河南省驻马店市2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析.doc

1、第 1 页（共 26 页） 2015-2016 学年河南省驻马店市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1已知集合 ，B=y|y=2 x+1，x R，则 R（A B）= （ ） A （，1 B （ ，1） C （0，1 D0，1 2已知复数 z1= i，则下列命题中错误的是（ ） Az 12=z2 B|z 1|=|z2| Cz 13z23=1 Dz l、z 2 互为共轭复数 3某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A B4 C2 D 4已知等比数列a n，b n的公比分别为 q1，q 2，则 q1=q2 是a n+bn为等比数列的（ ） A充分

2、不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5执行右面的程序框图，如果输入的 N=10，那么输出的 S=（ ） 第 2 页（共 26 页） A B C D 6平面直角坐标系中，点（3，t）和（2t ，4）分别在顶点为原点，始边为 x 轴的非负半 轴的角 ，+45的终边上，则 t 的值为（ ） A6 或1 B6 或 1 C6 D1 7已知实数 x，y 满足 ，则 z= 的取值范围是（ ） A0， B ，2） C ， D ，+） 8将函数 f（x）=sin2x 的图象向右平移 （0 ）个单位后得到函数 g（x）的图 象若对满足|f（x 1）g（x 2）|=2 的 x1、x 2

3、，有|x 1x2|min= ，则 =（ ） A B C D 9已知双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，若其渐进线与圆 x2+y26y+3=0 相切，则此双 曲线的离心率等于（ ） A B C D 第 3 页（共 26 页） 10有 5 盆菊花，其中黄菊花 2 盆、白菊花 2 盆、红菊花 1 盆，现把它们摆放成一排，要 求 2 盆黄菊花必须相邻，2 盆白菊花不能相邻，则这 5 盆花不同的摆放种数是（ ） A12 B24 C36 D48 11四面体 ABCD 的四个顶点均在半径为 2 的球面上，若 AB、AC、AD 两两垂直， =2，则该四面体体积的最大值为（ ） A B C2 D7 12若曲线

4、 C1：y=ax 2（a 0）与曲线 C2：y=e x 存在公共切线，则 a 的取值范围为（ ） A B C ，+） D 二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13如图，点 A 的坐标为（ 1，0） ，点 C 的坐标为（2，4） ，函数 f（x）=x 2，若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 14如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB=8，AD=5， =3 ， =2，则 的值是 15已知 f（x）=lg x，则 f（x）的最小值为 16数列a n的通项 an=n2（cos 2 sin2 ） ，其前 n 项和为 Sn，则 S30 为 三、

5、解答题（6 小题，70 分） 17如图，A、B、C、D 为平面四边形 ABCD 的四个内角 （）证明：tan ； 第 4 页（共 26 页） （）若 A+C=180，AB=6 ，BC=3，CD=4，AD=5，求 tan +tan +tan +tan 的值 18某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 82 为合格品， 小于 82 为次品现随机抽取这两种芯片各 100 件进行检测，检测结果统计如表： 测试指标 70，76） 76，82） 82，88） 88，94） 94，100 芯片甲 8 12 40 32 8 芯片乙 7 18 40 29 6 （I）试分别估计芯片甲，芯

6、片乙为合格品的概率； （）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利 40 元，若是次品则亏损 5 元；生产一件芯片乙， 若是合格品可盈利 50 元，若是次品则亏损 10 元在（I）的前提下， （i）记 X 为生产 1 件芯片甲和 1 件芯片乙所得的总利润，求随机变量 X 的分布列和数学 期望； （ii）求生产 5 件芯片乙所获得的利润不少于 140 元的概率 19如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，A 1A底面 ABCD，四边形 ABCD 为梯形， ADBC，且 AD=2BC，过 A1、C 、D 三点的平面记为 ，BB 1 与 的交点为 Q （）证明：Q 为 BB1 的中点； （）若 AA1=

7、4，CD=2 ，梯形 ABCD 的面积为 6，ADC=60 ，求平面 与底面 ABCD 所成锐二面角的大小 20已知椭圆 x2+2y2=1，过原点的两条直线 l1 和 l2 分别于椭圆交于 A、B 和 C、D，记得 到的平行四边形 ACBD 的面积为 S （1）设 A（x 1，y 1） ，C（x 2，y 2） ，用 A、C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离，并证明 S=2|x1y2x2y1|； （2）设 l1 与 l2 的斜率之积为 ，求面积 S 的值 21设函数 f （x）=（x+1）lnxa （x 1）在 x=e 处的切线与 y 轴相交于点（0，2e） （1）求 a 的值； （2）函

8、数 f （x）能否在 x=1 处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由 第 5 页（共 26 页） （3）当 1x2 时，试比较 与 大小 选做题（请在 22、23、24 三题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分）几何 证明选讲 22已知 AB 为半圆 O 的直径，AB=4，C 为半圆上一点，过点 C 作半圆的切线 CD，过点 A 作 ADCD 于 D，交半圆于点 E，DE=1 （）求证：AC 平分BAD； （）求 BC 的长 坐标系与参数方程 23在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C（ ， ） ，半径 r= （）求圆 C 的极坐标方程； （）若 0， ） ，直线 l 的参数

9、方程为 （t 为参数） ，直线 l 交圆 C 于 A、B 两点，求弦长|AB|的取值范围 不等式选讲 24函数 f（x）= （）若 a=5，求函数 f（x）的定义域 A； （）设 B=x|1x2，当实数 a，bB （ RA）时，求证： |1+ | 第 6 页（共 26 页） 2015-2016 学年河南省驻马店市高三（上）期末数学试 卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1已知集合 ，B=y|y=2 x+1，x R，则 R（A B）= （ ） A （，1 B （ ，1） C （0，1 D0，1 【考点】交、并、补集的混合运算 【分析】求出 A 中不等式的解

10、集确定出 A，求出 B 中 y 的范围确定出 B，求出 A 与 B 的 解集，进而确定交集的补角即可 【解答】解：由 A 中不等式变形得： x（x1）0，且 x10， 解得：x0 或 x1，即 A=（，0（1，+） ， 由 B 中 y=2x+11，即 B=（1，+） ， AB=（1，+） ， 则 R（A B） =（，1， 故选：A 2已知复数 z1= i，则下列命题中错误的是（ ） Az 12=z2 B|z 1|=|z2| Cz 13z23=1 Dz l、z 2 互为共轭复数 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】复数 z1= i，可得 =z2，|z 1|=|z2|， ， =0即可判断出 【

11、解答】解：复数 z1= i， =z2，|z 1|=|z2|， ，因此 A，B，D 正确 对于 C： =0 第 7 页（共 26 页） 故选：C 3某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A B4 C2 D 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】由三视图可知：该三棱锥的侧面 PBC底面 ABC，PD交线 BC，AEBC，且 AE=3，PD=2，CD=3 ，DB=1，CE=EB=2据此即可计算出其体积 【解答】解：由三视图可知：该三棱锥的侧面 PBC底面 ABC，PD交线 BC，AE BC，且 AE=3，PD=2，CD=3 ，DB=1，CE=EB=2 V PABC= = =4 故选 B

12、4已知等比数列a n，b n的公比分别为 q1，q 2，则 q1=q2 是a n+bn为等比数列的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】利用等比数列的定义通项公式、充要条件的判定即可得出 第 8 页（共 26 页） 【解答】解：等比数列a n，b n的公比分别为 q1，q 2，则 q1=q2=q = =q，因此a n+bn为等比数列； 反之也成立，设a n+bn是公比为 q 等比数列，则 an+bn= ， + = ，对于n N*恒成立，q 1=q2=q q 1=q2 是a n+bn为等比数列的充要条件

13、 故选：C 5执行右面的程序框图，如果输入的 N=10，那么输出的 S=（ ） A B C D 【考点】程序框图 【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到 程序框图表示的算法的功能 【解答】解：框图首先给累加变量 S 和循环变量 i 赋值， S=0+1=1，k=1 +1=2； 判断 k10 不成立，执行 S=1+ ，k=2+1=3； 第 9 页（共 26 页） 判断 k10 不成立，执行 S=1+ + ，k=3+1=4； 判断 k10 不成立，执行 S=1+ + + ，k=4+1=5； 判断 i10 不成立，执行 S= ，k=10+1=11； 判断 i10

14、 成立，输出 S= 算法结束 故选 B 6平面直角坐标系中，点（3，t）和（2t ，4）分别在顶点为原点，始边为 x 轴的非负半 轴的角 ，+45的终边上，则 t 的值为（ ） A6 或1 B6 或 1 C6 D1 【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义 【分析】根据任意角的三角函数定义分别求出 tan 和 tan（ +45） ，然后利用两角和与差 的正切函数公式及特殊角的三角函数值得到一个关于 t 的方程，求出 t 的值，然后利用 和 +45是始边为 x 轴的非负半轴的角，得到满足题意 t 的值即可 【解答】解：由题意得 tan= ，tan（ +45）= = 而 tan（+45

15、 ）= = = ，化简得：t 2+5t6=0 即（t 1） （t+6）=0， 解得 t=1，t= 6 因为点（3，t）和（2t，4）分别在顶点为原点，始边为 x 轴的非负半轴的角 ，+45的终 边上，所以 t=6 舍去 则 t 的值为 1 故选 D 7已知实数 x，y 满足 ，则 z= 的取值范围是（ ） A0， B ，2） C ， D ，+） 【考点】简单线性规划 【分析】由约束条件作出可行域，化 z= =1+ ，由其几何意义（动点与定点连线的 斜率）得答案 第 10 页（共 26 页） 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图， A（1，0） z= = ， 的几何意义为可行域内的动点与定点

16、P（1，1）连线的斜率， z 的取值范围为 ，+ ） 故选：D 8将函数 f（x）=sin2x 的图象向右平移 （0 ）个单位后得到函数 g（x）的图 象若对满足|f（x 1）g（x 2）|=2 的 x1、x 2，有|x 1x2|min= ，则 =（ ） A B C D 【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换 【分析】利用三角函数的最值，求出自变量 x1，x 2 的值，然后判断选项即可 【解答】解：因为将函数 f（ x）=sin2x 的周期为 ，函数的图象向右平移 （0 ） 个单位后得到函数 g（x）的图象若对满足|f（x 1）g（x 2）|=2 的可知，两个函数的最大 值与最小值的差为

17、 2，有|x 1x2|min= ， 第 11 页（共 26 页） 不妨 x1= ，x 2= ，即 g（x）在 x2= ，取得最小值，sin （2 2）= 1，此时 = ，不合题意， x1= ，x 2= ，即 g（x）在 x2= ，取得最大值，sin （2 2）=1，此时 = ，满足题意 故选：D 9已知双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，若其渐进线与圆 x2+y26y+3=0 相切，则此双 曲线的离心率等于（ ） A B C D 【考点】双曲线的简单性质 【分析】利用双曲线 =1（a0，b0）的一条渐近线 y= x 与圆 x2+y26y+3=0 相切 圆心（0，3）到渐近线的距离等于半径 r

18、，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公 式即可得出 【解答】解：取双曲线 =1（a0，b0）的一条渐近线 y= x，即 bxay=0 由圆 x2+y26y+3=0 化为 x2+（y3） 2=6圆心（0，3） ，半径 r= 渐近线与圆 x2+y26y+3=0 相切， = 化为 a2=2b2 该双曲线的离心率 e= = = = 故选：C 10有 5 盆菊花，其中黄菊花 2 盆、白菊花 2 盆、红菊花 1 盆，现把它们摆放成一排，要 求 2 盆黄菊花必须相邻，2 盆白菊花不能相邻，则这 5 盆花不同的摆放种数是（ ） A12 B24 C36 D48 【考点】排列、组合及简单计数问题 【分析】由题设

19、中的条件知，可以先把黄 1 与黄 2 必须相邻，可先将两者绑定，又白 1 与 白 2 不相邻，可把黄 1 与黄 2 看作是一盆菊花，与白 1 白 2 之外的菊花作一个全排列，由 于此两个元素隔开了三个空，再由插空法将白 1 白 2 菊花插入三个空，由分析过程知，此 题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可 第 12 页（共 26 页） 【解答】解：由题意，第一步将黄 1 与黄 2 绑定，两者的站法有 2 种，第二步将此两菊花 看作一个整体， 与除白 1，白 2 之外的一菊花看作两个元素做一个全排列有 A22 种站法， 此时隔开了三个空，第三步将白 1，白 2 两菊花插入三个空，排法种数为 A

20、32 则不同的排法种数为 2A22A32=226=24 故选 B 11四面体 ABCD 的四个顶点均在半径为 2 的球面上，若 AB、AC、AD 两两垂直， =2，则该四面体体积的最大值为（ ） A B C2 D7 【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算 【分析】由题意， =c =c2=2，进而可得 a2+b2=142ab，即可 求出四面体体积的最大值 【解答】解：由题意， =c =c2=2， a 2+b2+c2=16， a 2+b2=142ab ， ab7， = ， 四面体体积的最大值为 ， 故选：A 12若曲线 C1：y=ax 2（a 0）与曲线 C2：y=e x 存在公共切线，

21、则 a 的取值范围为（ ） A B C ，+） D 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象 有交点求得 a 的范围 【解答】解：由 y=ax2（a 0） ，得 y=2ax， 由 y=ex，得 y=ex， 第 13 页（共 26 页） 曲线 C1：y=ax 2（a 0）与曲线 C2：y=e x 存在公共切线，则 设公切线与曲线 C1 切于点（ ） ，与曲线 C2 切于点（ ） ， 则 ，将 代入 ，可得 2x2=x1+2， a= ，记 ， 则 ，当 x（0，2）时，f（x） 0 当 x=2 时， a 的范围是 ） 故

22、选：C 二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13如图，点 A 的坐标为（ 1，0） ，点 C 的坐标为（2，4） ，函数 f（x）=x 2，若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 【考点】定积分的简单应用；几何概型 【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答 【解答】解：由已知，矩形的面积为 4（21）=4， 阴影部分的面积为 =（4x ）| = ， 由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于 ； 第 14 页（共 26 页） 故答案为： 14如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB=8，AD=5， =3 ， =2，则

23、 的值是 22 【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算 【分析】由 =3 ，可得 = + ， = ，进而由 AB=8，AD=5， =3 ， =2，构造方程，进而可得答案 【解答】解： =3 ， = + ， = ， 又AB=8，AD=5， =（ + ） （ ）= | |2 | |2=25 12=2， 故 =22， 故答案为：22 15已知 f（x）=lg x，则 f（x）的最小值为 lg2 【考点】函数的最值及其几何意义 【分析】化简 f（x）=lg x=lg =lg（10 x+10x） ，从而利用基本不等式求最值 【解答】解：f（x）=lg x =lg =lg（10 x+10x）lg

24、2， （当且仅当 x=0 时，等号成立） ； 故答案为：lg2 第 15 页（共 26 页） 16数列a n的通项 an=n2（cos 2 sin2 ） ，其前 n 项和为 Sn，则 S30 为 470 【考点】数列的求和 【分析】利用二倍角公式对已知化简可得，a n=n2（cos 2 sin2 ）=n 2cos ，然后 代入到求和公式中可得， +32cos2+302cos20，求出 特殊角的三角函数值之后，利用平方差公式分组求和即可求解 【解答】解：a n=n2（cos 2 sin2 ）=n 2cos +32cos2+302cos20 = + = 1+22232）+（4 2+52622）+

25、= （1 232）+（4 262）+（2 232）+（5 262）+ = 2（4+10+16+58）（5+11+17+59） = 2 =470 故答案为：470 三、解答题（6 小题，70 分） 17如图，A、B、C、D 为平面四边形 ABCD 的四个内角 （）证明：tan ； （）若 A+C=180，AB=6 ，BC=3，CD=4，AD=5，求 tan +tan +tan +tan 的值 【考点】三角函数恒等式的证明 【分析】 （）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可 （）通过 A+C=180，得 C=180A，D=180 B，利用（）化简 tan +tan +tan +tan = ，连

26、结 BD，在ABD 中，利用余弦定理求出 sinA，连结 AC，求出 sinB，然后求解即可 第 16 页（共 26 页） 【解答】证明：（）tan = = = 等式成立 （）由 A+C=180，得 C=180A，D=180 B，由（）可知：tan +tan +tan +tan = = ，连结 BD，在ABD 中，有 BD2=AB2+AD22ABADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5， 在BCD 中，有 BD2=BC2+CD22BCCDcosC， 所以 AB2+AD22ABADcosA=BC2+CD22BCCDcosC， 则：cosA= = = 于是 sinA= = ， 连结 A

27、C，同理可得：cosB= = = ， 于是 sinB= = 所以 tan +tan +tan +tan = = = 18某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 82 为合格品， 小于 82 为次品现随机抽取这两种芯片各 100 件进行检测，检测结果统计如表： 测试指标 70，76） 76，82） 82，88） 88，94） 94，100 芯片甲 8 12 40 32 8 芯片乙 7 18 40 29 6 （I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率； （）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利 40 元，若是次品则亏损 5 元；生产一件芯片乙， 若是合格品可盈利 50 元，

28、若是次品则亏损 10 元在（I）的前提下， （i）记 X 为生产 1 件芯片甲和 1 件芯片乙所得的总利润，求随机变量 X 的分布列和数学 期望； （ii）求生产 5 件芯片乙所获得的利润不少于 140 元的概率 【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率 第 17 页（共 26 页） 【分析】 （）分布求出甲乙芯片合格品的频数，然后代入等可能事件的概率即可求解 （） （）先判断随机变量 X 的所有取值情况有 90，45，30，15 ，然后分布求解出每 种情况下的概率，即可求解分布列及期望值 （）设生产的 5 件芯片乙中合格品 n 件，则次品有 5n 件由题意，得 50n10（5n）

29、 140，解不等式可求 n ，然后利用独立事件恰好发生 k 次的概率公式即可求解 【解答】解：（）芯片甲为合格品的概率约为 ， 芯片乙为合格品的概率约为 （） （）随机变量 X 的所有取值为 90，45，30，15. ； ； ； 所以，随机变量 X 的分布列为： X 90 45 30 15 P （）设生产的 5 件芯片乙中合格品 n 件，则次品有 5n 件 依题意，得 50n10（5 n） 140，解得 所以 n=4，或 n=5 设“生产 5 件芯片乙所获得的利润不少于 140 元”为事件 A， 则 19如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，A 1A底面 ABCD，四边形 ABCD 为梯

30、形， ADBC，且 AD=2BC，过 A1、C 、D 三点的平面记为 ，BB 1 与 的交点为 Q （）证明：Q 为 BB1 的中点； （）若 AA1=4，CD=2 ，梯形 ABCD 的面积为 6，ADC=60 ，求平面 与底面 ABCD 所成锐二面角的大小 第 18 页（共 26 页） 【考点】二面角的平面角及求法 【分析】 （1）由已知得平面 QBC平面 A1AD，从而 QCA 1D，由此能证明 Q 为 BB1 的 中点 （2）法一：在ADC 中，作 AEDC，垂足为 E，连接 A1E，AEA 1 为平面 与底面 ABCD 所成二面角的平面角，由此求出平面 与底面 ABCD 所成二面角的大

31、小 （3）法二：以 D 为原点，DA，DD 1 分别为 x 轴和 z 轴正方向建立空间直角坐标系，由此 利用向量法能求出平面 与底面 ABCD 所成二面角的大小 【解答】 （1）证明：BQAA 1，BCAD， BCBQ=B，AD AA1=A， 平面 QBC平面 A1AD， 平面 A1CD 与这两个平面的交线相互平行， 即 QCA 1D QBC 与A 1AD 的对应边相互平行， QBCA 1AD， ， Q 为 BB1 的中点 （2）解法一：如图 1 所示，在ADC 中，作 AEDC，垂足为 E，连接 A1E 又 DEAA 1，且 AA1AE=A， 所以 DE平面 AEA1，所以 DEA 1E 所

32、以AEA 1 为平面 与底面 ABCD 所成二面角的平面角 因为 BCAD， AD=2BC，所以 SADC=2SBCA 又因为梯形 ABCD 的面积为 6，DC=2， 所以 SADC=4，AE=4 于是 tanAEA 1= =1，AEA 1= 故平面 与底面 ABCD 所成二面角的大小为 （3）解法二：如图 2 所示， 以 D 为原点，DA，DD 1 分别为 x 轴和 z 轴正方向建立空间直角坐标系 设CDA=， BC=a，则 AD=2a 因为 S 四边形 ABCD= 2sin60=6， 第 19 页（共 26 页） 所以 a= 从而可得 C（1， ，0） ，A 1（ ，0，4） ， 所以 D

33、C=（1， ，0） ， =（ ，0，4） 设平面 A1DC 的法向量 =（x，y，1） ， 由 ， 得 ， 所以 =（ ， ，1） 又因为平面 ABCD 的法向量 =（0，0，1） ， 所以 cos ， = = ， 故平面 与底面 ABCD 所成二面角的大小为 第 20 页（共 26 页） 20已知椭圆 x2+2y2=1，过原点的两条直线 l1 和 l2 分别于椭圆交于 A、B 和 C、D，记得 到的平行四边形 ACBD 的面积为 S （1）设 A（x 1，y 1） ，C（x 2，y 2） ，用 A、C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离，并证明 S=2|x1y2x2y1|； （2）设 l

34、1 与 l2 的斜率之积为 ，求面积 S 的值 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式 【分析】 （1）依题意，直线 l1 的方程为 y= x，利用点到直线间的距离公式可求得点 C 到直线 l1 的距离 d= ，再利用|AB|=2|AO|=2 ，可证得 S=|AB|d=2|x1y2x2y1|；当 l1 与 l2 时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立； （2）方法一：设直线 l1 的斜率为 k，则直线 l2 的斜率为 ，可得直线 l1 与 l2 的方程，联 立方程组 ，可求得 x1、x 2、y 1、y 2，继而可求得答案 方法二：设直线 l1、l 2 的斜率分别为 、 ，则 =

35、，利用 A（x 1，y 1） 、 C（x 2，y 2）在椭圆 x2+2y2=1 上，可求得面积 S 的值 【解答】解：（1）依题意，直线 l1 的方程为 y= x，由点到直线间的距离公式得：点 C 到直线 l1 的距离 d= = ， 第 21 页（共 26 页） 因为|AB|=2|AO |=2 ，所以 S=|AB|d=2|x1y2x2y1|； 当 l1 与 l2 时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立； （2）方法一：设直线 l1 的斜率为 k，则直线 l2 的斜率为 ， 设直线 l1 的方程为 y=kx，联立方程组 ，消去 y 解得 x= ， 根据对称性，设 x1= ，则 y1= ， 同理可

36、得 x2= ，y 2= ，所以 S=2|x1y2x2y1|= 方法二：设直线 l1、l 2 的斜率分别为 、 ，则 = ， 所以 x1x2=2y1y2， =4 =2x1x2y1y2， A（x 1，y 1） 、C（x 2，y 2）在椭圆 x2+2y2=1 上， （ ） （ ）= +4 +2（ + ）=1， 即4x 1x2y1y2+2（ + ）=1， 所以（x 1y2x2y1） 2= ，即|x 1y2x2y1|= ， 所以 S=2|x1y2x2y1|= 21设函数 f （x）=（x+1）lnxa （x 1）在 x=e 处的切线与 y 轴相交于点（0，2e） （1）求 a 的值； （2）函数 f （

37、x）能否在 x=1 处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由 （3）当 1x2 时，试比较 与 大小 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （1）求出函数的导数，求出切线的斜率，运用两点的斜率公式，计算化简即可得 到 a=2； （2）函数 f （x）不能在 x=1 处取得极值求出导数，讨论 x1，0x1 函数的单调性， 即可得到结论； 第 22 页（共 26 页） （3）当 1x2 时， 运用函数的单调性和不等式的性质，即可 得到结论 【解答】解：（1）f（x）=lnx+ +1a， 依题设得 =f（e） ，即 e+1a（e 1）（ 2e）=e ， 解得 a=2； （2）函

38、数 f （x）不能在 x=1 处取得极值 因为 f（x）=lnx+ 1，记 g（x）=ln x+ 1，则 g（x）= 当 x1 时，g（x）0，所以 g（x）在（1，+）是增函数， 所以 g（x）g（1）=0，所以 f（x）0； 当 0x1 时，g（x）0，所以 g（x）在（0，1）是减函数， 所以 g（x）g（1）=0，即有 f（x）0 由得 f （x）在（0，+）上是增函数， 所以 x=1 不是函数 f （x）极值点 （3）当 1x2 时， 证明如下：由（2）得 f （x）在（ 1，+）为增函数， 所以当 x1 时，f（x）f （1）=0 即（x+1）lnx2（x1） ，所以 因为 1x2

39、，所以 02x 1， 1，所以 = ， 即 +得 + = 选做题（请在 22、23、24 三题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分）几何 证明选讲 第 23 页（共 26 页） 22已知 AB 为半圆 O 的直径，AB=4，C 为半圆上一点，过点 C 作半圆的切线 CD，过点 A 作 ADCD 于 D，交半圆于点 E，DE=1 （）求证：AC 平分BAD； （）求 BC 的长 【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定 【分析】 （）连接 OC，因为 OA=OC，所以OAC=OCA，再证明 OCAD，即可证 得 AC 平分BAD （）由（）知 ，从而 BC=CE，利用

40、ABCE 四点共圆，可得B=CED，从而 有 ，故可求 BC 的长 【解答】 （）证明：连接 OC，因为 OA=OC，所以OAC=OCA， 因为 CD 为半圆的切线，所以 OCCD， 又因为 ADCD，所以 OCAD， 所以OCA=CAD，OAC=CAD，所以 AC 平分 BAD （）解：由（）知 ，BC=CE ， 连接 CE，因为 ABCE 四点共圆，B=CED，所以 cosB=cosCED， 所以 ，所以 BC=2 坐标系与参数方程 23在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C（ ， ） ，半径 r= （）求圆 C 的极坐标方程； （）若 0， ） ，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，

41、直线 l 交圆 C 于 A、B 两点，求弦长|AB|的取值范围 【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程 【分析】 （）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用 cos=x，sin=y， 2=x2+y2，进行代换即得圆 C 的极坐标方程 第 24 页（共 26 页） （）设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t 2，则|AB|=|t 1t2|，化为关于 的三角函数求 解 【解答】解：（）C（ ， ）的直角坐标为（1，1） ， 圆 C 的直角坐标方程为（x 1） 2+（y1） 2=3 化为极坐标方程是 22（cos+sin）1=0 （）将 代入圆 C 的直

42、角坐标方程（x 1） 2+（y1） 2=3， 得（1+tcos） 2+（1+tsin） 2=3， 即 t2+2t（cos+sin）1=0 t 1+t2=2（cos+sin） ，t 1t2=1 |AB|=|t 1t2|= =2 0， ） ，20， ） ， 2 |AB|2 即弦长|AB|的取值范围是2 ，2 ） 不等式选讲 24函数 f（x）= （）若 a=5，求函数 f（x）的定义域 A； （）设 B=x|1x2，当实数 a，bB （ RA）时，求证： |1+ | 【考点】不等式的证明；集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法 【分析】 （）根据题意，得|x+1|+|x+2|50；求出 x

43、 的取值范围，即是 f（x）的定义域 A； （）由 A、B 求出 BCRA，即得 a、b 的取值范围，由此证明 成立即 可 【解答】解：（）a=5 时，函数 f（x）= ， |x+1|+|x+2|50； 即|x+1|+|x+2|5， 当 x1 时，x +1+x+25， x1； 第 25 页（共 26 页） 当1 x 2 时， x1+x+25， x； 当 x2 时， x1x25，x 4； 综上，f（x）的定义域是 A=x|x 4 或 x1 （）A= x|x 4 或 x1，B=x| 1x2， RA=（4，1 ） ， BC RA=（ 1，1） ； 又 ， 而 ； 当 a，b（1，1）时， （b 24） （4 a2）0； 4（a+b） 2（4+ab ） 2， 即 第 26 页（共 26 页） 2016 年 7 月 31 日