天津市河西区22017届九年级上期末数学试卷含答案解析.doc

1、2016-2017 学年天津市河西区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的 1若将一个正方形的各边长扩大为原来的 4 倍，则这个正方形的面积扩大为原 来的（ ） A16 倍 B8 倍 C4 倍 D2 倍 2下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3下列随机事件的概率，既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得的是（ ） A某种幼苗在一定条件下的移植成活率 B某种柑橘在某运输过程中的损坏率 C某运动员在某种条件下“ 射出 9 环以上”的概率 D投掷一枚均匀的骰子，朝

2、上一面为偶数的概率 4正六边形的边长为 2，则它的面积为（ ） A B C3 D6 5袋中装有除颜色外完全相同的 a 个白球、b 个红球、c 个黄球，则任意摸出 一个球是黄球的概率为（ ） A B C D 6如图，铁路道口的栏杆短臂长 1m，长臂长 16m当短臂端点下降 0.5m 时， 长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（ ） A4m B6m C8m D12m 7下列说法正确的是（ ） A两个大小不同的正三角形一定是位似图形 B相似的两个五边形一定是位似图形 C所有的正方形都是位似图形 D两个位似图形一定是相似图形 8如图，将ABC 绕点 C（0，1）旋转 180得到ABC，设点 A 的坐标为

3、（a ，b ），则点 A的坐标为（ ） A（a ，b） B（ab 1） C（ a，b +1） D（a，b2） 9下列 44 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格 点上，则与ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ） A B C D 10过以下四边形的四个顶点不能作一个圆的是（ ） A 等腰梯形 B 矩形 C 直角梯形 D 对角是 90的四边形 11如图，AD BC 于 D， BEAC 于 E，AD 与 BE 相交于点 F，连接 ED，图中的 相似三角形的对数为（ ） A4 对 B6 对 C8 对 D9 对 12二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中错

4、误的是（ ） A函数有最小值 B当 1x 2 时，y0 C a+b+c0 D当 x ，y 随 x 的增大而减小 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，请将答案直接填在答题 纸中对应横线上 13两地的实际距离是 2000m，在绘制的地图上量得这两地的距离是 2cm，那 么这幅地图的比例尺为 14在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，随 机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次取出的小球标号相同 的概率为 15在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（4，0），点 B（0，3）把ABO 绕点 B 逆时针旋转 90，得ABO，点 A、

5、O 旋转后的对应点为 A、O，那么 AA的长为 16如图，在ABC 中，已知 C=90，BC=6，AC=8，则它的内切圆半径是 17如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是过点（1，0）且平行于 y 轴 的直线，若点 P（4，0）在该抛物线上，则 4a2b+c 的值为 18将边长为 4 的正方形 ABCD 向右倾斜，边长不变，ABC 逐渐变小，顶点 A、D 及对角线 BD 的中点 N 分别运动列 A、D 和 N的位置，若ABC=30，则 点 N 到点 N的运动路径长为 三、解答题：本大题共 7 小题，共 66 分，解答应写出文字说明、演算步骤或推 理过程 19（8 分）如图，正方形

6、网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形 的顶点叫做格点ABC 的三个顶点 A，B ，C 都在格点上，将ABC 绕点 A 按 顺时针方向旋转 90得到 ABC （1）在正方形网格中，画出ABC； （2）计算线段 AB 在变换到 AB的过程中扫过区域的面积 20（8 分）学生甲与学生乙学习概率初步知识后设计了如下游戏：学生甲手 中有 6，8，10 三张扑克牌，学生乙手中有 5，7，9 三张扑克牌，每人从各自手 中取一张牌进行比较，数字大的为本局获胜，每次获取的牌不能放回 （1）若每人随机取手中的一张牌进行比较，请列举出所有情况； （2）并求学生乙本局获胜的概率 21（10 分）如图，在A

7、BC 中，DE BC ，分别交 AB、AC 于点 D、E，若 AD=3， DB=2，BC=6，求 DE 的长 22（10 分）已知二次函数 y=2x24x+1 （1）用配方法化为 y=a（x h） 2+k 的形式； （2）写出该函数的顶点坐标； （3）当 0x3 时，求函数 y 的最大值 23（10 分）如图，CD 是圆 O 的弦，AB 是直径，且 CDAB，垂足为 P （1）求证：PC 2=PAPB； （2）PA=6， PC=3，求圆 O 的直径 24（10 分）已知 AB 为 O 的直径，OCAB ，弦 DC 与 OB 交于点 F，在直线 AB 上有一点 E，连接 ED，且有 ED=EF

8、（）如图 1，求证 ED 为O 的切线； （）如图 2，直线 ED 与切线 AG 相交于 G，且 OF=1，O 的半径为 3，求 AG 的长 25（10 分）如图，抛物线 y=x2mx3（m0）交 y 轴于点 C，CAy 轴，交抛 物线于点 A，点 B 在抛物线上，且在第一象限内，BEy 轴，交 y 轴于点 E，交 AO 的延长线于点 D，BE=2AC （1）用含 m 的代数式表示 BE 的长 （2）当 m= 时，判断点 D 是否落在抛物线上，并说明理由 （3）若 AGy 轴，交 OB 于点 F，交 BD 于点 G 若DOE 与BGF 的面积相等，求 m 的值 连结 AE，交 OB 于点 M，

9、若AMF 与BGF 的面积相等，则 m 的值是 2016-2017 学年天津市河西区九年级（上）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的 1若将一个正方形的各边长扩大为原来的 4 倍，则这个正方形的面积扩大为原 来的（ ） A16 倍 B8 倍 C4 倍 D2 倍 【考点】相似图形 【分析】根据正方形的面积公式：s=a 2，和积的变化规律，积扩大的倍数等于 因数扩大倍数的乘积，由此解答 【解答】解：根据正方形面积的计算方法和积的变化规律，如果一个正方形的 边长扩大为原来的 4 倍，那

10、么正方形的面积是原来正方形面积的 44=16 倍 故选：A 【点评】此题考查相似图形问题，解答此题主要根据正方形的面积的计算方法 和积的变化规律解决问题 2下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形；轴对称图形 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误 故选 B 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对

11、称图形的概念，轴对称图形的关键是 寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋 转 180 度后两部分重合 3下列随机事件的概率，既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得的是（ ） A某种幼苗在一定条件下的移植成活率 B某种柑橘在某运输过程中的损坏率 C某运动员在某种条件下“ 射出 9 环以上”的概率 D投掷一枚均匀的骰子，朝上一面为偶数的概率 【考点】利用频率估计概率 【分析】选项依次分析判断即可 【解答】解：A、某种幼苗在一定条件下的移植成活率，只能用频率估计，不能 用列举法；故不符合题意； B、某种柑橘在某运输过程中的损坏率，只能用列举法，不能用频率求出；故不 符

12、合题意； C、某运动员在某种条件下“ 射出 9 环以上”的概率，只能用频率估计，不能用列 举法；故不符合题意； D、一枚均匀的骰子只有六个面，即：只有六个数，不是奇数，便是偶数， 能一一的列举出来， 既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得概率；故符合题意 故选 D 【点评】此题是频率估计概率，主要考查了概率的几种求法，解本题的关键是 熟练掌握概率的求法 4正六边形的边长为 2，则它的面积为（ ） A B C3 D6 【考点】正多边形和圆 【分析】构建等边三角形，由题意可得：正六边形的面积就是 6 个等边OCD 的面积，根据边长为 2 求得三角形的高线 OG= ，代入面积公式计算即可 【解答】

13、解：如图，设正六边形 ABCDEF 的中心为 O，连接 OC、OD， 过 O 作 OGCD 于 G， COD= =60，OC=OD， COD 是等边三角形， OC=CD=OD=2， CG=DG=1， 由勾股定理得：OG= ， S 正六边形 ABCDEF=6SOCD =6 CDOG=32 =6 ， 故选 D 【点评】本题考查了正六边形的性质及三角形的面积，正确计算中心角的度数= ，熟知半径与边长构成等边三角形，求正六边形的面积，其实就是求等边 三角形的面积 5袋中装有除颜色外完全相同的 a 个白球、b 个红球、c 个黄球，则任意摸出 一个球是黄球的概率为（ ） A B C D 【考点】概率公式

14、【分析】由袋中装有除颜色外完全相同的 a 个白球，b 个红球，c 个黄球，直接 利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：根据题意，任意摸出一个球是黄球的概率为 ， 故选：A 【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总 情况数之比 6如图，铁路道口的栏杆短臂长 1m，长臂长 16m当短臂端点下降 0.5m 时， 长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（ ） A4m B6m C8m D12m 【考点】相似三角形的应用 【分析】栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应变成比 例解题 【解答】解：设长臂端点升高 x 米， 则 = ， 解得：x=8 故选；C 【点评】

15、此题考查了相似三角形在实际生活中的运用，得出比例关系式是解题 关键 7下列说法正确的是（ ） A两个大小不同的正三角形一定是位似图形 B相似的两个五边形一定是位似图形 C所有的正方形都是位似图形 D两个位似图形一定是相似图形 【考点】位似变换 【分析】根据位似图形的定义即可判定 【解答】解：A、错误两个大小不同的正三角形不一定是位似图形； B、错误相似的两个五边形不一定是位似图形； C、错误所有的正方形不一定是位似图形； D、正确两个位似图形一定是相似图 故选 D 【点评】本题考查位似图形的定义，记住位似图形的性质是解题的关键两个 图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行 8如图

16、，将ABC 绕点 C（0，1）旋转 180得到ABC，设点 A 的坐标为 （a ，b ），则点 A的坐标为（ ） A（a ，b） B（ab 1） C（ a，b +1） D（a，b2） 【考点】坐标与图形变化-旋转 【分析】我们已知关于原点对称的点的坐标规律：横坐标和纵坐标都互为相反 数；还知道平移规律：上加下减；左加右减在此基础上转化求解把 AA向 上平移 1 个单位得 A 的对应点 A1 坐标和 A对应点 A2 坐标后求解 【解答】解：把 AA向上平移 1 个单位得 A 的对应点 A1 坐标为（a，b+1） 因 A1、A 2 关于原点对称，所以 A对应点 A2（ a，b1） A（a，b2）

17、故选 D 【点评】此题通过平移把问题转化为学过的知识，从而解决问题，体现了数学 的化归思想 9下列 44 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格 点上，则与ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ） A B C D 【考点】相似三角形的判定 【分析】根据勾股定理求出ABC 的三边，并求出三边之比，然后根据网格结 构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相 似选择答案 【解答】解：根据勾股定理，AB= =2 ， BC= = ， AC= = ， 所以ABC 的三边之比为 ：2 ： =1：2： ， A、三角形的三边分别为 2， = ， =3 ，三边之比为

18、 2： ：3 = ： ：3，故 A 选项错误； B、三角形的三边分别为 2，4， =2 ，三边之比为 2：4：2 =1：2： ，故 B 选项正确； C、三角形的三边分别为 2，3， = ，三边之比为 2：3： ，故 C 选项错误； D、三角形的三边分别为 = ， = ，4，三边之比为 ： ：4，故 D 选项错误 故选：B 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构 分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键 10过以下四边形的四个顶点不能作一个圆的是（ ） A 等腰梯形 B 矩形 C 直角梯形 D 对角是 90的四边形 【考点】圆周角定理；矩形的性质；直

19、角梯形 【分析】过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是：对角互补（对角之和等于 180）依此判断即可 【解答】解：A、等腰梯形的对角互补，所以过等腰梯形的四个顶点能作一个圆， 故本选项不符合题意； B、矩形的对角互补，所以过矩形的四个顶点能作一个圆，故本选项不符合题意； C、直角梯形的对角不互补，所以过直角梯形的四个顶点不能作一个圆，故本选 项符合题意； D、对角是 90的四边形的对角互补，所以过对角是 90的四边形的四个顶点能 作一个圆，故本选项不符合题意； 故选 C 【点评】本题考查了确定圆的条件，圆内接四边形的性质圆内接四边形的性 质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周

20、角定理结合 起来在应用时要注意是对角，而不是邻角互补 11如图，AD BC 于 D， BEAC 于 E，AD 与 BE 相交于点 F，连接 ED，图中的 相似三角形的对数为（ ） A4 对 B6 对 C8 对 D9 对 【考点】相似三角形的判定 【分析】利用有两组角对应相等的两个三角形相似可判定FAECBE FBDCAD，再根据圆周角定理得到点 A、B 、D、E 四点共圆，则 BAD=BED ，于是可判定ABFEDF，利用DEC=ABC 可判定 CDECAB 【解答】解：AD BC 于 D，BE AC 于 E， ADC=AEC=90， FAECAD，FBDCBE， 而ACD=BCE， CADC

21、BE ， FAECBE，FAE FBD，FBDCAD， AEB=ADB ， 点 E、点 D 在以 AB 为直角的圆上， 即点 A、B、D 、E 四点共圆， BAD=BED ， ABFEDF ， DEC=ABC， CDECAB ， 故选 C 【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等 的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似 12二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A函数有最小值 B当 1x 2 时，y0 C a+b+c0 D当 x ，y 随 x 的增大而减小 【考点】二次函数的图象 【分析】A、观察可判断函数有最小值；

22、B 、由抛物线可知当1x2 时，可判 断函数值的符号；C、观察当 x=1 时，函数值的符号，可判断 a+b+c 的符号； D、由抛物线对称轴和开口方向可知 y 随 x 的增大而减小，可判断结论 【解答】解：A、由图象可知函数有最小值，故正确； B、由抛物线可知当1x 2 时，y0，故错误； C、当 x=1 时，y0，即 a+b+c0，故正确； D、由图象可知在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而减小，故正确 故选 B 【点评】本题考查了二次函数图象的性质与解析式的系数的关系关键是熟悉 各项系数与抛物线的各性质的联系 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，请将答案直接填在答

23、题 纸中对应横线上 13两地的实际距离是 2000m，在绘制的地图上量得这两地的距离是 2cm，那 么这幅地图的比例尺为 1：100000 【考点】比例线段 【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=图上距离：实际距离” 即可求 得这幅地图的比例尺 【解答】解：2cm=0.02m， 0.02m：2000m=1：100000 答：这幅地图的比例尺是 1：100000 故答案为：1：100000 【点评】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算 14在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，随 机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次取出的小

24、球标号相同 的概率为 【考点】列表法与树状图法 【分析】根据题意画出数形图，两次取的小球的标号相同的情况有 4 种，再计 算概率即可 【解答】解：如图： 两次取的小球的标号相同的情况有 4 种， 概率为 P= = 故答案为： 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏 的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以 上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点 为：概率=所求情况数与总情况数之比 15在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（4，0），点 B（0，3）把ABO 绕点 B 逆时针旋转 90，得ABO，点 A、O 旋

25、转后的对应点为 A、O，那么 AA的长为 5 【考点】坐标与图形变化-旋转 【分析】由 A、B 的坐标可求得 AB，由旋转的性质可知 AB=AB，在 RtABA中 利用勾股定理可求得 AA的长 【解答】解： A（4，0 ）， B（0，3 ）， AB=5， 把ABO 绕点 B 逆时针旋转 90，得ABO， AB=AB=5，且ABA=90， AA= =5 ， 故答案为：5 【点评】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转前后对应线段、对应角相等是解 题的关键 16如图，在ABC 中，已知 C=90，BC=6，AC=8，则它的内切圆半径是 2 【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理；正方形的判定与性质；切线

26、长定 理 【分析】根据勾股定理求出 AB，根据圆 O 是直角三角形 ABC 的内切圆，推出 OD=OE，BF=BD，CD=CE， AE=AF，ODC=C=OEC=90，证四边形 ODCE 是正 方形，推出 CE=CD=r，根据切线长定理得到 ACr+BCr=AB，代入求出即可 【解答】解：根据勾股定理得：AB= =10， 设三角形 ABC 的内切圆 O 的半径是 r， 圆 O 是直角三角形 ABC 的内切圆， OD=OE，BF=BD，CD=CE ，AE=AF，ODC=C=OEC=90， 四边形 ODCE 是正方形， OD=OE=CD=CE=r， ACr+BCr=AB， 8r+6r=10， r=

27、2， 故答案为：2 【点评】本题主要考查对切线长定理，三角形的内切圆与内心，勾股定理，正 方形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能推出 ACr+BCr=AB 是解此题的关 键 17如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是过点（1，0）且平行于 y 轴 的直线，若点 P（4，0）在该抛物线上，则 4a2b+c 的值为 0 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】依据抛物线的对称性求得与 x 轴的另一个交点，代入解析式即可 【解答】解：设抛物线与 x 轴的另一个交点是 Q， 抛物线的对称轴是过点（1，0），与 x 轴的一个交点是 P（4，0）， 与 x 轴的另一个交点 Q（ 2，0），

28、 把（2，0）代入解析式得： 0=4a2b+c， 4a2b+c=0， 故答案为：0 【点评】本题考查了抛物线的对称性，知道与 x 轴的一个交点和对称轴，能够 表示出与 x 轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键 18将边长为 4 的正方形 ABCD 向右倾斜，边长不变，ABC 逐渐变小，顶点 A、D 及对角线 BD 的中点 N 分别运动列 A、D 和 N的位置，若ABC=30，则 点 N 到点 N的运动路径长为 【考点】轨迹；正方形的性质 【分析】根据题意可以画出相应的图形，可以求得NMN的度数，然后根据弧 长公式即可解答本题 【解答】解：作 NMBC 于点 M，连接 MN， 点 N和

29、点 M 分别为线段 BD和 BC 的中点， MN= =2， MN=BM， MBN= MNB， ABC=30， MBN=15， NMC=30 ， NMN=60 ， 点 N 到点 N的运动路径长为： ， 故答案为： 【点评】本题考查轨迹、正方形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问 题需要的条件 三、解答题：本大题共 7 小题，共 66 分，解答应写出文字说明、演算步骤或推 理过程 19如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点 叫做格点ABC 的三个顶点 A，B ，C 都在格点上，将ABC 绕点 A 按顺时针 方向旋转 90得到ABC （1）在正方形网格中，画出ABC；

30、 （2）计算线段 AB 在变换到 AB的过程中扫过区域的面积 【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算 【分析】（1）根据旋转的性质得出对应点旋转后位置进而得出答案； （2）利用勾股定理得出 AB=5，再利用扇形面积公式求出即可 【解答】解：（1）如图所示：ABC即为所求； （2）AB= =5， 线段 AB 在变换到 AB的过程中扫过区域的面积为： = 【点评】此题主要考查了扇形面积公式以及图形的旋转变换等知识，熟练掌握 扇形面积公式是解题关键 20学生甲与学生乙学习概率初步知识后设计了如下游戏：学生甲手中有 6，8 ，10 三张扑克牌，学生乙手中有 5，7，9 三张扑克牌，每人从各自手中取 一

31、张牌进行比较，数字大的为本局获胜，每次获取的牌不能放回 （1）若每人随机取手中的一张牌进行比较，请列举出所有情况； （2）并求学生乙本局获胜的概率 【考点】列表法与树状图法 【分析】（1）根据题意可以写出所有的可能性； （2）根据（1）中的结果可以得到乙本局获胜的可能性，从而可以解答本题 【解答】解：（1）由题意可得， 每人随机取手中的一张牌进行比较的所有情况是： （6，5）、（6，7）、（6，9）、 （8，5）、（8，7）、（8，9）、 （10，5 ）、（10，7 ）、（10，9）； （2）学生乙获胜的情况有：（6，7）、（6，9）、（8，9）， 学生乙本局获胜的概率是： = ， 即学生乙本

32、局获胜的概率是 【点评】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，找出所求问题 需要的条件 21（10 分）（2016 秋河西区期末）如图，在ABC 中，DE BC ，分别交 AB、AC 于点 D、E，若 AD=3，DB=2，BC=6 ，求 DE 的长 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】首先根据 DEBC 证得两三角形相似，利用相似三角形的对应边的比 相等列式计算即可 【解答】解：DEBC， ADE ABC， ， 又AD=3 ，DB=2，BC=6， AB=AD+DB=5， 即： = ， DE= 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是能够根据平行得 到相似，并得到比例

33、式后代入计算 22（10 分）（2016 秋河西区期末）已知二次函数 y=2x24x+1 （1）用配方法化为 y=a（x h） 2+k 的形式； （2）写出该函数的顶点坐标； （3）当 0x3 时，求函数 y 的最大值 【考点】二次函数的三种形式；二次函数的最值 【分析】（1）利用配方法整理即可得解； （2）根据顶点式解析式写出顶点坐标即可； （3）根据增减性结合对称轴写出最大值即可； 【解答】解：（1）y=2（x 2+2x ） =2（x 2+2x+11 ） =2（x+1） 2+3， （2）顶点坐标为（1，3）， （3）当 0x3 时，此函数 y 随着 x 的增大而减小， 当 x=0 时，y

34、有最大值是 1 【点评】本题考查了二次函数的三种形式的转化，二次函数的性质，熟练掌握 配方法是解题的关键 23（10 分）（2016 秋河西区期末）如图，CD 是圆 O 的弦，AB 是直径，且 CDAB，垂足为 P （1）求证：PC 2=PAPB； （2）PA=6， PC=3，求圆 O 的直径 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理 【分析】（1）连接 AC、 BC，结合条件和垂径定理可证明APCCPB，利用 相似三角形的性质可证得 PC2=PAPB； （2）把 PA、PC 的长代入（1）中的结论，可求得 PB，则可求得 AB 的长 【解答】（1）证明： 如图，连接 AC、BC ，

35、 CDAB，AB 是直径， = ， CAB=BCP， CPA= CPB=90 ， APCCPB， = ，即 PC2=PAPB； （2）解： 将 PA=6，PC=3，代入 PC2=PAPB，可得 32=6PB， PB=1.5， AB=PA+PB=6+1.5=7.5， 即圆的直径为 7.5 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质及垂径定理，利用条件构造三 角形相似是解题的关键 24（10 分）（2016天津一模）已知 AB 为O 的直径，OCAB，弦 DC 与 OB 交于点 F，在直线 AB 上有一点 E，连接 ED，且有 ED=EF （）如图 1，求证 ED 为O 的切线； （）如图 2，直

36、线 ED 与切线 AG 相交于 G，且 OF=1，O 的半径为 3，求 AG 的长 【考点】切线的判定 【分析】（1）连接 OD，由 ED=EF 可得出EDF=EFD ，由对顶角相等可得出 EDF= CFO；由 OD=OC 可得出ODF=OCF ，结合 OCAB 即可得知 EDF+ODF=90，即EDO=90，由此证出 ED 为 O 的切线； （2）连接 OD，过点 D 作 DMBA 于点 M，结合（1）的结论根据勾股定理可 求出 ED、EO 的长度，结合DOE 的正弦、余弦值可得出 DM、MO 的长度，根 据切线的性质可知 GAEA，从而得出 DMGA，根据相似三角形的判定定理即 可得出ED

37、MEGA，根据相似三角形的性质即可得出 GA 的长度 【解答】（1）证明：连接 OD，如图 1 所示 ED=EF， EDF= EFD， EFD= CFO， EDF= CFO OD=OC， ODF=OCF OCAB ， CFO +OCF= EDF + ODF=EDO=90， ED 为O 的切线 （2）解：连接 OD，过点 D 作 DMBA 于点 M，如图 2 所示 由（1）可知EDO 为直角三角形，设 ED=EF=a，EO=EF+FO=a +1， 由勾股定理得：EO 2=ED2+DO2，即（a+1） 2=a2+32， 解得：a=4，即 ED=4，EO=5 sin EOD= = ，cosEOD=

38、= ， DM=ODsin EOD=3 = ，MO=ODcosEOD=3 = ， EM=EO MO=5 = ，EA=EO+OA=5 +3=8 GA 切O 于点 A， GAEA， DM GA， EDMEGA， ， GA= = =6 【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似 三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）通过等腰三角形的性质找出 EDO=90；（ 2）通过相似三角形的性质找出相似比本题属于中档题，难度 不大，解决该题型题目时，根据角的计算找出直角，从而证出切线 25（10 分）（2016温州）如图，抛物线 y=x2mx3（m0）交 y 轴于点 C， CA y 轴

39、，交抛物线于点 A，点 B 在抛物线上，且在第一象限内，BEy 轴， 交 y 轴于点 E，交 AO 的延长线于点 D，BE=2AC （1）用含 m 的代数式表示 BE 的长 （2）当 m= 时，判断点 D 是否落在抛物线上，并说明理由 （3）若 AGy 轴，交 OB 于点 F，交 BD 于点 G 若DOE 与BGF 的面积相等，求 m 的值 连结 AE，交 OB 于点 M，若AMF 与BGF 的面积相等，则 m 的值是 【考点】二次函数综合题 【分析】（1）根据 A、C 两点纵坐标相同，求出点 A 横坐标即可解决问题 （2）求出点 D 坐标，然后判断即可 （3）首先根据 EO=2FG，证明 B

40、G=2DE，列出方程即可解决问题 求出直线 AE、BO 的解析式，求出交点 M 的横坐标，列出方程即可解决问 题 【解答】解：（1）C（ 0， 3），ACOC， 点 A 纵坐标为3， y=3 时，3=x 2mx3，解得 x=0 或 m， 点 A 坐标（m，3）， AC=m， BE=2AC=2m （2）m= ， 点 A 坐标（ ，3）， 直线 OA 为 y= x， 抛物线解析式为 y=x2 x3， 点 B 坐标（2 ，3）， 点 D 纵坐标为 3， 对于函数 y= x，当 y=3 时，x= ， 点 D 坐标（ ，3） 对于函数 y=x2 x3，x= 时，y=3， 点 D 在落在抛物线上 （3）A

41、CE=CEG=EGA=90， 四边形 ECAG 是矩形， EG=AC=BG， FGOE， OF=FB ， EG=BG， EO=2FG， DEEO= GBGF， BG=2DE， DEAC， = = ， 点 B 坐标（2m，2m 23）， OC=2OE， 3=2（2m 23）， m0， m= A（m，3），B（2m ，2m 23），E （0，2m 23）， 直线 AE 解析式为 y=2mx+2m23，直线 OB 解析式为 y= x， 由 消去 y 得到 2mx+2m23= x，解得 x= ， 点 M 横坐标为 ， AMF 的面积 =BFG 的面积， （ +3）（m ）= m （2m 23）， 整理得到：2m 49m2=0， m0， m=