立体几何证明方法汇总.doc

1、1 E BC D A P 中位线定理 例题：已知如图：平行四边形 ABCD 中， ，正方形 ADEF6BC 所在平面与平面 ABCD 垂直，G，H 分别是 DF，BE 的中点 （）求证：GH平面 CDE； （）若 ，求四棱锥 F-ABCD 的体积2,4CDB 练习：1、如下图所示：在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点 D 是 AB 的中点。 求证：AC 1平面 CDB1； 2. 如图， 是正四棱柱侧棱长为 1，底面边长为 2，E 是棱 BC 的中点。 （1）求证： 平面11DCBA /1BD ；（2）求三棱锥 的体积. DEC1 3、如图，在四棱锥

2、PABCD中，底面 AB是正方形，侧棱 PD底面 ABC， 4,3P， E是 PC的 中点。 （1）证明： /E平 面 ； （2）求 以 为轴旋转所围成的几何体体积。 E A 1 B1 C1D1 D C BA _H _G _D _A _B_C E F 2 G P A B C D F E A B C D E F 例 2、 如图, 在矩形 中, , 分别为线段 的中点, 平面 .求证: ABCD2PQABCDEPABCD 平面 ；（利用平行四边形）AQEP 练习：如图，PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，E、F 分别是 AB、PD 的中点。求证：AF平面 PCE； 如图，已知 P 是矩形 AB

3、CD 所在平面外一点， ，M，N 分别是 AB，PC 中点。求证：ACD平 面P /ADMN和 BC 如图，已知 AB平面 ACD，DE/AB ，ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB，且 F 是 CD 的中点.求证：AF/ 平 面 BCE； 、已知正方体 ABCD- ， 是底 对角线的交点.求证： 面 1DCBAOAB/1OC1AB D1 O D BA C1 B1A1 C 3 ABCDEF 比例关系 例题 3、P 是平行四边形 ABCD 平面外一点，M、N 分别是 PB、BC 上的点，且 ,求证：MN/平面NCBPM PCD(利用比例关系 ) 练习：如图，四边形 ABCD为正方形，

4、EA平面 BCD， /EFA， =4,2,=1BEF.（）若点 在线段M 上，且满足 , 求证： /M平面 ；AC14 面面平行-线面平行 例题 4、如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BE/CF ， BCF= CEF= 90,AD= 3,EF=2。 （ ） 求证：平面 ABE/平面 CDF （II）求证：AE/平面 DCF；（利用面面平行-线面平行） 练习：1、如图所示，四棱锥 PABCD中，底面 A为正方形， PD平面 ABC， 2PD， E， F，G 分别为 PC、 、 的中点 （1）求证：； EFG面/； （2）求三棱锥 的体积 DA CBEF M 4 1A1C1

5、BEFGACB E BA CN D F M 2、如图,在直三棱柱 1ABC中, 09AB，EFG 分别是 1,的中点，且 1GC. ()求证： /EF平 面 ； 3、如图所示,正方形 ADEF与梯形 BC所在的平面互相垂直, ,/,2ADCBDAB. 在 EC上 找一点 M,使得 /B平面 ,请确定 M点的位置,并给出证明 4、 （2012 山东文）如图，几何体 EABCD是四棱锥， ABD为正三角形， ,CBDE. ()求证： BED； ()若 120C， M 为线段 AE 的中点， 求证： 平面 . 5 例题： 如图，已知四棱锥 ABCDP。 若底面 AB为平行四 边形， E为 PC的中点

6、，在 DE上取点 F，过AP 和点 F的平面与 平面 E的交线为 FG，求证： FP/。 证明：连 AC 与 BD，设交点为 O，连 OE。 练习：1、如图，在四棱锥 中，侧面 是正三角形，且与底面 垂直，底面 是边长为 2 的菱PABCDPAABCDABCD 形， ， 是 中点，过 A、N、D 三点的平面交 于 求证： ；60BADNPM/N 2、 （2012 浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥 ABCD-A1B1C1D1 中， ADBC，ADAB，AB= 2。AD=2，BC=4,AA 1=2，E 是 DD1 的中点，F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点。 （1）证明：EFA

7、 1D1； 3.如图，四边形 ABCD 是矩形，平面 ABCD 平面 BCE，BE EC. （1） 求证：平面 AEC 平面 ABE；(面面垂直性质 ) D A B C P M N 6 （2） 点 F 在 BE 上，若 DE/平面 ACF，求 的值。 （线面平行的性质 ）BEF21 例、如图，在正方体 中， 、 、 分别是 、 、 的中点.1ABCDGABD1C 求证：平面 平面 .1EFG 练习：如图所示，在正方体 ABCD- 中，E、F、G、H 分别是 BC、CC 1、C 1D1、A 1A 的中点.求证：1DCBA （1）EG平面 BB1D1D；（2）平面 BDF平面 B1D1H. 例题：

8、已知在正方体 ABCD- 中，E,F 分别是 上的点，点 P 在正方体外，平面 PEF 与正方1DCBA11AD和 体相交于 AC，求证： /平 面EF A B C D A1 B1 C1D1 7 A C B P A C BD P M F E A B CD G 菱形的对角线互相垂直： 例题。已知 E，F 分别是正方形 ABCD 边 AD，AB 的中点， EF 交 AC 于 M，GC 垂直于 ABCD 所在平面。 求证： EF平面 GMC 练习：如图 ABCD- 是底面为正方形的长方体，求证：（1）BD 平面 （2）1DCBA AC1 1CD 等腰三角形底边的中线垂直底边 例 1、 如图，在三棱锥

9、 中， ， ，PABC290ACB ，AP求证： ；C 练习：1、在三棱锥 A-BCD 中，AB=AC,BD=DC,求证： DBC A B C D A B CD 8 圆的直径所对的圆周角为直角 例题 3、如图 AB 是圆 O 的直径， C 是圆周上异于 A、B 的任意一点， 平面 ABC， （1）图中共有多少个直角P 三角形？（2）若 ,且 AH 与 PC 交于 H，求证：AH 平面 PBC. PAH 利用勾股定理 例 4、在长方体 中，底面 是边长为 1 的正方形，侧棱11DCBAABC ，E 是侧棱 的中点。求证： 平面 ； 21AE1D 证明： 为长方体， 练习：如图，四棱锥 P-ABC

10、D 的底面是边长为 1 的正方形， ,求2,1,PDACP 证：（1） 平面 ABCD PA （2）求四棱锥 P-ABCD 的体积. 间接法，用线面垂直的性质定理（ ）blbl, 例题：如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， ，60DAB ，证明： ;ABCDPAB底 面,2BPA 练习 1：如图，在直三棱柱 中，AC=3， BC=4，AB=5，1AB ，点 D 是 AB 的中点。 （）求证： ；4A 1CB D1 C1 B1A1 ED C BA B C D P A P A C B H O a 2a B D C A p 9 练习2： 如图，四边形 为矩形， 平面 ， 为

11、 上的点，且 平面 . 求证：ABCDABEFCBFACE ；EA 证明：因为 ， ，平 面 E平 面 例 1 如图， AB 是 O 的直径， PA 垂直 O 所在的平面， C 是圆上不同于 A， B 的任意一点，求证：平面 PAC平面 PBC. 练习 1：如图，棱柱 1ABC的侧面 1BC是菱形， 1BA 2、如图，在直三棱柱 中， 、 分别是 、 的中点，点 在 上， 。 1ABCEF1ABCD1BC1AB 求证：（1）EF平面 ABC；（2）平面 平面 .1AD 3、如图， ABCD 是正方形，SA平面 ABCD，BKSC 于 K，连结 DK， 求证（1）平面 SBC平面 KBD s A

12、 C K D A B CD E F 10 例 1：如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱 PAPD, O 为 AD 中点.，求证:PO平面 ABCD； 例 2：如图，在四棱锥 中，底面 是 且边长为 的菱形，侧面 是等边三角形，且PABCDAB06DaPAD 平面 垂直于底面 PAD （1）若 为 的中点，求证： 平面 ；GGP （2）求证： ； 练习：1、如图 AB 是圆 O 的直径， C 是圆周上异于 A、B 的任意一点， 平面 ABC， （1）图中共有多少个直P 角三角形？（2）若 ,且 AH 与 PC 交于 H，求证：平面 PAC 平面 PBC.(3) AH

13、平面 PBC PAH 2、在四棱锥 中，平面 PAD平面 ABCD，ABCDP AB=AD，BAD=60，E、F 分别是 AP、AD 的中点. 求证：平面 BEF平面 PAD 3、如图，正方形 ABCD 所在平面与以 AB 为直径的半圆 O 所在平面 ABEF 互相垂直，P 为半圆周上异于 A，B 两点的任一 点，求证： 直线 AP平面 PBC。平面 PBC平面 APC 1 A B H O FEA CDPC 11 F G B DE A C 4、如图，三角形 ABC 中，AC=BC= ，ABED 是边长为 的正方形，平面 ABED底面 ABC，AB2a 且，若 G、F 分别是 EC、BD 的中点

14、， （）求证：GF/底面 ABC； （）求几何体 ADEBC 的体积 V。 5、如图， 为空间四点在 中，ABCD和 ABC 等边三角形 以 为轴运动 （）当平面 平面 时，求 ；22DADBCD 五、体积问题 1. 如图， 是正四棱柱侧棱长为 1，底面边长为 2，E 是棱 BC 的中点。11DCBA （1）求证： 平面 ；/E （2）求三棱锥 的体积. 1 E A 1 B1 C1D1 D C BA BA 12 A1 B1 C 1 D1 A B C D E ABCDOP练习 1：三棱锥 PABC中， P和 BC都是边长为 2的等边三角形， 2AB， 分别是O、的中点AB、（1）求证： 平面 （

15、2）求证：平面 平面 ；/ODPABC（3）求三棱锥 的体积 2、如图,长方体 中， , , 是 的中点.1CBA1A2DEBC (I)求证：平面 平面 ； (II)求三棱锥 的体积. E1 3、如图，在四棱锥 P-ABCD 中， 底面 ABCD 是直角梯形， ，垂 直 于 底 面 ABCDPD 且 （单位： ） ，为的中点。 （）如图，若,90,/oBADC422ABcm 主视方向与平行，请作出该几何体的左视图并求出左视图面积；（）证明： ；PBC/平 面DED CA BPED 13 4、已知某几何体的直观图(图 1)与它的三视图(图 2)，其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形.已知 是

16、这个D 几何体的棱 上的中点。1CA （）求出该几何体的体积； （ ）3 （）求证：直线 ； 11/BAD平 面 ()求证:平面 .平 面 5、已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆） ，根据图中标出的数据， （）求这个组合体的体积；（）若组合体的底部几何体记为 ，其中 为正方形.（i）1DCBABA1 求证： ；（ii）求证： 为棱 上一点，求 的最小值.DCAB11和P1BAPCA B C1 A1 B1 D 3 3 14 A 例题 CD E P F B 六:等体积法求高（距离）： h 如：三棱锥 V = V S = S BE1BECF1FC31BEC31EFC 例题（2010 广东

17、文数）如图，弧 AEC 是半径为 a的半圆，AC 为直径，点 E 为弧 AC 的中点，点 B 和点 C 为线段 AD 的 三等分点，平面 AEC 外一点 F 满足 FC平面 BED,FB= 5 （1）证明：EB FD （2）求点 B 到平面 FED 的距离. 练习 1：已知 ABCA B C 是正三棱柱，棱长均为 ，E、F 分别是 AC、A C 的中点，1 51 （1）求证：平面 AB F平面 BEC 1 （2）求点 A 到平面 BEC 间的距离1 2、如图，在四棱锥 中， 平面 ；四边形 是菱形，边长为 2， ，经过PABCDABCD60 作与 平行的平面交 与点 ， 的两对角线交点为 （）

18、求证： ；（）若 ，ACEFCDE3F 求点 到平面 的距离DBA CA1 B1 C1FE 15 A B C P D 3、如图 4，在四棱锥 中，平面 平面 ， ，PABCDPABCDA 是等边三角形，已知 ， AD 2425 （1）求证： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积 4如图，己知 中， ， ，BCD091,BCDABC平 面 且06,A,AEF分 别 是 上 的 动 点 ， EF=(01) （1）求证：不论 为何值，总有 F;平 面 （2）若 求三棱锥 的体积=,-B 5、(2012 广东文数）如图 5 所示，在四棱锥 中， 平面 ， ， 是 中点，PABCDPAD/,BCPADEPB

19、 是 上的点，且 ， 为 中 边上的高。FDC12FABH （1）证明： 平面 ；PHCD （2）若 ，求三棱锥 的体积；,ECF （3）证明： 平面 E 6、 （2012 佛山一模）如图，三棱锥 ABCP中， 底面 ABC，90BCA ， 4BP， E为 的中点，M 为 的中点，点 F在 上，且 2F. （1）求证： E平面 ； 16 D C1 A1 B1 CB A （2）求证： /CM平面 BEF； （3）求三棱锥 A的体积. 7、如图所示四棱锥 PBD中, 底面 ABCD,四边形 中, ABD, /CA,2PABC , 4,E为 的中 点, F为 中点. （1）求四棱锥 PABCD 的体积； （2）求证: 平面 A； （3）在棱 PC 上是否存在点 M（异于点 C） ，使得 BM平面 PAD， 若存在，求 的值，若不存在 ，说明理由。 ； 8、（惠州市 2013） 如图,在三棱柱 中，侧棱 底面 ,1ABC1ABC 为 的中点, , .,D23 (1)求证： 平面 ；1/1 (2) 求四棱锥 的体积.BAC