1、第 1 页，共 5 页 开普勒三定律的数学证明 摘 要：本文依次对开普勒第二，第三和第一定律进行详细的数学证明，并用物理学中角 动量守恒的方法对开普勒第二定律进行证明。 关键字：开普勒定律；角动量守恒 Mathematical Proofs of Keplers Law Du Yonghao (Civil Engineering Department of Southeast University, Nanjing 211189, China) Abstract: My paper particularly derives Keplers Second Law, Third Law and F
2、irst Law in mathematical methods in order. Law of Conservation of Angular Momentum is also applied to derive Keplers Second Law. Key words: Keplers Law; Law of Conservation of Angular Momentum 1 前言 开普勒第一定律，也称椭圆定律、轨道定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太 阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。开普勒第二定律，也称面积定律：在相等的时间内， 太阳和运动中的行星的连线（向量半径）所扫过的面
3、积都是相等的。这一定律实际揭示了 行星绕太阳公转的角动量守恒。开普勒第三定律，也称调和定律、周期定律：各个行星绕 太阳的椭圆轨道的半长轴的立方和它们公转周期的平方成正比1。 2 开普勒第二定律证明 2.1 数学方法 令 为行星在 时刻的位失，令 为行星在 时刻的位失。面积 为trttrtA 在 时刻与 时刻间行星位失扫过的面积，即 与 所围成的三trtrr 角形面积，如图 1，得： rtA2 所以： trt1 令 ，得：0 trdtA21 图12 第 2 页，共 5 页 行星与太阳之间的万有引力是作用在行星上的唯一的力，引力大小为 ，其中 为行2trGMm 星的质量。根据牛顿第二定律 得：ma
4、FtrtamtrGM3 两边同时除以 得： trtr3 2 所以： 033trtrGMtrtr trttd 3 可知向量 是一个常数，所以其大小 也是一个常数。所以 为一常t trdtA 数。 2.2 物理方法 行星在太阳的引力作用下绕日运动，所以行星受到的引力对太阳的力矩为零，即行星 对太阳的角动量 守恒（为常矢量）。根据角动量守恒， 的大小为：LL 为常数（其中 为 与 的夹角）sinmrvvrmL rv 设在足够小的时间 内，太阳到行星的位矢 扫过的的角度很小，于是在 时间内位矢dt r dt 扫过的三角形面积为：rdtrvdSsin21 所以位矢 扫过的面积的速度为： sirvdtu
5、所以得： 第 3 页，共 5 页 muL2 根据角动量守恒定律 为常量，所以 为常量。所以行星运动单位时间内扫过的面LmLu2 积为定值。 3 开普勒第三定律证明 将太阳置为原点（太阳在行星椭圆轨道的一个焦点上） ，椭圆长轴在 轴上，如图 2。x 根据椭圆的性质可知 ，又因为 ，所以 且aCF2 CF aF 。aBF2 根据勾股定理： ， 如图 322cba22ch 因为 ，所以：a2222 4haBFch 化简得： a2 又因为 ，所以：2cb ahh2 4 与 轴夹角为 ，根据开普勒第一定律得：FBx2/201/cos1/ dtAGMerrh 因为 ，ab2 2th 所以： 3 22322
6、2 4/ aGMdtAtdahtdAtT 5 所以开普勒第三定律指出周期的立方和行星与太阳间距的平方成正比。 4 开普勒第一定律证明 图 22 图 32 第 4 页，共 5 页 令 为 时刻行星的位失， 为trtr 行星和太阳的距离，所以 为 时刻行星tr, 的极坐标。令 jiusnco/1 ，得：jissn1 2u1u 所以： 211 sincocossinur jrrjrdtv 21urta 6 因为行星受万有引力方向与其位置方向相反。所以： 022 rGM7 令 ，得：Dkr2 将 代入 ,当 时，且 成立，可证：0tvr0r0v 为任意值时都有 02 8 令 ，根据 ：rq782302
7、 234rGMvdrqrr 两边同时对 进行积分得： 2002 1rvrq 9 令 ，代入 得：p/19 图 42 第 5 页，共 5 页 2020202 1pvpGMdtvr 2.020.0 202 vGpvpdp 10 对 分离变量并积分得：102020/cosvGMp 20202002022001/cos vGMrvrvp 1coscoscos 2020202020020 GMvrvGMrvrr 最后，我们得到 关于 的函数：cos10er 所以 为行星绕太阳椭圆轨道的离心率。 20GMv 参考文献 1 李敏君, 邱荒逸. 用矢量法证明开普勒三定律 J. 高师理科学刊, 2000, 20 (4 ): 49- 52. 2 美 Dale Varberg, Edwin J. Purcell, Steven E. Rigdon. 微积分 M. 北京: 机械工业出版社, 2009.585- 588.
