB=2：3， CCEF：C ABF=2：3 故选：C 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边 长的比等于相似比，周长的比等于相似比是解答此题的关键 9某商品经过两次降价，零售价降为原来的 ，已知两次降价的百分率均为 x，则列出方 程正确的是( ) A B C （1+x） 2=2 D （1x） 2=2 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题 【分析】可设原价为 1，关系式为：原价（1 降低的百分率） 2=现

17、售价，把相关数值代入 即可 【解答】解：设原价为 1，则现售价为 ， 可得方程为：1（1x） 2= ， 故选 B 【点评】此题主要考查了增长率的问题，一般公式为原来的量（1x） 2=后来的量，增长 用+，减少用 10如图，在正方形 ABCD 中，BPC 是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交 AD 于点 E、F，连结 BD、DP ，BD 与 CF 相交于点 H给出下列结论： BDEDPE； = ；DP 2=PHPB； tanDBE=2 其中正确的是( ) A B C D 【考点】相似形综合题 【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到PCD=30，于是得到 CPD=CDP=75，证得

18、EDP= PBD=15，于是得到 BDEDPE，故正确由于 FDP=PBD，DFP=BPC=60 ，推出 DFPBPH，得到 = = 故错误； 由于PDH= PCD=30，DPH=DPC，推出DPH CPD，得到 ，PB=CD，等量 代换得到 PD2=PHPB，故 正确；过 P 作 PMCD，PN BC，设正方形 ABCD 的边长是 4，BPC 为正三角形，于是得到PBC=PCB=60，PB=PC=BC=CD=4，求得PCD=30 ， 根据三角函数的定义得到 CM=PN=PBsin60=4 =2 ，PM=PCsin30=2，由平行线的 性质得到EDP=DPM ，等量代换得到 DBE=DPM，于

19、是求得 tanDBE=tanDPM= = =2 ，故正确 【解答】解：BPC 是等边三角形， BP=PC=BC，PBC= PCB=BPC=60， 在正方形 ABCD 中， AB=BC=CD，A= ADC=BCD=90 ABE=DCF=30， CPD=CDP=75，PDE=15， PBD=PBCHBC=6045=15， EBD=EDP， DEP=DEB， BDEDPE；故正确； PC=CD，PCD=30， PDC=75， FDP=15， DBA=45， PBD=15， FDP=PBD， DFP=BPC=60， DFPBPH， = = = ，故错误； PDH=PCD=30， DPH=DPC， DP

20、HCDP， = ， PD2=PHCD， PB=CD， PD2=PHPB，故 正确； 如图，过 P 作 PMCD，PNBC， 设正方形 ABCD 的边长是 4，BPC 为正三角形， PBC=PCB=60，PB=PC=BC=CD=4， PCD=30 CM=PN=PBsin60=4 =2 ，PM=PC sin30=2， DEPM， EDP=DPM， DBE=DPM， tanDBE=tanDPM= = =2 ，故正确； 故答案为： 【点评】本题考查的正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角函数 定义，等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出 PM 及 PN 的长

21、 二填空题：（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11当 xx1 时，二次根式 有意义 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，据此即可求解 【解答】解：根据题意得：x+10 解得：x1 故答案是：x1 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，是一个基础的题目 12 （1998宁波）已知： ，则 的值为 【考点】比例的性质 【专题】计算题 【分析】此类比例问题我们可以设一份为 k，用 k 表示出各量即可求得此题为设 a=k，b=2k，代入即可 【解答】解：设 a=k，则 b=2k， 【点评】本题比较简单，是比例题目中的常见题，要注意设

22、一份为 k 方法 13在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有 3 个红球且摸到红球的概率为 ，那么口袋中球的总个数为 15 【考点】概率公式 【分析】由在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中 装有 3 个红球且摸到红球的概率为 ，利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口 袋中装有 3 个红球且摸到红球的概率为 ， 口袋中球的总个数为：3 =15 故答案为：15 【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之 比 14关于 x 的一元二次

23、方程 x2+2x+a=0 的一个根为 2，则它的另一个根为 4 【考点】根与系数的关系 【分析】设方程的另一个根为 t，根据根与系数的关系得 2+t=2，然后解一次方程即可 【解答】解：设方程的另一个根为 t， 根据题意得 2+t=2， 所以 t=4 故答案为：4 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系：若方程的两根 为 x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 15如图，ABC 中，A、B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是（1，0） 以点 C 为 位似中心，在 x 轴的下方作ABC 的位似图形 ABC，并把ABC 的边长放大到原来的 2

24、 倍设 B的坐标是（3，1） ，则点 B 的坐标是（ 3， ） 【考点】位似变换；坐标与图形性质 【分析】作 BDx 轴于 D，BDx 轴于 D，根据相似三角形的性质求出 CD，BD 的长， 得到点 B 的坐标 【解答】解：作 BDx 轴于 D，BDx 轴于 D， 点 C 的坐标是（1，0） ，B的坐标是（3，1） ， CD=4，BD =1， 由题意得，ABCABC，相似比为 1：2， = = ， CD=2，BD= ， 点 B 的坐标是（3， ） 故答案为：（3， ） 【点评】本题考查的是位似变换的性质和坐标与图形的性质，掌握位似的两个图形是相似 形和相似三角形的性质是解题的关键 16如图，平

25、行四边形 ABCD 中，B=30，ABBC，将ABC 沿 AC 翻折至 ABC，连 结 BD若 AB=2 ，ABD=75，则 BC= 【考点】翻折变换（折叠问题） ；平行四边形的性质 【分析】根据对折的性质求得ABC=30，从而求得CB D=45，由于 BDAC，得出 ACB=CBD=45，进而即可求得ACB=45；作 AGBC 于 G，解直角三角形即可求得 BC 【解答】解：如图四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD，BC=AD， B=ADC， 将 ABC 沿 AC 翻折至ABC ， AB=AB，BC=BC，ABC=B， AB=CD，BC=AD， ABC=ADC， 在ABC 和CAD

26、中， ， ABCCAD（SAS） ， ACB=CAD， 设 AD、BC 相交于 E， AE=CE， ACE 是等腰三角形， 即ABC 与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形； BC=AD，AE=CE， BE=DE， CBD=ADB， AEC=BED， ACB=CAD， ADB=DAC， BDAC； 在 ABCD 中， B=30，将 ABC 沿 AC 翻折至ABC， ABC=30， ABD=75， CBD=45， BDAC， ACB=CBD=45， ACB=ACB， ACB=45； 作 AGBC 于 G， AG=CG， B=30， AG= AB= ， CG= ，BG=3， BC=BG+CG=3+

27、 故答案为： 【点评】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，平行四边形的性质，解直角三角 形，证得 ACBD 是解题的关键 三解答题（共 8 个大题，共计 72 分） 17计算 （1） （2） 【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值 【专题】计算题 【分析】 （1）先进行二次根式的乘法运算，然后合并即可； （2）先把各二次根式化为最简二次根式和利用特殊角的三角函数值计算得到原式=2 + ，然后合并即可 【解答】解：（1）原式= + = + 3 =2 3； （2）原式=2 + = 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根 式的乘除运算，然后合并同

28、类二次根式在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点， 灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 18解方程 （1）x 24x5=0 （2）2（x2） 2=（x2） 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题；一次方程（组）及应用 【分析】 （1）方程利用因式分解法求出解即可； （2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可 【解答】解：（1）方程分解得：（x5） （x+1）=0， 可得 x5=0 或 x+1=0， 解得：x 1=5，x 2=1； （2）方程整理得：2（x2） 2（x2）=0， 分解因式得：2（x2）1（x2）=0， 即（2x5） （x 2）=0， 解得：x

29、 1=2，x 2= 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关 键 19为弘扬“东亚文化” ，某单位开展了“ 东亚文化之都”演讲比赛，在安排 1 位女选手和 3 位男选手的出场顺序时，采用随机抽签方式 （1）请直接写出第一位出场是女选手的概率； （2）请你用画树状图或列表的方法表示第一、二位出场选手的所有等可能结果，并求出他 们都是男选手的概率 【考点】列表法与树状图法 【专题】计算题 【分析】 （1）根据 4 位选手中女选手只有 1 位，求出第一位出场是女选手的概率即可； （2）列表得出所有等可能的情况数，找出第一、二位出场都为男选手的情况数，即可求出 所

30、求的概率 【解答】解：（1）P（第一位出场是女选手）= ； （2）列表得： 女 男 男 男 女 （男，女） （男，女） （男，女） 男 （女，男） （男，男） （男，男） 男 （女，男） （男，男） （男，男） 男 （女，男） （男，男） （男，男） 所有等可能的情况有 12 种，其中第一、二位出场都是男选手的情况有 6 种， 则 P（第一、二位出场都是男选手）= = 【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数 之比 20如图，某市对位于笔直公路上的两个小区 A、B 的供水路线进行优化改造，测得供水 站 M 在小区 A 的南偏东 60方向，在小区 B 的西南

31、方向，小区 B 到供水站 M 的距离为 300 米， （1）求供水站 M 到公路 AB 的垂直距离 MD 的长度 （2）求小区 A 到供水站 M 的距离 （结果可保留根号） 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题 【分析】 （1）根据题意，在ABM 中，BAM=30， ABM=45，BM=300 （ +l） 米通过解直角 RtMBD 求得 MD 的长度； （2）通过解直角 RtADM 求得 AM 的长度 【解答】解：由题意可知MBD=45，MAD=30 （1）在 RtMBD 中，DM=BMsin DBM=300sin45=150 （米） ； （2）在 RtADM 中，AM= = =300 （米

32、） 【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题解一般三角形的问题一般可以转化 为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线 21如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，点 E、F 在 AB 边上，连接 DE，CF 交 AD 于 G，点 E 是 BF 中点 （1）求证：AFG AED （2）若 FG=2，G 为 AD 中点，求 CG 的长 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】 （1）根据 AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 BF 中点，得到 BD=CD，BE=EF，根据 三角形的中位线的性质得到 DECF，即可得到结论； （2）由 G 为 AD 中点，FG DE，得到 AF=E

33、F，求得 DE=2FG=4，根据三角形的中位线的 性质得到 CF=2DE=8，即可得到结论 【解答】 （1）证明：AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 BF 中点， BD=CD，BE=EF， DE 是BCF 的中位线， DECF， DEFG， AFGAED； （2）解：G 为 AD 中点，FGDE， AF=EF， FG 是ADE 的中位线， DE=2FG=4， CF=2DE=8， CG=FCFG=82=6 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，平行线等分线段 定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键 22已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+a2=0 （1

34、）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围； （2）设方程两根为 x1，x 2 是否存在实数 a，使 ？若存在求出实数 a，若不存 在，请说明理由 【考点】根的判别式；根与系数的关系 【分析】 （1）根据判别式的意义得到=2 24（a2）0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到 x1+x2=2，x 1x2=a2，利用 x12+x22=1 得到（x 1+x2） 22x1x2=1，即可得到 ad 的值，然后解出 a 的值后利用（1）中的条件进行判断 【解答】解：（1）b 24ac=（ 2） 241（a2）=124a 0， 解得：a3 a 的取值范围是 a3； （2）由根与系

35、数的关系得：x 1+x2=2，x 1x2=a2， 又 ， 有（2） 22（a 2）=1， ， ， 不存在实数 a，使 成立 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根的判别式=b 24ac：当 0， 方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数 根也考查了一元二次方程的根与系数的关系 23小明是个爱动脑筋的学生，在学习了解直角三角形以后，一天他去测量学校的旗杆 DF 的高度，此时过旗杆的顶点 F 的阳光刚好过身高 DE 为 1.6 米的小明的头顶且在他身后形 成的影长 DC=2 米 （1）若旗杆的高度 FG 是 a 米，用含 a 的代数

36、式表示 DG （2）小明从点 C 后退 6 米在 A 的测得旗杆顶点 F 的仰角为 30，求旗杆 FG 的高度 （点 A、C、D、G 在一条直线上， ，结果精确到 0.1） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】 （1）利用CDECGF 的对应边成比例解答； （2）通过解利用CDECGF 来求 FG 的高度 【解答】解：（1）由题意知，FGDE ， CDECGF， ，即 ， ； （2）在直角AFG 中，A=30， ， tanA= ，tan30= ， 即 = ， 解得 fg12.5 答：电线杆 PQ 的高度约 12.5 米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题要求学生能借

37、助仰角构造直角三 角形并解直角三角形 24如图，已知在矩形 ABCD 中，AB=a，BC=b ，点 E 是线段 AD 边上的任意一点（不含 端点 A、D） ，连结 BE、CE （1）若 a=5，sinACB= ，求 b （2）若 a=5，b=10 当 BEAC 时，求出此时 AE 的长 （3）设 AE=x，试探索点 E 在线段 AD 上运动过程中，使得 ABE 与BCE 相似时，求 a、b 应满足什么条件，并求出此时 x 的值 【考点】相似形综合题 【分析】 （1）在矩形 ABCD 中，得到ABC=90，解直角三角形即可得到结果； （2）由 BEA，得到2+3=90，由于1+3=90 ，等量代

38、换得到1= 2，推出 AEB BAC，得到比例式，即可得到结论； （3）点 E 在线段 AD 上的任一点，且不与 A、D 重合，当ABE 与BCE 相似时，则 BEC=90当 BAECEB（如图 2） ，1=BCE，又 BCAD，由平行线的性质得到 2=BCE，推出BAEEDC，得到比例式，进而可得得到一元二次方程 x2bx+a2=0，根 据方程根的情况，得到结论 【解答】解：（1） 四边形 ABCD 是矩形， ABC=90， AB=a=5，sinACB= ， ， AC=13， BC= =12， b=12； （2）如图 1， BEAC， 2+3=90， 又1+3=90， 1=2， 又BAE=A

39、BC=90 ， AEBBAC， ， 即 ， ； （3）点 E 在线段 AD 上的任一点，且不与 A、D 重合， 当 ABE 与 BCE 相似时，则BEC=90 所以当BAECEB （如图 2） 则1=BCE， 又 BCAD， 2=BCE， 1=2， 又BAE=EDC=90， BAEEDC， ， 即 ， x2bx+a2=0， 即 ， 当 b24a20， a0，b0， b2a， 即 b2a 时， ， 综上所述：当 a、b 满足条件 b=2a 时 BAECEB，此时 （或 x=a） ； 当 a、b 满足条件 b2a 时BAECEB ，此时 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，一元二次方程根的情况，题 目的综合性较强，难度中等，对学生的综合解题能力要气较高，是一道不错的中考压轴题， 解题时要注意分类讨论数学方法的运用