集合间的基本运算.doc

1、 集合间的基本运算 一、知识概述 1、交集的定义 一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合，叫做 A，B 的交集 记作 A B（读作A 交 B），即 A B=x|x A，且 x B 2、并集的定义 一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A，B 的 并集 记作：A B（读作A 并 B），即 A B =x|x A，或 x B 3、补集：一般地，设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集（即 ），由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集），记 作 ，即 = 性质： . 全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合

2、的全部元素，这个集合 就可以看作一个全集，全集通常用 S，U 表示 4、运算性质： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； 二、例题讲解 例 1、设集合 A=4，2m1，m 2，B=9，m5，1m，又 A B=9，求实 数 m 的值 解： A B=9，2m1=9 或 m2=9，解得 m=5 或 m=3 或 m=3 若 m=5，则 A=4，9，25，B=9，0，4与 A B=9矛盾； 若 m=3，则 B 中元素 m5=1m=2，与 B 中元素互异矛盾； 若 m=3，则 A=4，7，9，B=9，8，4满足 A B=9m=3 例 2、设 A=x|x2axb=0，B=x

3、|x 2cx15=0，又 A B=3，5， AB=3，求实数 a，b，c 的值 解： AB=3，3B，3 23c15=0， c=8，由方程 x28x15=0 解得 x=3 或 x=5 B=3，5由 A （A B）=3，5知，3A，5 A（否则 5AB，与 AB=3矛盾）. 故必有 A=3，方程 x2axb=0 有两相同的根 3 由韦达定理得 33=a，3 3=b，即 a=6，b=9，c=8 例 3、已知 A=x|x33x 22x0，B=x|x 2axb0，且 AB=x|0x2，ABxx2，求 a、b 的值 解： A=x|2x1 或 x0， 设 B=x 1，x 2，由 AB=（0，2知 x22，

4、 且1x 10， 由 AB=（2，）知2x 11. 由知 x11，x 22， a（x 1x 2）1，bx 1x22 例 4、已知 A=x|x2axa 219=0，B=x|x 25x8=2，C=x|x 22x8=0. 若 AB，且 AC= ，求 a 的值 解： B=x|(x3)(x2)=0=3，2， C=x|(x4)(x2)=0=4，2， 又 AB， AB 又AC= ， 可知4 A，2 A，3A 由 93aa 219=0， 解得 a=5 或 a=2 当 a=5 时，A=2，3，此时 AC=2 ，矛盾，a5； 当 a=2 时，A=5，3，此时 AC= ，AB=3 ，符合条件 综上知 a=2 例 5

5、、已知全集 U=不大于 20 的质数，M，N 是 U 的两个子集，且满足 M（ ）=3，5，（ ）N=7，19，（ ）（ ）=2，17，求 M、N 解： 用图示法表示集合 U，M，N（如图），将符合条件的元素依次填入图中相 应的区域内，由图可知： M=3，5，11，13，N=7，11，13，19. 点评： 本题用填图的方法使问题轻松地解决，但要注意的是在填图时，应从已 知区域填起，从已知区域推测未知区域的元素 特别提示：下列四个区域： 对应的集合分别是： ； ； ； 一、选择题 1、下列命题中，正确的是（ ） A若 U=R，A U， ； B若 U 为全集， 表示空集，则 =； C若 A=1，2

6、，则2 A； D若 A=1，2，3，B=x|x A，则 AB 2、设数集 且 M、N 都是集合 x|0x1的子集，如果把 ba 叫做集合x|axb的“长度”，那么集 合 MN 的“长度”的最小值是（ ） A B C D 3、设 M、N 是两个非空集合，定义 M 与 N 的差集为 MN=x|xM 且 x N， 则 M（MN）等于（ ） AN BMN CMN DM 4、已知全集 ，集合 M 和 的关 系的韦恩（Venn）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ） A3 个 B2 个 C1 个 D无穷个 1、 =U，2A，2单独看是一个集合，但它又 是 A 中的一个元素 2、集合 M 的“长

7、度”为 ，集合 N 的“长度”为 ，而集合 x|0x1的“长度”为 1，故 MN 的“长度”最小值为 3、MN=x|xM 且 x N是指图（1）中的阴影部分 同样 M（MN）是指图（2）中的阴影部分 4、图形中的阴影部分表示的是集合 ，由 解得集 合 ，而 N 是正奇数的集合， ，故选 B 二、填空题 5、已知集合 A=x|x23x2=0，集合 B=x|ax2=0（其中 a 为实数），且 AB=A，则集合 C=a|a 使得 AB=A=_ 5、0，1，2 解析：A=1，2，由 AB=A，得 B A 1A，即得 a=2；或 2A，即得 a=1；或 B=，此时 a=0. C=0，1，2 6、非空集合

8、 S 1，2，3，4，5，且若 aS，则 6aS，这样的 S 共有 _个 6、6 解析：S=1，5或2，4或3，或1，3，5，或2，4，3，或 1，5，2，4 三、解答题 7、设集合 . （1）若 ，求实数 a 的值 （2）若 ，求实数 a 的值 7、解：（1）9 ，9 A. 则 a2=9 或 . 解得 a=3 或 5. 当 时， （舍）； 当 时， （符合）； 当 时， （符合）. 综上知 或 . （2）由（1）知 . 8、已知全集 UR， 0 ， 或 x ，若 ，求实数 的取值范围 8、解：依题设可知全集 且 0 5 ， ，由题设 可知. 分类如下：若 ，则 m12m1 m2. 若 ，则

9、m12m1，且 ，解得 2m3. 由可得：m3. 实数 m 的取值范围为m|m3. 9、已知全集 U=|a1|，(a2)(a1)，4，6 （1）若 求实数 a 的值； （2）若 求实数 a 的值 9、解：（1） 且 B U， |a1|=0，且(a2)(a1)=1，或|a1|=1，且(a2)(a1) =0； 第一种情况显然不成立，在第二种情况中由|a1|=1 得 a=0 或 a=2，a=2. （2）依题意知|a1|=3，或(a2)(a1)=3，若|a1|=3，则 a=4，或 a=2； 若(a2)(a1)=3，则 经检验知 a=4 时，(42)(41)=6，与元素的互异性矛盾 a=2 或 10、设

10、集合 A = | ，B = | ， ，若 A B=B，求实数 的值 10、解：先化简集合 A= . 由 A B=B，则 B A，可知集合 B 可 为 ，或为0，或4，或 (i)若 B= ，则 ，解得 ； (ii)若 B，代入得 =0 =1 或 = ， 当 =1 时，B=A，符合题意； 当 = 时，B=0 A，也符合题意 (iii)若4 B，代入得 =7 或 =1， 当 =1 时，已经讨论，符合题意； 当 =7 时，B=12，4，不符合题意 综上可得， =1 或 11、已知集合 A=x|x24mx2m6=0，B=x|x0，若 AB ，求实数 m 的取值范围 11、解：设全集 若方程 x24mx2

11、m6=0 的两根 x1，x 2均非负，则 解得 m| 关于 U 的补集是m|m1，实数 m 的取值范围是 m|m1 1、（全国 I，1）设集合 A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集 U=AB，则集合 中的元素共有（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 答案：A 解析： 2、（福建，2）已知全集 U=R，集合 A=x|x22x0，则 等于（ ） Ax|0x2 Bx|00，x(x2)0，得 x2， A=x|x2， . 3、（山东，1）集合 A=0，2，a，B=1，a 2若 AB=0，1，2，4，16，则 a 的值 为（ ） A0 B1 C2 D4 答案：D 解析：AB=0，1，

12、2，a，a 2，又 AB=0，1，2，4，16，a，a 2=4，16， a=4，故选 D 集合中的交、并、补等运算，可以借助图形进行思考。图形不仅可以使各集合之 间的相互关系直观明了，同时也便于将各元素的归属确定下来，使抽象的集合运算能 建立在直观的形象思维基础上.因此图形既是迅速理解题意的工具，又是正确解题的手 段. 例 1、某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为 49，电视机拥有率为 85，洗衣机拥有率为 44，至少拥有上述三种电器中两种以上的占 63，三种电器 齐全的为 25，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为（ ） A10 B12 C15 D27 分析： 这是一个小型应用题

13、把各种人群看做集合，本题就是已知全集元素个数，求其 某个子集的元素个数，可借助 Venn 图解法 解：不妨设调查了 100 户农户， U被调查的 100 户农户， A100 户中拥有电冰箱的农户， B100 户中拥有电视机的农户， C100 户中拥有洗衣机的农户， 由图知， 的元素个数为 498544632590 则 的元素个数为 10090=10 答案：A 一般此类题利用 Venn 图直观手段，使集合中元素的个数，以及集合间的关系更直 接的显示，进而根据图逐一把文字陈述的语句“翻译”为数学符号语言，通过解方程 和限制条件的运用解决问题。 变式延伸某车间有 120 人，其中乘电车上班的 84 人，乘汽车上班的 32 人，两车都 乘的 18 人，求： (1)只乘电车的人数；(2)不乘电车的人数； (3)乘车的人数；(4)不乘车的人数； (5)只乘一种车的人数 解： 设只乘电车的人数为 人，不乘电车的人数为 人，乘车的人数为 人，不乘车 的人数为 人，只乘一种车的人数为 人，如图所示： (1) 66 人，(2) 36 人，(3) 98 人，（4） 人，（5） 人.