陕西省汉中市2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析.doc

1、第 1 页（共 23 页） 2015-2016 学年陕西省汉中市高三（上）期末数学试卷（理科） 一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1已知复数 z1=1+i，z 2=32i，则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2在等差数列a n中，已知 a4+a8=16，则该数列前 11 项和 S11=（ ） A58 B88 C143 D176 3两向量 ，则 在 方向上的投影为（ ） A （1， 15） B （ 20， 36） C D 4已知命题 p：0a4，命题 q：函数 y=ax2ax+

2、1 的值恒为正，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5函数 y=esinx（x）的大致图象为（ ） A B C D 6已知某名校高三学生有 2000 名，在某次模拟考试中数学成绩 服从正态分布 N，已知 P=0.45，若年段按分层抽样的方式从中抽出 100 份试卷进行分析研究，则应从 140 分以上 的试卷中抽（ ） A4 份 B5 份 C8 份 D10 份 7某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ） 第 2 页（共 23 页） A B6 C D 8若椭圆和双曲线 C：2x 22y2=1 有相同的焦点，且该椭圆经过点 ，则

3、椭圆的 方程为（ ） A B C D 9已知函数 f（x）=sin（ x+） （ 0，| ）的图象如图所示，为得到 g（x） =cosx 的图象，则只要将 f（x）的图象（ ） A向右平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 10设 a= dx，则二项式（x 2 ） 5 的展开式中 x 的系数为（ ） A40 B40 C80 D80 11若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积 为 9，当其外接球表面积最小时，它的高为（ ） A3 B2 C2 D3 12设函数 f（x）= （其中 aR）的值域为 S，若1，+）

4、S，则 a 的 取值范围是（ ） 第 3 页（共 23 页） A （， ） B1， （ ，2 C （ ， ）1，2 D （ ，+） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x+y 的最小值为 14点 M 到 F（4，0）距离比它到直线 x+6=0 距离小 2，则 M 的轨迹方程为 15设等比数列a n的公比为 q，若 Sn，S n1，S n+1 成等差数列，则 = 16某工厂接到一任务，需加工 6000 个 P 型零件和 2000 个 Q 型零件这个厂有 214 名工 人，他们每一个人用以加工 5 个 P 型零件的时间可以加工 3 个 Q

5、型零件，将这些工人分成 两组同时工作，每组加工一种型号的零件为了在最短时间内完成这批任务，则加工 P 型 零件的人数为 人 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知函数 f（x）=2cosxsin（x+ ） （I）求 f（x）的最小正周期； （）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，若 f（C）=1，sinB=2sinA ， 且ABC 的面积为 2 ，求 c 的值 18如图在三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知 AB侧面 BB1C1C，BC= ，AB=CC 1=2，BCC 1= ，点 E 在棱 BB1 上 （1）求 C1B 的长，并证明 C1B平面 A

6、BC； （2）若 BE=BB1，试确定 的值，使得二面角 AC1EC 的余弦值为 19为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从 题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正 10 分，否则记负 10 分根据以往 第 4 页（共 23 页） 统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为 ；现记“该选手在回答完 n 个问题后的总 得分为 Sn” （1）求 S6=20 且 Si0（i=1，2，3）的概率； （2）记 X=|S5|，求 X 的分布列，并计算数学期望 E（X） 20已知直线 l： ，圆 O：x 2+y2=5，椭圆 E： （ab0）的离心率 ，直线 l

7、被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等 （1）求椭圆 E 的方程； （2）过圆 O 上任意一点 作两条直线与椭圆 E 分别只有唯一一个公共点，求证：这两直线斜率之积为定值 21已知函数 f（x）=ax 3+2xa， （）求函数 f（x）的单调递增区间； （）若 a=n 且 nN*，设 xn 是函数 fn（x）=nx 3+2xn 的零点 （i）证明：n2 时存在唯一 xn 且 ； （i i）若 bn=（1 xn） （1x n+1） ，记 Sn=b1+b2+bn，证明：S n1 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目

8、的题号涂黑.选修 4-1：几何证明选讲 22在ABC 中，AB=AC，过点 A 的直线与其外接圆交于点 P，交 BC 延长线于点 D （1）求证： ； （2）若 AC=3，求 APAD 的值 选修 4-4：坐标系与参数方程 23在平面直角坐标系 xoy 中，已知曲线 ，以平面直角坐标系 xoy 的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线 第 5 页（共 23 页） l： （2cossin）=6将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 、2 倍后得到曲线 C2，试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程 【选修 4-5：不等式选讲

9、】 24已知函数 f（x）=|x+a |+|x2| （1）当 a=3 时，求不等式 f（x）3 的解集； （2）若 f（x）|x4|的解集包含1，2，求 a 的取值范围 第 6 页（共 23 页） 2015-2016 学年陕西省汉中市高三（上）期末数学试卷 （理科） 参考答案与试题解析 一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1已知复数 z1=1+i，z 2=32i，则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简

10、，得到复数对应的点，则答案可求 【解答】解：z 1=1+i，z 2=32i， = = = i 在复平面内对应的点为（ ， ） ， 在复平面内对应的点位于第四象限 故选：D 2在等差数列a n中，已知 a4+a8=16，则该数列前 11 项和 S11=（ ） A58 B88 C143 D176 【考点】等差数列的性质；等差数列的前 n 项和 【分析】根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由 S11= 运算 求得结果 【解答】解：在等差数列a n中，已知 a4+a8=16， a 1+a11=a4+a8=16， S 11= =88， 故选 B 3两向量 ，则 在 方向上的投影

11、为（ ） 第 7 页（共 23 页） A （1， 15） B （ 20， 36） C D 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】利用平面向量的数量积、向量的投影定义即可得出 【解答】解： ， =4（ 5）+（3）（ 12）=16， = =13， 在 方向上的投影为 = ， 故选：C 4已知命题 p：0a4，命题 q：函数 y=ax2ax+1 的值恒为正，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】对于命题 q：当 a=0 时，函数 y=ax2ax+1=1，恒为正，满足条件；当 a0 时，可

12、 得 ，解得 a即可判断出 【解答】解：对于命题 q：当 a=0 时，函数 y=ax2ax+1=1，恒为正，满足条件； 当 a0 时，可得 ，解得 0a4 p 是 q 的充分不必要条件 故选：A 5函数 y=esinx（x）的大致图象为（ ） A B C D 第 8 页（共 23 页） 【考点】抽象函数及其应用 【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除 A、D 两个选项，再看此函 数的最值情况，即可作出正确的判断 【解答】解：由于 f（x）=e sinx， f（ x）=e sin（ x） =esinx f（ x）f（x） ，且 f（x） f（x） ， 故此函数是非奇非偶函数，排除

13、 A，D ； 又当 x= 时，y=e sinx 取得最大值，排除 B； 故选：C 6已知某名校高三学生有 2000 名，在某次模拟考试中数学成绩 服从正态分布 N，已知 P=0.45，若年段按分层抽样的方式从中抽出 100 份试卷进行分析研究，则应从 140 分以上 的试卷中抽（ ） A4 份 B5 份 C8 份 D10 份 【考点】分层抽样方法 【分析】根据考试的成绩 服从正态分布 N得到考试的成绩 关于 =120 对称，根据 P=0.45，得到 P（ 140）=0.05 ，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数 【解答】解：由题意，考试的成绩 服从正态分布 N 考试的成绩 关于 =12

14、0 对称， P=0.45， P=20.45=0.9， P（ 140） =P（100） = （1 0.452）=0.05， 该班数学成绩在 140 分以上的人数为 0.05100=5 故选：B 7某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ） A B6 C D 第 9 页（共 23 页） 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根 据三视图的数据求半圆柱与半圆锥的体积，再相加 【解答】解：由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体， 根据图中数据可知圆柱与圆锥的底面圆半径为 2，圆锥的高为 2，圆柱的高

15、为 1， 几何体的体积 V=V 半圆锥 +V 半圆柱 = 222+ 221= 故选 C 8若椭圆和双曲线 C：2x 22y2=1 有相同的焦点，且该椭圆经过点 ，则椭圆的 方程为（ ） A B C D 【考点】椭圆的简单性质 【分析】求得双曲线的焦点坐标，可得椭圆的 c=1，再由椭圆的定义，运用两点的距离公 式计算可得 a=2，由 a，b，c 的关系，可得 b，进而得到椭圆方程 【解答】解：双曲线 C：2x 22y2=1 的焦点为（1，0） ， （1，0） ， 即有椭圆的 c=1， 由椭圆的定义可得 2a= + =4， 解得 a=2，b= = ， 即有椭圆的方程为 + =1 故选：B 9已知函

16、数 f（x）=sin（ x+） （ 0，| ）的图象如图所示，为得到 g（x） =cosx 的图象，则只要将 f（x）的图象（ ） A向右平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换 第 10 页（共 23 页） 【分析】利用函数的图象求出函数的周期，然后求出 ，通过函数图象经过的特殊点求出 ，由函数 y=Asin（x+ ）的图象变换即可得解 【解答】解：由函数的图象可知函数的周期为：T=4 （ ）=， 所以 = =2， 因为函数的图象经过（ ，0） ， 所以：sin（2 +）=k，k Z，可解得：=k

17、， kZ 由于：| ，可得： = ， 所以：f（x）=sin（2x+ ）=cos （2x+ ）=cos2（x ） ，g（x）=cos2x， 所以，要得到 g（x）=cosx 的图象，则只要将 f（x）的图象向左平移 个单位长度即 可 故选：B 10设 a= dx，则二项式（x 2 ） 5 的展开式中 x 的系数为（ ） A40 B40 C80 D80 【考点】二项式系数的性质 【分析】先求出定积分 a 的值，再利用二项展开式的通项公式，令 x 的指数等于 1，求出 r 的值，即可计算结果 【解答】解：a= dx=lnx =lne2ln1=20=2， （x 2 ） 5=（x 2 ） 5 的展开式

18、的通项公式为： Tr+1= x2（5r） = （2） rx103r， 令 103r=1，解得 r=3， （x 2 ） 5 的展开式中含 x 项的系数为 （2） 3=80 故选：D 11若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积 为 9，当其外接球表面积最小时，它的高为（ ） A3 B2 C2 D3 第 11 页（共 23 页） 【考点】棱锥的结构特征 【分析】由四棱锥的体积为 9 可得到底面边长 a 与高 h 的关系，作出图形，则球心 O 在棱 锥的高或高的延长线上，分两种情况根据勾股定理列出方程，解出球的半径 R 的表达式， 将问题转化为求 R 何时取得最小值

19、的问题 【解答】解：设底面边长 AB=a，棱锥的高 SM=h， V 棱锥 SABCD= a2h=9， a 2= ， 正四棱锥内接于球 O， O 在直线 SM 上，设球 O 半径为 R， （1）若 O 在线段 SM 上，如图一，则 OM=SMSO=hR， （2）若 O 在在线段 SM 的延长线上，如图二，则 OM=SOSM=Rh， SM 平面 ABCD， OMB 是直角三角形， OM 2+MB2=OB2， OB=R，MB= BD= a， （hR） 2+ =R2，或（Rh） 2+ =R2 2hR=h 2+ ， 即 R= + = + = 3 = 当且仅当 = 取等号， 即 h=3 时 R 取得最小值

20、 故选：A 第 12 页（共 23 页） 12设函数 f（x）= （其中 aR）的值域为 S，若1，+） S，则 a 的 取值范围是（ ） A （， ） B1， （ ，2 C （ ， ）1，2 D （ ，+） 【考点】函数的值域 【分析】对 a=0，a ，a 0 分类求出分段函数的值域 S，结合1，+）S，由两集合端 点值间的关系列不等式求得 a 的取值范围 【解答】解：a=0，函数 f（x ）= = ，函数的值域为 S=（0，+ ） ，满足1，+）S， a0，当 x0 时，f （x）=asinx+22a，2+a ；当 x0 时，f（x）=x 2+2a（2a，+） 若 0 ，f（x）的值域为（

21、 2a，+） ，由1，+） S，得 2a1，0 ； 若 ，即 ，f（x）的值域为2a，+） ，由1，+）S，得 2a 1，1a2； 第 13 页（共 23 页） 若 2+a2a，即 a2，f （x）的值域为 2a，2+a（2a，+） ，由1，+）S，得 2a1，a； a0，当 x0，f （x）=x 2+2a2a，此时一定有1，+） S 综上，满足1，+）S 的 a 的取值范围是（， ）1，2 故选：C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x+y 的最小值为 1 【考点】简单线性规划 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，

22、通过平移即可求 z 的最小 值 【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图， 由 z=3x+y，得 y=3x+z， 平移直线 y=3x+z，由图象可知当直线 y=3x+z，经过点 A（0，1）时，直线 y=3x+z 的截 距最小， 此时 z 最小此时 z 的最小值为 z=03+1=1， 故答案为：1 14点 M 到 F（4，0）距离比它到直线 x+6=0 距离小 2，则 M 的轨迹方程为 y 2=16x 【考点】点到直线的距离公式 【分析】由题意得 点 M 的轨迹是以 F 为焦点，以直线 x+4=0 为准线的抛物线，设方程为 y2=2px，则 =4，求得 p 值，即得抛物线方程 【解答】解：由题

23、意得点 M 到 F（4，0）的距离和它到直线 x+4=0 的距离相等， 点 M 的轨迹是以 F 为焦点，以直线 x+4=0 为准线的抛物线， 第 14 页（共 23 页） 设方程为 y2=2px， 则 =4，p=8，故点 M 的轨迹方程是 y2=16x， 故答案为：y 2=16x 15设等比数列a n的公比为 q，若 Sn，S n1，S n+1 成等差数列，则 = 4 【考点】等比数列的通项公式 【分析】由已知得 2Sn1=Sn+Sn+1=Sn1+an+Sn1+an+an+1，从而得到 q= =2，由此能求出 的值 【解答】解：等比数列a n的公比为 q，S n，S n1，S n+1 成等差数

24、列， Sn、S n1、S n+1 成等差数列， 则 2Sn1=Sn+Sn+1=Sn1+an+Sn1+an+an+1， an+1=2an， q= =2， = =q2=（ 2） 2=4 故答案为：4 16某工厂接到一任务，需加工 6000 个 P 型零件和 2000 个 Q 型零件这个厂有 214 名工 人，他们每一个人用以加工 5 个 P 型零件的时间可以加工 3 个 Q 型零件，将这些工人分成 两组同时工作，每组加工一种型号的零件为了在最短时间内完成这批任务，则加工 P 型 零件的人数为 137 人 【考点】根据实际问题选择函数类型；简单线性规划 【分析】设最短加工时间为 x，建立方程关系进行

25、求解即可 【解答】解：设最短加工时间为 x， 则加工 P 型零件的人数为 = ，则加工 Q 型零件的人数为 ， 则满足 + =214， 即 =214， 第 15 页（共 23 页） 即 =214， 则 = ， 则加工 P 型零件的人数为 =1200 =137.57， 故加工 P 型零件的人数为 137 人， 故答案为：137 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知函数 f（x）=2cosxsin（x+ ） （I）求 f（x）的最小正周期； （）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，若 f（C）=1，sinB=2sinA ， 且ABC 的面积为 2 ，

26、求 c 的值 【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法 【分析】 （I）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函 数，找出 的值，即可确定出 f（x）的最小正周期； （）由 f（C）=1 确定出 C 的度数，sinB=2sinA 利用正弦定理化简得到 b=2a，利用三角 形面积公式列出关系式，把 sinC 与已知面积代入求出 ab 的值，联立求出 a 与 b 的值，利 用余弦定理求出 c 的值即可 【解答】解：（I）f（x）=2cosx（ sinx+ cosx）= sin2x+ cos2x+ =sin（2x+ ）+ ， =2 ，f （x ）的最小正周期为 ； （）

27、f（C）=sin（2C+ ）+ =1， sin（2C + ）= ， 2C+ ， 2C+ = ，即 C= ， sinB=2sinA，b=2a， ABC 面积为 2 ， absin =2 ，即 ab=8， 联立，得：a=2，b=4 ， 由余弦定理得：c 2=a2+b22abcosC=12，即 c=2 第 16 页（共 23 页） 18如图在三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知 AB侧面 BB1C1C，BC= ，AB=CC 1=2，BCC 1= ，点 E 在棱 BB1 上 （1）求 C1B 的长，并证明 C1B平面 ABC； （2）若 BE=BB1，试确定 的值，使得二面角 AC1EC 的余弦值为

28、【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （1）由余弦定理，得 C1B= ，由勾股定理得 C1BBC 由线面垂直得 ABBC 1，由此能证明 C1B平面 ABC （2）以 B 为空间坐标系的原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当 = 时，二 面角 AC1EC 的余弦值为 【解答】解：（1）因为 BC= ，CC 1=BB1=2，BCC 1= ， 在BCC 1 中，由余弦定理，得 C1B= = ， 所以 C1B2+BC2=CC12，即 C1BBC 又 AB侧面 BCC1B1，故 ABBC 1， 又 CBAB=B，所以 C1B平面 ABC （2）由（1）知，BC，BA，BC

29、 1 两两垂直， 以 B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系， 则 B（0，0，0） ，A（0，2，0） ，C（ ，0，0） ， =（0，2， ） ， = + = + =（ ，0， ） ， 设平面 AC1E 的一个法向量为 =（x，y，z） ， 则 ， 第 17 页（共 23 页） 令 z= ，得 =（ ，1， ） ， 平面 C1EC 的一个法向量 =（ 0，1，0） ， BE=BB 1，确定 的值，使得二面角 AC1EC 的余弦值为 ， cos = = = ， 解得 ， 当 = 时，二面角 AC1EC 的余弦值为 19为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人

30、随机从 题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正 10 分，否则记负 10 分根据以往 统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为 ；现记“该选手在回答完 n 个问题后的总 得分为 Sn” （1）求 S6=20 且 Si0（i=1，2，3）的概率； （2）记 X=|S5|，求 X 的分布列，并计算数学期望 E（X） 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （1）当 S6=20 时，即回答 6 个问题后，正确 4 个，错误 2 个若回答正确第 1 个 和第 2 个问题，则其余 4 个问题可任意回答正确 2 个问题；若第一个问题回答正确，第 2 个问题回答错

31、误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确 2 个记回答每 个问题正确的概率为 p，则 ，同时回答每个问题错误的概率为 ，由此能求出 S6=20 且 Si0（i=1，2，3）的概率 （2）由 X=|S5|可知 X 的取值为 10，30，50，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分 布列和 E（X） 【解答】解：（1）当 S6=20 时，即回答 6 个问题后，正确 4 个，错误 2 个 第 18 页（共 23 页） 若回答正确第 1 个和第 2 个问题，则其余 4 个问题可任意回答正确 2 个问题； 若第一个问题回答正确，第 2 个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可

32、任意回答正确 2 个 记回答每个问题正确的概率为 p，则 ，同时回答每个问题错误的概率为 故所求概率为： （2）由 X=|S5|可知 X 的取值为 10，30，50 可有 ， ， 故 X 的分布列为： X 10 30 50 P E（X）= = 20已知直线 l： ，圆 O：x 2+y2=5，椭圆 E： （ab0）的离心率 ，直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等 （1）求椭圆 E 的方程； （2）过圆 O 上任意一点 作两条直线与椭圆 E 分别只有唯一一个公共点，求证：这两直线斜率之积为定值 【考点】椭圆的简单性质 【分析】 （1）求得圆心到直线的距离，运用弦长公式，由离心率公式和

33、a，b，c 的关系， 解方程可得 a，b，进而得到椭圆方程； （2）设过 P 的椭圆 E 的切线 l0 的方程为 yy0=k（x x0） ，代入椭圆方程，运用直线和椭圆 相切的条件：判别式为 0，化简整理，再由韦达定理，即可得到斜率之积为定值 【解答】解：（1）设椭圆半焦距为 c， 圆心 O 到 l 的距离 d= = ， 则 l 被圆 O 截得的弦长为 2 =2 ， 所以 b= 第 19 页（共 23 页） 由题意得 = ，且 a2b2=c2， a 2=3，b 2=2， 椭圆 E 的方程为 + =1； （2）过 P（x 0，y 0）的直线与椭圆 E 分别只有唯一的公共点， 设过 P 的椭圆 E

34、 的切线 l0 的方程为 yy0=k（x x0） ， 整理得 y=kx+y0kx0， 联立直线 l0 与椭圆 E 的方程得 ， 消去 y 得 2kx+（y 0kx0） 2+3x26=0， 整理得（3+2k 2）x 2+4k（y 0kx0）x+2（kx 0y0） 26=0， l 0 与与椭圆 E 分别只有唯一的公共点（即与椭圆 E 相切） ， =4k（y 0kx0） 24（3+2k 2）2（kx 0y0） 26=0， 整理得（2x ）k 2+2x0y0k（ y 3）=0， 设满足题意的与椭圆 E 分别只有唯一的公共点的直线的斜率分别为 k1，k 2， 则 k1k2= 点 P 在圆 O 上，x 0

35、2+y02=5， k 1k2= =1 两条切线斜率之积为1 21已知函数 f（x）=ax 3+2xa， （）求函数 f（x）的单调递增区间； （）若 a=n 且 nN*，设 xn 是函数 fn（x）=nx 3+2xn 的零点 （i）证明：n2 时存在唯一 xn 且 ； （i i）若 bn=（1 xn） （1x n+1） ，记 Sn=b1+b2+bn，证明：S n1 第 20 页（共 23 页） 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （）对 f（x）求导得到单调区间 （） （i）由（）得，f n（x）=nx 3+2xn 在 R 上单调递增，证明 fn（ ）= 即可

36、（ii）利用数列裂项求和和不等式放缩技巧证明即可 【解答】解：（）f（x）=3ax 2+2， 若 a0，则 f（ x）0，函数 f（x）在 R 上单调递增； 若 a0，令 f（ x）0， 或 ， 函数 f（x）的单调递增区间为 和 ； （） （i）由（）得，f n（x）=nx 3+2xn 在 R 上单调递增， 又 fn（1）=n +2n=20， fn（ ）= = = = 当 n2 时，g（n）=n 2n10， ， n2 时存在唯一 xn 且 （i i）当 n2 时， ， （零点的区间判定） ， （数列裂项求和） ， 又 f1（x）=x3 +2x1， ， （函数法定界） ，又 ， ， ， （不等

37、式放缩技巧） 命题得证 第 21 页（共 23 页） 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修 4-1：几何证明选讲 22在ABC 中，AB=AC，过点 A 的直线与其外接圆交于点 P，交 BC 延长线于点 D （1）求证： ； （2）若 AC=3，求 APAD 的值 【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定 【分析】 （1）先由角相等CPD=ABC，D=D ，证得三角形相似，再结合线段相等 即得所证比例式； （2）由于ACD=APC ，CAP=CAP，从而得出两个三角形相似： “APCACD”

38、结合相似三角形的对应边成比例即得 APAD 的值 【解答】解：（1）CPD=ABC，D=D ， DPC DBA， 又AB=AC， （2）ACD=APC ，CAP=CAP，APC ACD ， AC 2=APAD=9 选修 4-4：坐标系与参数方程 23在平面直角坐标系 xoy 中，已知曲线 ，以平面直角坐标系 xoy 的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线 l： （2cossin）=6将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 、2 倍后得到曲线 C2，试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程 【考点】参数方程化成普通方程；简

39、单曲线的极坐标方程 【分析】根据极坐标与直角坐标的对应关系得出 l 的普通方程，根据图象变换先写出 C2 的 普通方程，再转化为参数方程 【解答】解：（2cos sin）=6，即 2cossin6=0 直线 l 的直角坐标方程为： 2xy6=0， 曲线 C2 的直角坐标方程为： ， 第 22 页（共 23 页） 令 =cos， =sin，则 x= cos，y=2sin 曲线 C2 的参数方程为： 【选修 4-5：不等式选讲】 24已知函数 f（x）=|x+a |+|x2| （1）当 a=3 时，求不等式 f（x）3 的解集； （2）若 f（x）|x4|的解集包含1，2，求 a 的取值范围 【考

40、点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数 【分析】 （1）不等式等价于 ，或 ，或 ， 求出每个不等式组的解集， 再取并集即得所求 （2）原命题等价于2 xa2x 在1，2上恒成立，由此求得求 a 的取值范围 【解答】解：（1）当 a=3 时， f（x）3 即|x3|+|x 2|3，即 ，或 ， 或 解可得 x1，解可得 x，解可得 x4 把、的解集取并集可得不等式的解集为 x|x 1 或 x4 （2）原命题即 f（x）|x4|在1，2上恒成立，等价于|x+a|+2x4 x 在1，2上恒成立， 等价于|x+a|2，等价于2x+a2，2xa 2x 在1，2上恒成立 故当 1x2 时，2 x 的最大值为 21=3，2 x 的最小值为 0， 故 a 的取值范围为3，0 第 23 页（共 23 页） 2016 年 7 月 31 日