广东省深圳中学、广雅中学2011届高三上学期期末四校联考（数学文）.doc

1、本卷第 1 页（共 8 页） 数 学 试 题（文） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 参考公式： 1锥体的体积公式 13VSh，其中 是锥体的底面积， h是锥体的高 2方差公式 221()niisx，其中 x是平均数 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1设全集 ,3579U，集合 ,|,9Aa， 5,7UA，则实数 a的值是 （ ） A2 B8 C 2或 8 D2 或 8 2在复平面内，复数 1iz（ 是虚数单位）的共轭复数 z对应的点位于 （

2、） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3某简单几何体的三视图如图所示，其正视图侧视图俯视图 均为直角三角形，面积分别是 1，2，4，则这个几何体的体积 为 （ ） A 43 B 83 C4 D8 4设 nS为等比数列 na的前 项和，已知 342Sa，23 ，则公比 q（ ） A3 B4 C5 D6 5过圆 2xy外一点 (,2)P作圆的两条切线，切点分别为 ,AB，则 P的外接圆方程是 （ ） A 22(4)()1 B 22()4xy C 5xy D 15 6下图是把二进制数 (2)1化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是 深 圳 中 学 广东广雅中学 华南师大附

3、中 广东省实验中学 2011 届高三上学期期末四校联考 侧视图正视图 俯 视 图 本卷第 2 页（共 8 页） （ ） A 4i B 5i C 4i D 5i 7已知凸函数的性质定理：“若函数 ()fx在区间 上是凸函数，则对于区间 内的任意 12,nx ， 有： 1212()nnxfxffn ”若函数 sinyx在区间 (0,)上是凸函数，则 在 ABC中， sisiBC的最大值是 （ ） A 2 B 3 C 32 D 32 8设 是三角形的一个内角，且 1sinco5，则方程 2sincos1xy表示的曲线是 A焦点在 x轴上的双曲线 B焦点在 轴上的椭圆 C焦点在 y轴上的双曲线 D焦点

4、在 轴上的椭圆 9已知平面上直线 l的方向向量 31(,)2e，点 (0,)O和 (2,)P在直线 l的正射影分别是 O和 P，且OPe ，则 等于 （ ） A 2(31) B (31) C (31) D 31 10若对于任意的 ,xab，函数 (),fxg总满足 ()0fxg，则称在区间 ,ab上， ()gx可以代 替 ()f 若 ()f，则下列函数中，可以在区间 4,16上代替 ()fx的是 （ ） A 2gx B 1()4gx C ()5gx D 26g 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 20 分其中 1415 题是选做题，考生只能选做一题， 两题全答的，只计算前一题

5、得分。 11期末考试后，班长算出了全班 50 名同学的数学成绩的平均分为 x，方差为 21s 如果把 x当成一个 同学的分数，与原来的 50 个分数一起，算出这 51 个分数的方差为 2，那么 2s * 12若关于 x的方程 120xa有两个相异的实根，则实数 a的取值范围是 * 13在 ABC中， 角 ,ABC所对的边分别为 ,bc，若 7,89bc，则 AC边上的中线长为 * 14 （坐标系与参数方程选做题） 否 是开始 S=1+2S i=i+1 输出 S 结束 i=1, S=1 本卷第 3 页（共 8 页） 在极坐标系中，点 A在曲线 2sin()4上，点 B在直线 cos1上，则 |A

6、B的最小值是 * 15 （几何证明选讲选做题） 如图，已知 P与圆 O相切于 ，半径 OCP， A交 O于 ， C, 2OP，则 * 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明证明过程和演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 已知向量 (2sin,co)4xm， (cos,3)4xn，函数 ()fxmn （1）求 )f的最小正周期； （2）若 0x，求 ()fx的最大值和最小值 17 （本小题满分 12 分） 在棱长为 1 的正方体 1ABCD中， ,EFGH分别是棱 11,ABCD的中点 （1）证明： /FH平面 EG； （2）证明： ； （3）求三棱锥 1A的体积

7、18 （本小题满分 14 分） 已知函数 321()()fxaxb，其中 ,ab为常数 （1）当 6,ab时，求函数 (f的单调递增区间； A B C O P A B CD A1 B1 C1D1 E F G H 本卷第 4 页（共 8 页） （2）若任取 0,4,3ab，求函数 ()fx在 R上是增函数的概率 19 （本小题满分 14 分） 某单位为解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为 2(m)A的宿舍楼已知 土地的征用费为 2388 元/ 2m，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的 25 倍 经工 程技术人员核算，第一二层的建筑费用都为 445 元/ 2m，以后每

8、增高一层，其建筑费用就增加 30 元/ 2m 试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最小，并求出其最小费用 （总费用为建筑费 用和征地费用之和） 20 （本小题满分 14 分） 设 (1,0)F， M点在 x轴的负半轴上，点 P在 y轴上，且 ,MPNPF （1）当点 P在 y轴上运动时，求点 N的轨迹 C的方程； （2）若 (4,)A，是否存在垂直 x轴的直线 l被以 A为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 直线 l的方程；若不存在，请说明理由 21 （本小题满分 14 分） 设函数 ()2)xfa，方程 ()xf有唯一解，其中实数 a为常数， 12()03fx，*1()nfxN （1）

9、求 f的表达式； （2）求 201x的值； （3）若 43na且 2*1()nabN ，求证： 121nb 参考答案 本卷第 5 页（共 8 页） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B D A C D C C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 11 50 ； 12 (0,)2 ； 137 ； 14 2 ； 15 3 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分 16 （本小题满分 12 分） 解：（1） ()sinco3sin3cos2in()423xxxf -4

10、分()fx 的最小正周期 T-6 分 （2） 0 536 ，当 23x，即 3x时， ()fx有最大值 2； -8 分 当 2x，即 时， ()f有最小值 1 -12 分 17 （本小题满分 12 分） 解：（1）证明： 111/,/,/FHBCAGFH -2 分 又 1AG平面 1E， 平面 E，/F 平面 -4 分 （2） 1平面 1AB， H平面 1AB，AHG -5 分 又 11,E190, 90BAHE ， 1AHE -6 分 又 1AG， 平面 1G， -7 分E 平面 ，故 -8 分 （3）连结 1,H，由（1）得 /FH平面 1AE， 11HAEGFAEV -9 分 又 111

11、1 348AEBAEABESSS， 2 -10 分11111316FGHGHAVV -12 分 18 （本小题满分 14 分） 解：（1）当 6,3ab时， 32()59fxx， 2()09fx -2 分 A B CD A1 B1 C1D1 E F G H 本卷第 6 页（共 8 页） 令 2()109fx， (1)90x,解得 1x或 9，-4 分 故函数 f的单调递增区间分别为 (,和 ,) -6 分 （2） 22()(1)fxaxb 若函数 f在 R上是增函数，则对于任意 xR， ()0fx恒成立 所以， 24(1)0ab，即 (1)(ab -8 分 设“ )fx在 上是增函数”为事件

12、A，则事件 对应的区域为(,|()b 全部试验结果构成的区域 (,)|04,3abb，如图 -12 分 所以， 134372() 12SPA阴 影 故函数 fx在 R上是增函数的概率为 -14 分 19 （本小题满分 14 分） 解：设楼高为 层，总费用为 y元， 则征地面积为 2.5()Amx，征地费用为 5970Ax元，-2 分 楼层建筑费用为 3045(430)(2)43(2)(154)AxxA 元，从而971AyxA (0x -8 分 整理化简，得 6060(54)(2154)10()y Axx元 -12 分 当且仅当 1x，解得 （层）时，总费用 y最小 -13 分 故当这幢宿舍的楼

13、高层数为 20 层时，最小总费用为 元 -14 分 20 （本小题满分 14 分） 解：（1） （解法一） MPN，故 为 的中点 -1 分 设 (,)Nxy，由 点在 x轴的负半轴上，则 (,0)(,)02yxPx -2 分 又 1,0F， (,)(1,)22yyF -4 分 又 P， 04Px -6 分 所以，点 N的轨迹 C的方程为 2()y -7 分 本卷第 7 页（共 8 页） （解法二） MPN，故 为 的中点 -1 分 设 (,)Nxy，由 点在 x轴的负半轴上，则 (,0)(,)02yMxPx -2 分 又由 ,F，故 ，可得 FN -4 分 由 (1,0)F，则有 22(1)

14、(1)xyx，化简得： 24(0)yx -6 分 所以，点 N的轨迹 C的方程为 4(0 -7 分 （2）设 A的中点为 B，垂直于 x轴的直线方程为 xa， 以 为直径的圆交 l于 ,D两点， C的中点为 H21(4)2CBNxy ，4xHa -9 分222211(4)(4)xyxa21(4)63axa -12 分 所以，令 3，则对任意满足条件的 x， 都有 291CH（与 无关） ，-13 分即 23CD为定值 -14 分 21 （本小题满分 14 分） 解：（1）由 (2)xa，可化简为 (2)ax210x -2 分 当且仅当 1时，方程 ()xf有唯一解 -3 分 从而 ()f -4 分 （2）由已知 *1)()nfxN，得 12nx -5 分1nnx ，即 *1()n 数列 n是以 1x为首项， 2为公差的等差数列 -6 分11()()2nx ， 12()nx03f ， 103x，即 106226()10nxn -7 分 A B C DF H M N O P x y x=a 本卷第 8 页（共 8 页） 故 201102x -8 分 （3）证明： nx， 20144321nan -10 分2221(1)() 1=()2nab n -12 分12 11()()352n n -13 分 故 1b -14 分