1、本文讨论了一类递推数列 的单调性与收敛性问题,同时也1()nnxf 推广与包含了近期一些文献中的结果. 运用单调有界性来证明收敛，而能用单调有界定理证明收敛的有四 种情况： 易知单调递增或递减，需证有上界或下界。 易知有上界或下界，需证单调递增或递减。 易知既有上界又有下界，需证单调。 易知单调，需证既有上界又有下界。 用导数来求证 单调有界性1()nnxf 如果 ，即函数 单调递增时，数列 具有单调()0fxnx 性是可以肯定的，而研究递增递减那要看 跟 的比较了(如果1x2 的话，那么 )具体的说12=x1n=x 若 时，由 ,那么可以判定 为减数列。2(ffxnx 若 时，由 ,那么可以
2、判定 为增数列。12x1)x 例题 1. 1+1 2=0,n=2-cos, 3nnnxxxx 当 时 ， 证 明 数 列 收 敛 并 且 极 限 值 位 于 ， 证：记 ,则()-f ()i0f 因为 ， ，则 ，由于10x21120=13x()3f在 ， 上 递 增 所以 ，即123()()xffx23x 那么 具有单调有界性，上界为 3n 然后对数列两边取极限，记极限为 A 则 .A-cos=2 设函数 ，其中 A 为方程 的根，()-+csgxx()gx 由于 在 上连续，在 内可导，则03， 03， ()=1-sin0x 所以函数递增，又由于 -424()=,(236gg 所以 的根在
3、 内。()gx3， 如果 ，即函数 单调递减时，数列 肯定不具()0fx()fxnx 有单调性的但是，它的奇数项子数列 和偶数项子数列21n 都可以看作是通过单调增加函数g(x).2n 其中 12)()()nnnnfxfx 所以肯定具有单调性，而且其增减性恰好相反 例题1.当 时， ，证明数列 收敛，并1=xn， 1=+nnx nx 求其极限值。 证：设函数 ,则函数在 上连续，在 内可导， 1()+fx0,0, 易知 。 2()=-01)fx 所以 在 上递减。()+fx, 由于 ,可知 ，又 在123=,=x132xx 1()+fx 上递减。0, 所以有 ,即 ,132fxffx243x
4、所以 241 可推得 1352n-12n642. .xxxxx 由此可知奇数项子数列 单调递减有下界 ，偶数项子数21n 2 1= 列 单调递增有上界 ，则两子数列都收敛。2nx=x 设奇数项子数列 收敛于P，偶数项子数列 收敛于Q 。21nx 2nx 对 两边去极限得：1=+nnx 1=+Q1P 解方程得 5-1P=Q2 那么数列 收敛于 。nx - 利用不动点与导数的结合来证单调有界性。 定义：对于函数 ,若存在实数C,使得 ，则称C 为()fx()=f 的不动点。()fx 命题1.设函数 在 上连续，在 内可导，且 ,()fx,ab,ab()0fx .设 ，则递推数列 收敛。(),fab
5、1=1()nnxf 命题2.设函数 在 上连续，在 内可导，且 ,()fx,ab,ab()0fx .设 ，则递推数列 收敛。()=,fab1=1(nnxf 命题3.如果函数 在 有唯一的不动点，那么数列必收敛于()fx,ab 该不动点。 推论：对于递推数列 , 如果1 nnaxbxc ，那么数列收1(, 123.)acbc 、 、 、 都 为 正 数 ,、 、 敛，且收敛于L，其中 。 ()()4L=acacb 例题 1.设 ， （ ） ，求103x1 3()nnx1,23 证:数列 收敛,并求其极限 。n 解：数列 的迭代方程 ，nx 3(1)xf26()03)fx 。(3)f 又 ，即 。
6、1fx11 (3)()0x11()fx 故数列 在区间 上满足命题 1 的条件,于是数列 收n1, nx 敛。 又 在 上有唯一的不动点 ,于是 。()fx1,3 3lim3nx 例题2. 已知函数 ，且存在 ，使4 12)(3xxf )21,0(x .设 , , ， ,其0)(xf1 )(1nnxf1y)(1nnyfy 中 ,证明: 。2,n nnx101 证：由数列 的迭代函数 得n 42)(3xxf ,213)(2 xxf 61)3(0 从而在区间 上，由命题1的结论得,0 ，010xxn 在区间 上，由命题2的结论得),(0x ，2110nyx 于是有 nnnyxx101 证毕 利用单
7、调性的定义或数学归纳法。 例题1. 设 , ,证明数列 极限存在。1ac1nnacna 思路：先试求 的极限，对两边取极限，解得1nn ,猜想它是数列的一个上界，那么问题就转换 1+4lim2nx ca 为证明这个猜想。 证：易从 看出数列 递增。1nnacna 接下来用数学归纳法求证 有上界 。na 1+42c 显然 ,假设 ，便有了1 +142cacn-1c 。则 为单调1 +42nn cccna 递增有上界的数列，故数列 收敛。na 例题3. 112210,bababn+11,nnn nnab一 般 地 证 明 数 列 与 收 敛 。 证：利用数学归纳法对n进行归纳证明， 1,0Z。 当 时已知成立。假设 ,=1n-110ab 由重要不等式得： ,因此-n -1=02nnab 有下界0，且当 时， ,故na数 列 -1-1n-12nnan数 列 单调递减，即 收敛。na数 列 此外由 单调递减， ,即 有上界 ，n数 列 1n0abnb数 列 1a 并且当 时， ,故 单调递增，即2-11=nn bn数 列 收敛。nb数 列
