昆明市第一中学2012届高考第二轮考点专题复习教案-参数取值问题的题型与方法.doc

1、第 3034 课时： 参数取值问题的题型与方法 （）参数取值问题的探讨 一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范 围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立 问题转化成函数的最值问题求解。 例 1已知当 x R 时，不等式 a+cos2xa+245aa 上式等价于 或 ，解得 a0,即 a 2.(下同)45a 例 2已知函数 f(x)在定义域（ ，1 上是减函数，问是否存在实数 k，使不等式 f(k sinx) f(k2 sin2x)对一切实数 x 恒成立？并说明理由。 分析：由单调性与定义域，原不等式等价于 k sinxk

2、 2 sin2x1 对于任意 xR 恒成 立，这又等价于 对于任意 xR 恒成立。 )2()1(sin41222xk 不等式（1）对任意 xR 恒成立的充要条件是 k2(1+sin 2x)min=1,即 1k 1-(3) 不等式（2）对任意 xR 恒成立的充要条件是 k2 k+ (sinx )2max= ,4149 即 k 1 或 k2,-(4) 由（3） 、 （4 ）求交集，得 k= 1,故存在 k= 1 适合题设条件。 说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。 例 3设直线 过点 P（0，3） ，和椭圆 顺次交于 A、B 两点，试求 的l xy 294APB 取值范围.

3、 分析：本题中，绝大多数同学不难得到： = ，但从此后却一筹莫展, 问题的APBx 根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造 所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程） ，这只需利用对应的思想实施； 其二则是构造关于所求量的一个不等关系. 思路 1: 从第一条想法入手， = 已经是一个关系式，但由于有两个变量APBx ，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第 3 个变量直线 AB 的斜BAx, 率 k. 问题就转化为如何将 转化为关于 k 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆BAx, 方程，消去 y 得出关于 的一元二次方程，其求

4、根公式呼之欲出. 解 1：当直线 垂直于 x 轴时，可求得 ；l 51PBA 当 与 x 轴不垂直时，设 ，直线 的方程为： ，代入椭l )(,21yx， l3kxy 圆方程，消去 得 ，y045492kxk 解之得 .6722,1x 因为椭圆关于 y 轴对称，点 P 在 y 轴上，所以只需考虑 的情形.0k 当 时， ， ，0k49521kx 4956272x 所以 = = = .21xPBA525218k25918k所求量的取值范围 把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 xA= f（k） ，x B = g（k） 得到所求量关于 k 的函

5、数关系式 求根公式 AP/PB = （x A / xB） 由判别式得出 k 的取值范围 由 , 解得 ，04918)54(22k952k 所以 ，512 综上 .51PBA 思路 2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的 根源. 由判别式值的非负性可以很快确定 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定k 理，原因在于 不是关于 的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自21xPBA21,x 然也就有了，即我们可以构造关于 的对称关系式.21, 解 2：设直线 的方程为： ，代入椭

6、圆方程，消去 得l3kxyy （*）045492 则 令 ，则， .495,21kx21x .204531k 在（*）中，由判别式 可得 ，,0952k 从而有 ，所以 ，36452k 536214 把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 xA+ xB = f（k） ，x A xB = g（k ） 构造所求量与 k 的关系式 关于所求量的不等式 韦达定理 AP/PB = （x A / xB） 由判别式得出 k 的取值范围 解得 .结合 得 . 51105 综上， .PBA 说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量

7、的有 界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法. 二、直接根据图像判断 若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图 象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快 捷。 例 4 （2003 年江苏卷第 11 题 、天津卷第 10 题）已知长方形四个顶点 A（0，0 ） ， B（2 ，0 ） ，C（ 2，1）和 D（0 ，1 ）.一质点从 AB 的中点 P 沿与 AB 夹角为 的方向射到 BC 上的点 P1 后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P 3 和 P4（入射角等于

8、反射角）.设 P4 的坐标为（x 4，0）.若 11,a1, 10，则根据函数的图 象（直线）可得上述结论等价于 ） 或） 亦可合并定成0)(mfa0)(nfa0)(nfm 同理，若在m,n 内恒有 f(x)2p+x 恒成立的 x 的取值范围。 分析：在不等式中出现了两个字母：x 及 P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量， 另一个作为常数。显然可将 p 视作自变量，则上述问题即可转化为在 2，2 内关于 p 的 一次函数大于 0 恒成立的问题。 略解：不等式即(x 1)p+x2 2x+10,设 f(p)= (x 1)p+x2 2x+1,则 f(p)在 2,2上恒大于 0，故有： 即 解得：)

9、2(f 01342x13x或或 x3. 例 8.设 f(x)=x2 2ax+2,当 x 1,+ )时，都有 f(x) a 恒成立，求 a 的取值范围。 分析：题目中要证明 f(x) a 恒成立，若把 a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二 次函数在区间 1,+ )时恒大于 0 的问题。 解：设 F(x)= f(x) a=x2 2ax+2 a. )当 =4（a 1)(a+2)0,即 a0 时， f(0)=40,故只需对称轴 ，即 a0,x,yZ ） 。12058230y 计年利润为 s，那么 s3x+6y-2.4x-4y，即 s0.6x+2y 作出不等式表示的平面区域。问题转化为求直线 0.6

10、x+2x s0 截距的最大值。过点 A 作 0.6x+2y=0 的平行线即可求出 s 的最大值。 联立 得 A（18,12） 。1205823yx 将 x18，y12 代入 s0.6x+2y 求得 Smax34.8。 设经过 n 年可收回投资，则 11.6+23.2+34.8(n 2)=1200，可得 n33.5。 学校规模初中 18 个班级，高中 12 个班级，第一年初中招生 6 个班 300 人，高中招生 4 个班 160 人。从第三年开始年利润 34.8 万元，大约经过 36 年可以收回全部投资。 说明：本题的背景材料是投资办教育，拟定一份计划书，本题是计划书中的部分内容。 要求运用数形

11、结合思想，解析几何知识和数据处理的综合能力。通过计算可知，投资教育 主要是社会效益，提高整个民族的素质，经济效益不明显。 （） 、强化训练 1 （ 南京市 2003 年高三年级 第一次质量检测试题） 若对 个向量 存在nna,21 个不全为零的实数 ，使得 成立，则称向量nnk,21 021aka 为“线性相关” 依此规定， 能说明 ，na,21 1(,0) ， “线性相关”的实数 依次可以取 （写出一组数值() 3(,) 321,k 即可，不必考虑所有情况） 2已知双曲线 ，直线 过点 ，斜率为 ，当 时，2:xyCl0,Ak10 双曲线的上支上有且仅有一点 B 到直线 的距离为 ，试求 的

12、值及此时点 B 的坐标。l2k 3设函数 f(x)=2x-1 2-x-1,x R,若当 0 时，f(cos 2 +2msin )+f( 2m 2)0 恒成 立，求实数 m 的取值范围。 4已知关于 x 的方程 lg(x +20x) lg(8x 6a 3)=0 有唯一解，求实数 a 的取值范围。2 5试就 的不同取值，讨论方程 所表示的曲线形k22()(6)()2kxkyk 状，并指出其焦点坐标。 6某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能型洗衣机，由于这两种产品的市场 需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确 定产品的月供应量，以使得总利润达到最大。已知

13、对这两种产品有直接限制的因素是资金 和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表： 单位产品所需资金（百元）资金 空调机 洗衣机 月资金供应量（百元） 成本 30 20 300 劳动力 （工资） 5 10 110 单位利润 6 8 试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？ 7某校伙食长期以面粉和大米为主食，而面食每 100 克含蛋白质 6 个单位，含淀粉 4 个单位，售价 0.5 元，米食每 100 克含蛋白质 3 个单位，含淀粉 7 个单位，售价 0.4 元， 学校要求给学生配制盒饭，每盒饭至少有 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉，问应如何

14、配制盒饭，才既科学又费用最少？ 8发电厂主控室的表盘，高 m 米，表盘底边距地面 n 米。问值班人员坐在什么位 置上，看得最清楚？（值班人员坐在椅子上眼睛距地面的高度一般为 1.2 米） 9. 某养鸡厂想筑一个面积为 144 平方米的长方形围栏。围栏一边靠墙，现有 50 米铁 丝网，筑成这样的围栏最少要用多少米铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？ （） 、参考答案 1分析：本题将高等代数中 维向量空间的线形相关的定义，移植到平面向量中，定n 义了 个平面向量线性相关在解题过程中，首先应该依据定义，得到n ，即 ，于是 ，1230kak 123(,)(,1)(,2)0kk12323(,)

15、0kk 所以 即 则 所以， 的值依次可取 1230,.k1324,.k123:4:1k123,k （ 是不等于零的任意实数） 4,c 2分析 1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然 是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到： 过点 B 作与 平行的直线，必与双曲线 C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判l 别式 . 由此出发，可设计如下解题思路：010)2(: kxkyl kkxyl 2: 的 值解 得 k 解题过程略. 分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且 仅有一点 B 到

16、直线 的距离为 ”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思l2 路： 解：设点 为双曲线 C 上支上任一点，则点 M 到直线 的距离为：)2,(xM l 212k10k 于是，问题即可转化为如上关于 的方程.x 由于 ，所以 ，从而有10kk2 .2kxx 把直线 l的方程代入双曲线方程，消去 y，令判别式 0 直线 l在 l 的上方且到直线 l 的距离为 2 转化为一元二次方程根的问题 求解 问题 关于 x 的方程 有唯一解10212kkx 于是关于 的方程x )1(22kxk 0)1( ,(2 2kxkx .2)( ,02)1(2)1(2kxk kkxx 由 可知：10 方程 的

17、二根同正， 02)1(2)1(22 kkxx 故 恒成立，于是 等价于0)(2kk .)()(21 222kkxx 由如上关于 的方程有唯一解，得其判别式 ，就可解得 .05 说明：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越 性. 3分析与解：从不等式分析入手，易知首先需要判断 f(x)的奇偶性和单调性，不难证 明，在 R 上 f(x)是奇函数和增函数，由此解出 cos2 +2msin 0,t0,1-(*) 恒成立时，求实数 m 的取值范围。 接下来，设 g(t)=t2 2mt+(2m+1),按对称轴 t=m 与区间0 ，1的位置关系，分类使 g(t) min0

18、,综合求得 m . 1 本题也可以用函数思想处理，将（*）化为 2m(1 t) (t2+1),t0,1 当 t=1 时，mR; 当 0th(t)=2 (1 t)+ ,由函数 F（u)=u+ 在（ 1，1上是减函数，t12u 易知当 t=0 时，h(x) max= 1, m ,综合（1 ） 、 （2）知 m 。2 说明：本题涉及函数的奇偶性、单调性、二次函数的条件极值、不等式等知识，以及用 函数的思想、数形结合、分类讨论、转化和化归的思想方法解题，是综合性较强的一道好 题。 4分析：方程可转化成 lg(x2+20x)=lg(8x 6a 3),从而得 x2+20x=8x 6a 30,注意到若将等号

19、两边看成是二次函数 y= x2+20x 及一次函数 y=8x 6a 3，则只需考虑这两个 函数的图象在 x 轴上方恒有唯一交点即可。 解：令 y1= x2+20x=（x+10） 2 100,y2=8x 6a 3,则如图所示， x y l1 l2 l -20 o y1 的图象为一个定抛物线，y 2 的图象是一条斜率为定值 8，而截距不定的直线，要使 y1 和 y2 在 x 轴上有唯一交点，则直线必须位于 l1 和 l2 之间。 （包括 l1 但不包括 l2) 当直线为 l1 时，直线过点（ 20，0 ）此时纵截距为 6a 3=160,a= ;63 当直线为 l2 时，直线过点（0，0） ，纵截距

20、为 6a 3=0，a= a 的范围为 ， ） 。6321 5解：（1）当 时，方程化为 ，表示 轴。k0yx （2）当 时，方程化为 ，表示 轴x （3）当 时，方程为标准形式：,21(*)6yk 当 时，方程化为 表示以原点为圆心， 为半径的圆。64kk2 当 时，方程（*）表示焦点在 轴上的双曲线，焦点为2x(8,0)k 当 时，方程（*）表示焦点在 轴上的椭圆，焦点为 当 时，方程（*）表示焦点在 轴上的椭圆，焦点为46ky,2 当 时，方程（*）表示焦点在 轴上的双曲线，焦点为 ()k 6解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x、y 台，总利润是 P，则 P6x+8y 由题意：30x+

21、20y 300 5x+10y110 x 0，y0 x、 y 均为整数 画图知直线 y3/4x1/8P 过 M（4,9）时，纵截距最大，这时 P 也取最大值 Pmax6489 96（百元） 故：当月供应量为：空调机 4 台，洗衣机 9 台时，可获得最大利润 9600 元。 7解：设每盒盒饭需要面食 x（百克） ，米食 y（百克）则目标函数为 S0.5x+0.4y 且 x，y 满足 ： 6x+3y8 4x+7y10 x0 ，y0 画图可知，直线 y5/4x+5/2S 过 A（13/15,14/15）时，纵截距 5/2S 最小，即 S 最 小。 故每盒盒饭为 13/15 百克，米食 14/15 百克

22、时既科学又费用最少。 8解答从略，答案是： 值班人员的眼睛距表盘距离为 )2.1)(.nmx （米） 。本题材料背景:仪表及工业电视，是现代化企业的眼睛，它总是全神贯注地注视着 生产内部过程，并忠实地把各种指标显示在值班人员的面前。这就要在值班人员和仪表及 工业电视之间，建立某种紧密的联系，联系的纽带是值班人员的眼睛！因此只有在最佳位 置上安排值班人员的座位，才能避免盲目性。 9.解：假设围栏的边长为 x 米和玉米，于是由题设可知 x0 ，y0，且 xy144 （1） 2x+y50 （2） 双曲线 xy144 在第一象线内的一支与直线 2xy 50 的交点是 A（ ） ，B（ ） ，满足条件（1） 、 （2 ）的解集是在375,2 3725, 双曲线 xy144（ ） ，这一段上的点集（即如图中双曲线2x A、B 之间的一段） ，当过双曲线 A、B 之间上的任一点作一点作直线 2xyk（k 0 ）就 是相应需用铁丝网的长度，直线 2x+y=k（k0）与双曲线 xy144 相切。这时，相应的 k 值最小，消去 y 得 x 的二次方程： ，从0 得 ，142x142 即 k24 （米）所需用铁丝网的最短长度为 24 米。从图中知，利用已有墙的最22 大长度由点 A 的纵坐标给出，即 米，利用墙的最短长度由 B 纵坐标给出，即375 米。375