高三理科数学第一学期期末联考试卷.doc

1、高三数学第一学期期末联考试卷（理科） 第 I 卷（选择题，共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1、设 A、B 为两个非空子集，定义： ,若 A=0，2，5, ,BbAaBA B=1，2，6，则 A+B 子集的个数是 （ ） A、2 9 B、 28 C、2 7 D、2 6 2、 是虚数单位，复数 等于（ ）i 31iZ A、 B、 C、 D、1ii1i1i 3、将 的图象按向量 ， ）平移，则平移后所得图象的解析式为（ sn()36xy(4a ） 。 A、 B、2si()42sin()43xy C

2、、 D、n31xy 1 4、已知直线 、 及平面 ，下列命题中的真命题是（ ）m A、若 ， ，则 B、若 ， ，则 nmnn C、若 ， ，则 D、若 ， ，则 mm 5、若以连续掷两次骰子分别得到的点数 、 作为点 P 的横、纵坐标，则点 P 在直线 下方的概率是（ ）xy A、 B、 C、 D、13141612 6、2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计 的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图） 如果小正 方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为 ， 的值等于（ ）22cossin则

3、 A、1 B、 54 C、 D、25727 7、函数 的图象大致是（ ）|ln1|xye 8、在 的展开式中含有常数项，则正整数 的最小值是（ ）231()nxn A、4 B、5 C、6 D、7 9、椭圆 （ ）的离心率为 ，右焦点为 F（ ， ） ，方程 21yaba012ec0 的两个实根分别为 ， ，则点 （ ）2xc1x12(,)Px A、必在圆 内 B、必在圆 上2y 2y C、必在圆 外 D、以上三种情形都有可能x 10、定义运算： ,如 ，则函数 的值域为（ ）ba12xf2)( A、 B、 C、 D、R,0,0,1 第 II 卷（非选择题 100 分） 二、填空题：本大题共 7

4、 小题，每小题 4 分，共 28 分。把答案填在题目中横线上。 11、若已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 p 0.1 0.2 0.3 x0.1 则 E x 12、若 ， ， （ ，4 ） ， ，则 的值是 。(1a)b2xab 13、在数列 中，若 ， ， 则该数列的通项 。n1a1n*nNna 14、在 的二面角内，放一个半径为 10cm 的球切两半平面于 A、B 两点，那么两切点在球面02 上的最短距离是 。 15、双曲线 （ 0， ）的离心率为 2，有一个焦点与抛物线 的焦点 21xymnn 24yx 重合，则 的值为 。 16、 在小时候，我们就用手指练习过数数. 一个小朋友

5、按如图所 示的规则练习数数，数到 2008 时对应的指头是 。 (填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中 指、 无名指、小指). 17、任取集合 ， ， ， ，14中的三个不同数 ， ， ，且满足 3，12341a2321a 2，则选取这样的三个数方法种数共有 。 （用数字作答）3a 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分，写出文字说明，证明或演算步骤。 18、 （本小题满分 14 分）已知：A 、B、C 是ABC 的三个内角，向量 ， ） ，(1m 3 ， ） ，且 。(cosni1mn （1）求角 A。 （2）若 ，求 。223csiBtac 19、 （本小题满分 14

6、分）右图是一个直三棱柱（以 为底面） ，被一平面所截得的几何体，1ABC 截面为 ABC。已知 ， ， ，11AC0914 ，12B3 （I）设点 O 是 AB 的中点，证明： 平面O1ABC （II）求 AB 与平面 所成角的大小。1AC 20. (本小题满分 14 分)已知函数 (a 为实常)0(ln)( ， xaxf 数) (1) 当 a = 0 时，求函数 的最小值；f (2) 若函数 在 上是单调函数，求 a 的取值范围。)(xf)2， ABCO1A1 21、 （本小题满分 15 分）如图，P 是抛物线 ： 上一点，直线 过点 P 且与抛物线 CC21yxl 交于另一点 Q。 （1）

7、若直线 与过点 的切线垂直，求线段 PQ 中点 Mlp 的轨迹方程。 （2）若直线 不过原点且与 轴交于点 ，与 轴交于lxsy 点 ，试求 的取值范围。T|STPQ 22、 （本小题满分 15 分） 已知函数 满足 ， ， ；且使)1,)(axRf()2()xfbxf0a1)(f 成立的实数 只有一个。xf2)( （）求函数 的表达式；f （）若数列 满足 ， ， ， ，证明：数列n321)(1nnaf1nb*N 是等比数列，并求出 的通项公式；nbnb （）在（）的条件下，证明： ， 。12n * 数学答题卷（理科） 一、选择题（每题 5 分，共 50 分） 二、填 空题 （ 每题 4 分

8、， 共 28 分） 11、 12、 13、 14、 15、 16、 17、 三、解答题（本大题共有 5 小题） 18、 （本小题满分 14 分）已知：A 、B、C 是ABC 的三个内角，向量 ， ） ，(1m3 ， ） ，且 。(cosni1mn （1）求角 A。 （2）若 ，求 。223csiBtac题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 学校_ 班级_ 姓名_ 准考证号_ 装 订 线 19、 （本小题满分 14 分）右图是一个直三棱柱（以 为底面） ，被一平面所截得的几何体，1ABC 截面为 ABC。已知 ， ， ， ，11ABC091412B13C （I）设点 O 是 AB

9、的中点，证明： 平面O1 （II）求 AB 与平面 所成角的大小。1 20、 (本小题满分 14 分)已知函数 (a 为实常数)0(1ln)( ， xaxf (1)当 a = 0 时，求函数 的最小值；f (2)若函数 在 上是单调函数，求 a 的取值范围。)(xf)2， AO1A1BC 21、 （本小题满分 15 分）如图，P 是抛物线 ： 上一点，直线 过点 P 且与抛物线 CC21yxl 交于另一点 Q。 （1）若直线 与过点 的切线垂直，求线段 PQ 中点 Mlp 的轨迹方程。 （2）若直线 不过原点且与 轴交于点 ，与 轴交于lxsy 点 ，试求 的取值范围。T|STPQ 22、 （

10、本小题满分 15 分） 已知函数 满足 ， ， ；且使)1,)(axRf()2()xfbxf0a1)(f 成立的实数 只有一个。xf2)( （）求函数 的表达式；f （）若数列 满足 ， ， ， ，证明：数列n321)(1nnaf1nb*N 是等比数列，并求出 的通项公式；nbnb （）在（）的条件下，证明： ， 。12n * 参考答案 1B 2A 3A 4D 5C 6D 7D 8B 9A 10C 11.0.3 2.1 12 13 14。 cm 15 16食指21n03316 17.165 18.解：（1） ， 且 ，(1,3)m(cos,i)Amn （3 分）cosinA 2(si)12 即

11、 （5 分）sin)6 (0,A （7 分）3 （2）由题意，得 2(sinco)3coisB sin3iB 即 1ta 10 分2 tntatan()1ABB3285311 14tt()t()C 分 19.解: （）证明：作 交 于 ，连 1ODA B1CD 则 ，1B 因为 是 的中点，A 1B1CD1A2HO2A 所以 11()32ODABC 则 是平行四边形，因此有 ，1COD 平面 ，且 平面11BA 则 面 .7 分O AB （）解：如图，过 作截面 面 ，分别交 ， 于 ， ，2C 11AC2 作 于 ，2HC 因为平面 平面 ，则 面 AB 1BH 1 连结 ，则 就是 与面

12、所成的角 A1C 因为 ， ，所以 2H50sin1AB 与面 所成的角为 .14 分AB1CarcsiH 解法二： （）证明：如图，以 为原点建立空间直角坐标系，则 ， ， ，因1 (014)A， ， (2)B， ， (103)C， ， 为 是 的中点，所以 ，OAB032O， ， ，102C， ， 易知， 是平面 的一个法向量()n， ， 1ABC 由 且 平面 知 平面 0OAO 1ABC .7 分 （）设 与面 所成的角为 B1 求得 ， 1(04)A， ， (0)C， ， 设 是平面 的一个法向量，则由 得 ，mxyz， ， 1A10AmC0zxy11B1CxzOy 取 得： 1xy

13、(0)m， ， 又因为 2AB， ， 所以， ， 则 cos10AB10sin 所以 与面 所成的角为 .14 分AB1Carcsi10 20 解:(1)a = 0 时， 2 分2)(xf 当 0x1 时 ，0f 当 x1 时 ，5 分)(f .7 分1)(minff (2) 221)(xaxf 当 a0 时， 在2 ，)上恒大于零，即 ，符合要求； 10 分0)(xf 当 a0 时，令 ，g (x) 在2，)上只能恒小于零1)(g 故14a0 或 ，解得：a 20)(441 a 的取值范围是 14 分)41(， 21、解：（1）设 ， ， ，依题意 ， ， ，1(,)Pxy2(,)Q0(,)

14、Mxy10x1y20 由已知可得 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分 过点 P 的切线的斜率 ， ，k切 1x 直线 的斜率 ， l1切 直线 的方程为 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分211()yxx 解法一 联立消去 ，得 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分y2210x M 是 PQ 的中点， ，消去 ，得 ，

15、 120110()xyx12001()yxx PQ 中点 M 的轨迹方程为 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。7 分2()y 解法二由 ， ， ，得21yx2x120x 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分211212012()()x 则 ， ，0112yxkx10x 将上式代入并整理，得， 200()y PQ 中点 M 的轨迹方程为 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。7 分21xx （2）设直线 ，依题意 ，则 。:lykxb0,kb(0,)Tb

16、 分别过 P、Q 作 轴， 轴，垂足分别为 P、Q，则Qy 。|ST| 21OT 由 消去 x，得 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。11 分 21ykb22()0ykby 解法一 = 。|SQTP|12()y|21y|b21 y 1、y 2 可取一切不相等的正数， 的取值范围是（2，+ ）.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 15 分|ST 解法二 = = 。|SQTPb21y|2)(bk 当 b0 时， ；|SQTPb2)(kbk)(22 当 b0 时， 。|

17、2)( 2() 又由方程有两个相异实根，得 ，224()4()0kbkb 于是 ，即 。20kb2kb 。|SQTP() 当 时， 可取一切正数，0bk 2 的取值范围是（2，+ ）.|SQTP 的取值范围是（2，+ ）.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。15 分| 22 （解：（）由 ， ， ，得 .1 分()()axfbxfa102)(axbf 由 ，得 .2 分1)(f1 由 只有一解，即 ，也就是 只有一解，2x2)0()(2x 04)(ab .4 分1 .故 .5 分a1(xf （） ， ， ，321)(

18、nnaf 54)32(12faf ， ，6 分98)54(23ff 76)98(34 猜想， .7 分1*Nan 下面用数学归纳法证明： 10 当 n=1 时，左边= ，右边= ，命题成立. 8 分321321 20 假设 n=k 时，命题成立，即 ；当 n=k+1 时，12ka ，1212)(1 kkkkkafa 当 n=k+1 时，命题成立. 10 分 由 10，2 0可得，当 时，有 .*Nna ，)(21abnnn *)(21Nbn 是首项为 ，公比为 的等比数列，其通项公式为 .11 分 nb1 （） ，211)( nnnnnab 13 分2121 a .15 分*12 ()()nnnN 温八中 刘洪钊 13958934582