2015-2016年哈尔滨市松北区九年级上期末数学试卷含答案解析.doc

1、2015-2016 学年黑龙江省哈尔滨市松北区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共计 30 分） 1 的相反数是（ ） A B C 2 D 2下列运算正确的是（ ） Am 4m2=m8 B （m 2） 3=m6 C （m n） 2=m2n2 D3m2m=2 3下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 4如图是一个正六棱柱，它的俯视图是（ ） A B C D 5不等式组 的解集是（ ） A1 x3 B 1x3 Cx 1 Dx3 6已知反比例函数 y= 的图象位于第一、第三象限，则 k 的取值范围是（ ） Ak2 Bk 2 C

2、k 2 Dk2 7如图，ABC 为钝角三角形，将 ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 120得到AB C，连接 BB， 若 ACBB，则CAB的度数为（ ） A45 B60 C70 D90 8在ABC 中， C=90，BC=2，sinA= ，则边 AC 的长是（ ） A B3 C D 9如图，在平行四边形 ABCD 中，EFAB，DE：AE=2：3，BDC 的面积为 25，则四边形 AEFB 的面积为（ ） A25 B9 C21 D16 10如图，O 的直径 AB=12，AM 和 BN 是它的两条切线， DE 与O 相切于点 E，并与 AM，BN 分别相交于 D，C 两点设 AD=x，BC=y

3、 ，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（每小题 3 分，共计 30 分） 11上海世博会的中国馆利用太阳能发电，年发电量可达 2 840 000 度，把 2 840 000 用科学记数法 可表示为 12函数 y= 中自变量 x 的取值范围是 13因式分解：ax 24axy+4ay2= 14方程： =x2 的解为 15某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出 的恰为一男一女的概率是 16某种商品如果以 240 元售出，则可以获得 20%的利润，则该商品的实际进价为 元 17已知扇形的圆心角为 120，半径为 6，则扇形面

4、积是 18如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是线段 AO，BO 的中 点若 AC+BD=24cm，OAB 的周长是 18cm，则 EF 的长为 19ABC 中，AB=AC ，点 D 为 BC 上一点，且 DA=DB，此时ACD 也恰好为等腰三角形，则 BAC= 20已知ABC，AB=AC ，BAC=90，点 F 在 AC 的中点，ADBF，垂足为 E，若 DE=2，则 ADF 的面积为 三、解答题（21、22 题各 7 分，23、24 题各 8 分，25-27 题各 10 分，共计 60 分） 21先化简，再求值： （1 ） ，其中 x= sin4

5、5+tan60 22图 1、图 2 分别是 88 的网格，网格中每个小正方形的边长均为 1，线段 AB 的端点在小正方 形的顶点上，请在图 1、图 2 中各画一个图形，分别满足以下要求： （1）在图 1 中画一个以线段 AB 为一边的正方形，并求出此正方形的面积；（所画正方形各顶点 必须在小正方形的顶点上） （2）在图 2 中画一个以线段 AB 为一边的等腰三角形，所画等腰三角形各顶点必须在小正方形的 顶点上，且所画等腰三角形的面积为 23为迎接 2015 年中考，某中学对全校九年级学生进行了一次数学期末模拟考试，并随机抽取了 部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图

6、，请你根据统计图中提 供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，样本中表示成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整； （2）若该中学九年级共有 l 000 人参加了这次数学考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成 绩可以达到优秀？ 24如图，已知点 A、C 在 EF 上，ADBC ，DE BF，AE=CF （1）求证：四边形 ABCD 是平行四边形； （2）直接写出图中所有相等的线段（AE=CF 除外） 25学校为丰富学生的业余生活，为学生购买篮球和排球若买 10 个篮球和 8 个排球需 1600 元； 若买 15 个篮球和 20 个排球需 3200 元 （1）每个篮球和排球的售价分

7、别多少元？ （2）若学校打算购买篮球和排球共 50 个，购买的费用不少于 4685 元，则至多购买篮球多少个？ 26在O 中，弦 ACBD 于点 E，AC=BD （1）如图 1，求证：AB=CD； （2）如图 2，作 OFCD 于点 F，求证：AB=2OF ； （3）如图 3，若 AD=4，BC=8，连接 OE，求 OE 的长 27如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点 A（1，0）在 x 轴上，与 y 轴交于点 B，点 C（1，4）为抛物线上一点， CDx 轴交抛物线于点 D （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 为抛物线对称轴左侧图象上一动点，设点 P 的横坐标为 t， PBC 的面积为

8、 S，求 S 与 t 的函数关系式； （3）在（2）的条件下，作直线 AEx 轴，交线段 CD 于点 E，连接 AP、PE，当APE=90 时，求 tanPCE 的值 2015-2016 学年黑龙江省哈尔滨市松北区九年级（上）期末数 学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共计 30 分） 1 的相反数是（ ） A B C 2 D 【考点】实数的性质 【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”，据此解答 即可 【解答】解：根据相反数的含义，可得 的相反数是 故选：A 【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明

9、确：相反数 是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“” 2下列运算正确的是（ ） Am 4m2=m8 B （m 2） 3=m6 C （m n） 2=m2n2 D3m2m=2 【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 【分析】直接利用同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，合并同类项逐一计算得出答案比较 得出结论即可 【解答】解：A、m 4m2=m6，计算错误； B、 （m 2） 3=m6，计算正确； C、 （mn） 2=m22mn+n2，计算错误； D、3m2m=m，计算错 误 故选：B 【点评】此题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，完

10、全平方公式，合并同类项等知识，掌握运算方法 是解答的关键 3下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【考点】中心对称图形；轴对称图形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：图形（1）既是轴对称图形，又是中心对称图形符合题意； 图形（2）是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 图形（3）是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 图形（4）不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意 共 1 个既是轴对称图形又是中心对称图形 故选：D 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴

11、，图 形沿对称轴折叠后可重合；中心对称 图形关键是要寻找对称中心，图形旋转 180后与原图重合 4如图是一个正六棱柱，它的俯视图是（ ） A B C D 【考点】简单几何体的三视图 【专题】几何图形问题 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示 【解答】解：从上面看可得到一个正六边形 故选 C 【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图 5不等式组 的解集是（ ） A1 x3 B 1x3 Cx 1 Dx3 【考点】解一元一次不等式组 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集 【解答】解： ， 解得：x3， 解得：x1， 则

12、不等式组的解集是：1x 3 故选 A 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小 小找不到”的法则是解答此题的关键 6已知反比例函数 y= 的图象位于第一、第三象限，则 k 的取值范围是（ ） Ak2 Bk 2 Ck 2 Dk2 【考点】反比例函数的性质 【专题】函数思想 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，由 k20 即可解得答案 【解答】解：y= 的图象位于第一、第三象限， k20 ， k2 故选：A 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质：、当 k0 时，图象分别位于第一、三象限；当 k0 时，图象分别位于第二、四象限、当 k0 时，在同

13、一个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k0 时，在同一个象限，y 随 x 的增大而增大 7如图，ABC 为钝角三角形，将 ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 120得到AB C，连接 BB， 若 ACBB，则CAB的度数为（ ） A45 B60 C70 D90 【考点】旋 转的性质 【专题】计算题 【分析】先根据旋转的性质得到BAB =CAC=120，AB=AB ，根据等腰三角形的性质易得 ABB=30，再根据平行线的性质由 ACBB得CAB= ABB=30，然后利用 CAB=CACCAB进行计算 【解答】解：将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 l20得到ABC ， BAB=CAC=1

14、20，AB=AB， ABB= （180 120）=30， ACBB， CAB=ABB=30， CAB=CACCAB=12030=90 故选 D 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与 旋转中心的连线段的夹角等于旋转角 8在ABC 中， C=90，BC=2，sinA= ，则边 AC 的长是（ ） A B3 C D 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】先根据 BC=2，sinA= 求出 AB 的长度，再利用勾股定理即可求解 【解答】解：sinA= = ，BC=2， AB=3 AC= = = 故选 A 【点评】本题利用角的正弦的定义和勾股定理 9如图，

15、在平行四边形 ABCD 中，EFAB，DE：AE=2：3，BDC 的面积为 25，则四边形 AEFB 的面积为（ ） A25 B9 C21 D16 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【分析】根据平行四边形的性质ABD BDC，求得ABD 的面积，利用三角形相似的性质即可 求得四边形 AEFB 的面积 【解答】解：因为 EFAB， DE：AE=2：3， 所以 ， 所以 SDEF：S ABD=4：25， 又因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以ABDBDC ，BDC 的面积为 25，所以ABD 的面积为 25， 所以DEF 的面积为 4， 则四边形 AEFB 的面积为 21 故

16、答案为 C 【点评】本题考查了相似三角形的性质，理解相似三角形的面积比与相似比的关系式解题的关键 10如图，O 的直径 AB=12，AM 和 BN 是它的两条切线， DE 与O 相切于点 E，并与 AM，BN 分别相交于 D，C 两点设 AD=x，BC=y ，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 【考点】动点问题的函数图象 【分析】根据切线长定理得到 BF=AD=x，CE=CB=y，则 DC=DE+CE=x+y，在直角DFC 中根据 勾股定理，就可以求出 y 与 x 的关系 【解答】解：作 DFBN 交 BC 于 F； AM、BN 与O 切于点定 A、B ， ABAM，AB

17、BN 又 DFBN， BAD=ABC=BFD=90， 四边形 ABFD 是矩形， BF=AD=x，DF=AB=12， BC=y， FC=BCBF=yx； DE 切O 于 E， DE=DA=x CE=CB=y， 则 DC=DE+CE=x+y， 在 RtDFC 中， 由勾股定理得：（x+y） 2=（yx） 2+122， 整理为 y= ， y 与 x 的函数关系式是 y= ， y 是 x 的反比例函数 故选 A 【点评】此题考查了动点问题的函数图象，切线的性质、切线长定理、矩形的判定与性质以及勾股 定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用 二、填空题（每小题 3

18、分，共计 30 分） 11上海世博会的中国馆利用太阳能发电，年发电量可达 2 840 000 度，把 2 840 0 00 用科学记数法 可表示为 2.84 106 【考点】科学记数法表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看 把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 2 840 000 用科学记数法表示为：2.8410 6 故答案为：2.84 106 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形

19、式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 12函数 y= 中自变量 x 的取值范围是 x2 且 x1 【考点】函数自变量的取值范围 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，x+20 且 x10， 解得 x2 且 x1 故答案为：x2 且 x1 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 13因式分解：ax 24axy+4a

20、y2= a（x2y） 2 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】首先提公因式 a，然后利用完全平方公式即可分解 【解答】解：原式=a（x 24xy+4y2） =a（x2y） 2 故答案是：a（x2y） 2 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解， 注意分解要彻底 14方程： =x2 的解为 x=1 【考点】解一元一次方程 【专题】计算题 【分析】方程去分母，去括号，移项合并，将 x 系数化为 1，即可求出解 【解答】解：去分母得：x3=2x4， 解得：x=1， 故答案为：x=1 【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，

21、移项合并，将未知数系数化为 1，求出解 15某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出 的恰为一男一女的概率是 【考点】列表法与树状图法 【分析】此题可以借助于列表法求解，一共有 20 种情况记为 m，其中选出的恰为一男一女的有 12 种情况记为 n，根据概率公式可知选出的恰为一男一女的概率是 = 【解答】解：列表得： 男 1，女 2 男 2，女 2 男 3，女 2 女 1，女 2 男 1，女 1 男 2，女 1 男 3，女 1 女 2，女 1 男 1，男 3 男 2，男 3 女 1，男 3 女 2，男 3 男 1，男 2 男 3，男 2 女 1，男 2

22、 女 2，男 2 男 2，男 3 男 3，男 1 女 1，男 1 女 2，男 1 一共有 20 种情况，选出的恰为一男一女的有 12 种情况； 选出的恰为一男一女的概率是 = 【点评】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点 为：概率=所求情况数与总情况数之比 16某种商品如果以 240 元售出，则可以获得 20%的利润，则该商品的实际进价为 200 元 【考点】一元一次方程的应用 【分析】设该商品的进价是 x 元，根据进价+利润=售价列出方程，解方程即可 【解答】解：设该商品的进价是 x 元，根据题意得 x+20%x=240， 解得 x=200 即该商品

23、的进价是 200 元 故答案为：200 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找 出合适的等量关系列出方程，再求解 17已知扇形的圆心角为 120，半径为 6，则扇形面积是 12 【考点】扇形面积的计算 【专题】计算题 【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可 【解答】解：由题意得，n=120，R=6， 故可得扇形的面积 S= = =12 故答案为 12 【点评】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式，难度 一般 18如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是线段 AO，BO

24、的中 点若 AC+BD=24cm，OAB 的周长是 18cm，则 EF 的长为 3cm 【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质 【分析】根据 AC+BD=24 厘米，可得出出 OA+OB=12cm，继而求出 AB，判断 EF 是OAB 的中 位线即可得出 EF 的长度 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， OA=OC，OB=OD ， 又 AC+BD=24 厘米， OA+OB=12cm， OAB 的周长是 18 厘米， AB=6cm， 点 E，F 分别是线段 AO，BO 的中点， EF 是OAB 的中位线， EF= AB=3cm 故答案为：3cm 【点评】本题考查了三角形的中位线定理

25、，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三 角形中位线的判定定理及性质 19ABC 中，AB=AC ，点 D 为 BC 上一点，且 DA=DB，此时ACD 也恰好为等腰三角形，则 BAC= 90或 108 【考点】等腰三角形的性质 【专题】分类讨论 【分析】根据等腰三角形的性质得到B=C，BAD=B，由 ACD 也恰好为等腰三角形，如图 1，当 AD=CD，于是得到CAD=C，求得BAC= 180=90，如图 2，当 AC=CD，根据等腰三 角形的性质得到CAD=ADC，由三角形的外角的性质得到ADC= B+BAD=2B，根据三角形 的内角和列方程得到C+2C+2C=180，求得 C=

26、36，即可得到结论 【解答】解：AB=AC， B=C， AD=BD， BAD=B， ACD 也恰好为等腰三角形， 如图 1，当 AD=CD， CAD=C， BAC= 180=90， 如图 2，当 AC=CD， CAD=ADC， ADC=B+BAD=2B， C+BAD+ADC=180， C+2C+2C=180， C=36， B AD=36， CAD=72， BAC=108 故答案为：90或 108 【点评】本题考查了等腰三角形的性质关键是根据等边对等角及角的倍数关系，列方程解题 20已知ABC，AB=AC ，BAC=90，点 F 在 AC 的中点，ADBF，垂足为 E，若 DE=2，则 ADF

27、的面积为 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 【分析】过点 C 作 CGAC 交 AD 的延长线于 G，求出ABF= CAG，然后利用“角边角” 证明 ABF 和 CAF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AF=CG，全等三角形对应角相等可得 G=AFB，从而得到CFD= G，再求出DCF= DCG=45，然后利用“角角边” 证明 CDF 和 CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得 CG=CF，DG=DF，然后等量代换得到 AF=CF，设 EF=x，然后表示出 AE、BE、 BF，再表示出 DF，然后利用勾股定理列出方程求出 x，从而得到 AD、EF，再利用三角形的面积公式列

28、式计算即可得解 【解答】解：如图，过点 C 作 CGAC 交 AD 的延长线于 G， BAC=90， CAG+BAE=90， BFAD， ABF+BAE=90， ABF=CAG， 在ABF 和 CAG 中， ， ABFCAG（ASA） ， AF=CG，G=AFB ， AFB=CFD， CFD=G， AB=AC，BAC=90，CGAC， DCF=DCG=45， 在CDF 和 CDG 中， ， CDFCDG（AAS ） ， CG=CF，DG=DF， AF=CF= AC， 设 EF=x，则 AE=2x，BE=2AE=4x， AG=BF=BE+EF=4x+x=5x， DE=2， DF=DG=5x2x2

29、=3x2， 在 RtDEF 中， DE2+EF2=DF2， 22+x2=（3x 2） 2， 解得 x= ， 所以，AE=2 +2=5， ADF 的面积= 5 = 故答案为： 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，作辅助线构造 出全等三角形并二次证明三角形全等，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键 三、解答题（21、22 题各 7 分，23、24 题各 8 分，25-27 题各 10 分，共计 60 分） 21先化简，再求值： （1 ） ，其中 x= sin45+tan60 【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行

30、化简，再求出 x 的值代入进行计算即可 【解答】解：原式= = = ， 当 x= + =1+ 时，原式= = 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 22图 1、图 2 分别是 88 的网格，网格中每个小正方形的边长均为 1，线段 AB 的端点在小正方 形的顶点上，请在图 1、图 2 中各画一个图形，分别满足以下要求： （1）在图 1 中画一个以线段 AB 为一边的正方形，并求出此正方形的面积；（所画正方形各顶点 必须在小正方形的顶点上） （2）在图 2 中画一个以线段 AB 为一边的等腰三角形，所画等腰三角形各顶点必须在小正方形的 顶点上，且所画等腰三角形

31、的面积为 【考点】作图应用与设计作图 【分析】 （1）根据正方形的性质和 AB 的长度作图即可； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的面积为 作图即可 【解答】解：（1）如图所示： 由勾股定理可知 AB= =5 正方形的面积=AB 2=25 （2）如图所示：ABC 即为所求 SABC=SADECSBCESABD， SABC= =100.56 =3.5 【点评】本题主要考查的是作图与应用设计作图，根据 AB=5， ABC 的面积=3.5 确定出点 C 的位 置是解题的关键 23为迎接 2015 年中考，某中学对全校九年级学生进行了一次数学期末模拟考试，并随机抽取了 部分学生的测试成绩作为样本进行

32、分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图中提 供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，样本中表示成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整； （2）若该中学九年级共有 l 000 人参加了这次数学考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成 绩可以达到优秀？ 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 【专题】计算题 【分析】 （1）先根据成绩类别为“差”的人数和所占的百分比计算出样本容量为 50，然后用成绩类别 为“中 ”的人数所占百分比乘以 50 即可，再将条形统计图补充完整； （2）先计算出成绩类别为“中”的人数所占的百分比，然后乘以 2000 即可 【解答】解：（

33、1）样本容量为 816%=50， 所以成绩类别为“中” 的人数等于 5020%=10（人） ； 如图； （2）1000 100%=200， 所以估计该校九年级共有 200 名学生的数学成绩可以达到优秀 【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不 同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以 很容易看出数据的大小，便于比 较也考查了用样本估计总体和扇形统计图 24如图，已知点 A、C 在 EF 上，ADBC ，DE BF，AE=CF （1）求证：四边形 ABCD 是平行四边形； （2）直接写出图中所有相等的线段（AE=CF 除外） 【考点】

34、平行四边形的判定与性质 【分析】 （1）证ADECBF，得 AD=CB，从而得出四边形 ABCD 是平行四边形； （2）由全等三角形的性质和平行四边形的性质容易得出结果 【解答】 （1）证明：ADBC，DEBF， E=F，DAC=BCA， DAE=BCF， 在ADE 和 CBF 中， ， ADECBF（ASA） ， AD=CB， 四边形 ABCD 是平行四边形； （2）解：AD=BC、EC=AF、 ED=BF、AB=DC ；理由如下： ADECBF， AD=BC，ED=BF， AE=CF， EC=AF， 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=DC 【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角

35、形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质， 并能进行推理论证是解决问题的关键 25学校为丰富学生的业余生活，为学生购买篮球和排球若买 10 个篮球和 8 个排球需 1600 元； 若买 15 个篮球和 20 个排球需 320 0 元 （1）每个篮球和排球的售价分别多少元？ （2）若学校打算购买篮球和排球共 50 个，购买的费用不少于 4685 元，则至多购买篮球多少个？ 【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用 【分析】 （1）设每个蓝球售价为 x 元，每个排球的售价为 y 元，根据“买 10 个篮球和 8 个排球需 1600 元；若买 15 个篮球和 20 个排球需 3200 元”

36、列出方程组并解答 （2）设购买篮球 a 个，则购买排球（50 a）个，根据“购买的费用不少于 4685 元” 解答 【解答】解：（1）设每个蓝球售价为 x 元，每个排球的售价为 y 元， 则 ， 解，得 ， 答：篮球每个 80 元，排球每个 100 元； （2）设购买篮球 a 个，则购买排球（50 a）个， 则 80a+100（50a ）4685， 解得 a15 答：篮球至多买 15 个 【点评】本题考查了二元一次方程组的应 用和一元一次不等式的应用解决问题的关键是读懂题意， 找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系 26在O 中，弦 ACBD 于点 E，AC=BD （1）如图 1

37、，求证：AB=CD； （2）如图 2，作 OFCD 于点 F，求证：AB=2OF ； （3）如图 3，若 AD=4，BC=8，连接 OE，求 OE 的长 【考点】圆的综合题 【分析】 （1）由 AC=BD，得到 ，于是得到 = ，即可得到结论； （2）如图 2，过 O 作 OFCD 于 F，连接 CO 并延长交O 于 G，连接 BG，DG，根据圆周角定理 得到CBG= CDG=90， CGB=CDB，根据余角的性质得到DCE= BCG，得到 ，求得 ，得到 AB=DG，推出 OFDG，根据三角形的中位线的性质得到 OF= DG，等量代换得到 结论； （3）如图 3，过 O 作 OMAC 于 M

38、，ONB D 于 N，根据垂径定理得到 BN=DN，AM=CM，由 = ，得到 ADBC，根据平行线的性质得到CAD=ACB，由圆周角定理得到CAD= DBC， 等量代换得到ACB= DBC，得到 BCE 是等腰直角三角形，同理 ADE 是等腰直角三角形，根据 勾股定理即可得到结论 【解答】解：（1）AC=BD， ， = ， 即： = ， AB=CD； （2）如图 2，过 O 作 OFCD 于 F，连接 CO 并延长交O 于 G，连接 BG，DG， CBG=CDG=90，CGB=CDB， ACBD， CDE+DCE=BGC+BCG=90， DCE=BCG， ， ， AB=DG， OFCD，DG

39、CD ， OFDG， OC=OG， CF=DF， OF= DG， OF= AB； （3）如图 3，过 O 作 OMAC 于 M，ONBD 于 N， BN=DN，AM=CM， = ， ADBC， CAD=ACB， CAD=DBC， ACB=DBC， ACBD， BCE 是等腰直角三角形， 同理ADE 是等腰直角三角形， AD=4，BC=8， AE=DE=2 ，BE=CE=4 ， BD=AC=6 ， BN=DN=AM=CM=3 ， NE=EM= ， OE=2 【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形的中位线的性质，等腰直角三角形的判定和性 质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键 27 如

40、图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点 A（1，0）在 x 轴上，与 y 轴交于点 B，点 C（1，4）为抛物线上一点， CDx 轴交抛物线于点 D （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 为抛物线对称轴左侧图象上一动点，设点 P 的横坐标为 t， PBC 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式； （3）在（2）的条件下，作直线 AEx 轴，交线段 CD 于点 E，连接 AP、PE，当APE=90 时，求 tanPCE 的值 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）根据题意设为顶点式代入点 C 即可求解； （2）连接 PC，PB ，BC ，过点 P 作平行于 x 轴的直线交 BC 于点 Q，

41、运用点 P 的横坐标为 t，表示 纵坐标 y=t2+2t+1，进一步表示线段 PQ 的长度，利用PBC 的面积 S=SPCQ+SPQB 即可求解； （3）过点 P 作平行于 y 轴的直线，交 x 轴于点 M，交 CD 于点 H，构造相似三角形HPE MAP，运用对应边的比相等 ，建立等量关系 = ，进一步求解即可 【解答】解：（1）由抛物线的顶点 A（1，0） ，设抛物线为：y=a（x+1） 2， 把点 C（1，4）的坐标代入得： 4=a（1+1） 2， 解得：a=1， y=（x+1） 2， 抛物线的解析式为：y=x 2+2x+1 （2）如图 1，连接 PC，PB ，BC ，过点 P 作平行于

42、 x 轴的直线交 BC 于点 Q， y=x2+2x+1，当 x=0，y=1 ，点 B（0，1） ， 设直线 BC 解析式为：y=mx+n， 把点 B（0，1） ，和点 C（1，4）代入得： 解得： ， y=3x+1， 设点 P 的横坐标为 t，则纵坐标为：t 2+2t+1， 把 y=t2+2t+1 代入 y=3x+1， 得：x= ， PQ= t= ， PBC 的面积为 S=SPCQ+SPQB= PQ4（t 2+2t+1）+（t 2+2t+1）1= PQ（41） = 3= t2 t， S= t2 t （3）如图 2，过点 P 作平行于 y 轴的直线，交 x 轴于点 M，交 CD 于点 H， CD

43、x轴， PHCD，PMx 轴， PHE=AMP=90， APE=90， HPE+APM=90， HPE+PEH=90， APM=PEH， HPEMAP， ， 由（2）点 P（t ，t 2+2t+1） ， AM=1t，PM=t 2+2t+1， CDx 轴，点 C（1，4） ， PH=4（t 2+2t+1）=3 （t 2+2t） ， HE=AM=1t， = ， 解得：t=1 ，或 t=1+ （舍去） ， PH=3（t 2+2t）=1， CH=1（1 ） =2+ ， 在直角三角形 PHE 中：tanPCE= = =2 【点评】此题考查了待定系数法求解析式，灵活运用顶点式是求解析式的关键；在解决形积问题时， 会运用坐标表示线段，会运用已知建立数量关系是解题的关键