1、第二讲数数与计数(一) 数学需要观察大数学家欧拉就特别强调观察对于数学发现的重要作用，认为“观察 一件极为重要的事” 本讲数数与计数的学习有助于培养同学们的观察信皂力在这里请大 家 记住，观察不只是用眼睛看，还要用脑子想，要充分发挥想像力 例 1 数一数，图 21 和图 22 中各有多少黑方块和白方块? 解：仔细观察图 21，可发现黑方块和白方块同样多因为每一行中有 4 个黑方块和 个白方块，共有 8 行，所以： 黑方块是：4832(个) 白方块是：4832(个) 再仔细观察图 22，从上往下看： 第一行白方块 5 个，黑方块 4 个； ， 第二行 白方块 4 个，黑方块 5 个； 第三、五、
2、七行同第一行， 第四、六、八行同第二行； 但最后的第九行是白方块 5 个，黑方块 4 个可见白方块总数比黑方块总数多 1 个 白方块总数：5+4+5+4+5+4+5+4541(个) 黑方块总数：4+5+4-5+4+5+45+440(个) 再一种方法是： 每一行的白方块和黑方块共 9 个 共有 9 行，所以，白、黑方块的总数是：9981(个) 由于白方块比黑方块多 1 个，所以白方块是 41 个，黑方块是 40 个 例 2 图 23 所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，中间有个“雪花”状的墙洞，问 需要几块正六边形的砖(图 24)才能把它补好? 解：仔细观察，并发挥想象力可得出答案，用七块正六边形
3、的砖可把这个墙洞补 好如果动手画一画，就会看得更清楚了 例 3 将 8 个小立方块组成如图 25 所示的“丁”字型，再将表面都涂成红色，然后 就把小立方块分开，问： (1)3 面被涂成红色的小立方块有多少个? (2)4 面被涂成红色的小立方块有多少个? (3)5 面被涂成红色的小立方块有多少个? 解：如图 26 所示，看着图，想像涂色情况当把整个表面都 涂成红色后，只有那些“粘在一起”的面(又叫互相接触的面)，没 有被涂色每个小立方体都有 6 个面，减去没涂色的面数，就得涂 色的面数每个小立方体涂色面数都写在了它的上面，参看图 26 所示 (1)3 面涂色的小立方体共有 1 个； (2)4 面
4、涂色的小立方体共有 4 个； (3)5 面涂色的小立方体共有 3 个 例 4 如图 27 所示，一个大长方体的表面上都涂上红伍然后切成 1 8 个小寺方体 (切线如图中虚线所示)在这些切成的小立方体中，问： (1)1 面涂成红色的有几个? (2)2 面涂成红色的有几个? (3)3 面涂成红色的有几个? 解：仔细观察图形，并发挥想像力，可知： (1)上下两层中间的 2 块只有一面涂色； (2)每层四边中间的 l 块有两面涂色，上下两层共 8 块； (3)每层四角的 4 块有三面涂色，上下两层共有 8 块最 后检验一下小立体总块数： 2+8+818(个) 习 题 二 1如图 28 所示，数一数，需
5、要多少块砖才能把坏了的墙补好? 2图 29 所示的墙洞，用 l 号和 2 号两种特型砖能补好 吗?若能补好，共需几块? 3图 210 所示为一块地板，它是由 1 号、2 号和 3 号三 种不同图案的瓷砖拼成问这三种瓷砖各用了多少块? 4如图 211 所示，一个木制的正方体，棱长为 3 寸， 它的六个面都被涂成了红色如果沿着图中画出的线切成棱长 为 1 寸的小正方体 求：(1)3 面涂成红色的有多少块? (2)2 面涂成红色的有多少块? (3)1 面涂成红色的有多少块? (4)各面都没有涂色的有多少块? (5)切成的小正方体共有多少块? 5图 212 所示为棱长 4 寸的正方体木块，将它的表面全
6、染成 蓝色，然后锯成棱长为 1 寸的小正方体 问：(1)有 3 面被染成蓝色的多少块? (2)有 2 面被染成蓝色的多少块? (3)有 1 面被染成蓝色的多少块? (4)各面都没有被染色的多少块? (5)锯成的小正方体木块共有多少块? 6图 213 所示为一个由小正方体堆成的“塔” 如果把它的 外表面(包括底面)全部涂成绿色，那么当把“塔”完全拆开时，3 面被涂成绿色的小正方 体有多少块? 7图 214 中的小狗与小猫的身体的外形是用绳子分别围 成 的，你知道哪一条绳子长吗?(仔细观察，想办法比较出来) 习题二解答 1解：用 10 块砖可把墙补好，可以从下往上一层一层地数(发挥想像力)： 共
7、1+2+2+1+2+210(块) 如果用铅笔把砖画出来(注意把砖缝对好)就会十分清楚了，如 图 215 所示 2解：仔细观察，同时发挥想像力可知需 1 号砖 2 块、2 号砖 l 块，也就是共 需(如图 216 所示)1+23（块) 3解：因为图形复杂，要特别仔细，最好是有次序地按行分类数，再进行统计： 1 号瓷砖共 12 块 统计： 2 号瓷砖共 16 块 总数：36 块 3 号瓷砖共 8 块 4解：(1)3 面涂色的有 8 块：它们是最上层四个角上的 4 块和最下层四个角上的 4 块 (2)2 面涂色的有 12 块：它们是上、下两层每边中间的那块共 8 块和中层四角 的 4 块 (3)l 面涂色的有 6 块：它们是各面(共有 6 个面)中心的那块 (4)各面都没有涂色的有一块：它是正方体中心的那块 (5)共切成了 33327(块) 或是如下计算：8+12+6+127(块) 5解：同上题(1)8 块；(2)24 块；(3)24 块；(4)8 块；(5)64 块 6解：3 面被涂成绿色的小正方体共有 16 块，就是图 218 中有“点”的那些块 (注意最下层有 2 块看不见) 7解：分类数一数可知，围成小猫的那条绳子比较长因为小狗身体的外形是由 32 条直线段和 6 条斜线段组成；小猫身体的外形 是由 32 条直线段和 8 条斜线段组成
