1、高数中求极限的 16 种方法好东西 假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟， 活不下去，没有皮，只能枯萎,可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来 的，所以也具有函数的性质。函数的性 质表现在各个方面 首先对极限的总结如下: 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限还有个数列极限， （区别在于数列极限时发散的，是一般极限 的一种） 2 解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！你还能有补充 么？） 1 等价无穷小的转化， （只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不
2、能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e 的 X 次方-1 或者（1+x）的 a 次方-1 等价于 Ax 等等。全部熟记（x 趋近无穷的 时候还原成无穷小） 2 LHopital 法 则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！ 必须是 X 趋近而不是 N 趋近！（所以面对数列极限时候先要转化 成求 x 趋近情况下的极限,当然 n 趋近是 x 趋近的一种情况而已，是必要条件（还 有一点数列极限的 n 当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！） 必须是 函数的导数要存在！（假如告诉你 g（x）, 没告诉你是否 可导， 直接用无疑于找死！必须是 0 比 0 ,无
3、穷大比无穷大！ 当然还要注意分母不能为 0 LHopital 法则分为 3 中情况 1, 0 比 0 ,无穷比无穷时候直接用 2, 0 乘以无穷,无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都 写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成 1 中的形式了 3, 0 的 0 次方 1 的无穷次方无穷的 0 次方对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写 成 0 与无穷的形式了,（这就是为什么只有 3 种形式的原因，LNx 两端都趋近于无 穷时候他的幂移下来趋近于 0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX 趋近 0 ) 3, 泰勒公式
4、 (含有 e 的 x 次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的 时候要特变注 意！)E 的 x 展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x 展开 对题目简化有很好帮助 4 面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则 最大项除分子分母！ 看上去复杂处理很简单！ 5,无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与 其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面 对非常复杂的函数可能只需要知 道它的范围结果就出来了！ 6 夹逼定理（主要对付的是数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7,等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q 绝对值符号要小于
5、 1） 8 各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限） 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9 求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道 Xn 与 Xn+1 的关系，已知 Xn 的极限存在的情况下，xn 的极限与 xn+1 的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10, 2 个重要极限的应用。 11 ,还有个方法，非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷 的速度是不一样的！x 的 x 次方快于 x！快于指 数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）! 当 x 趋近无 穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了 12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其 中 13,假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的 14,还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从 0 到 1 的形式. 15 单调有界的性质对付递推数列时候使用证明单调性！ 16 直接使用求导数的定义来求极限,(一般都是 x 趋近于 0 时候，在分子上 f（x 加 减麽个值）加减 f（x）的形式，看见了有特别注意）（当题目中告诉你 F(0)=0 时候 f（0）导数=0 的时候就是暗示你一定要用导数定义！ ）
