1、 1 第十章 曲线积分与曲面积分 （第三部分）曲线积分习题解答 一、对弧长的曲线积分 1计算 ，其中 为摆线 的一拱LydsI )cos1( ),sin(taytax )20 ,(ta 解 由于 , ；而)cos1(in:tayx)20(t ，dtdds 212)s()20 (t 故 0 1 coco1atayIL2 3sin4dt 032sin8ud . 2 03i16ua2a 2计算曲线积分 ，其中 为圆周 Ldsyx Laxy2 解 圆周 在极坐标下的方程为 ，则a2 cos)2( . 故dds2 .Lsyx 2 2 ads2 cosad2 0cosd2a 3 计算 ，其中 为圆周 ，直
2、线 及 轴在第一象限内ydeI 2L22yxxy 所围成的扇形的整个边界 解 积分曲线 为闭曲线（如右图） ，可分解为 ，其中321L ；)0( , :1 axyOAL ；4 , 2 rB 2 .)20( , :3 axyOBL 故 32212 LyxLyx dsedsedseI 2 024 02 0 )(1)()( axaa de2 4 0 xax dedee .)2(a 4. 设螺旋线弹簧一圈的方程为 ， ， ，其中 ，它的taxcostaysinktz20t 线密度 . 求此线关于 轴的转动惯量 .22) ,(zyxzyzzI 分析 本题为对弧长的曲线积分在物理中的应用问题，应首先将所求
3、的转动惯量 用对弧长的曲线积分 表示，然后计算积分即可。Lz dsyxI 2) ,()( 解 所求的转动惯量为 ，而z z ，dttytxds)()(222 dtka2 故 Lz szI ,(Lszyx )( .2 0 22)(dtkata )43(3222kaka 二、对坐标的曲面积分 1. 计算曲线积分 ，其中 为区域Lx dydxyeI )sin()cos1( L 的边界，取逆时针方向。xyxsin0 , 解 令 ， 则)co1(yeP)sin(yeQx ， yxsiix 即 . 由于 QyD0 ,sin0 : 故利用格林公式，得 3 DdxyPQI)(Dxdye .xesin 0 )1
4、(5 2. 计算曲线积分 其中 为曲线 上从点Lx dydxyI )sincosLxysin 到点 的一段弧。)0,(A),(O 解 补直线段 ： ， 从 变到 ；并设闭曲线 所围区域为A0y （如图所示） ，则由 Green 公式，得：DLx ddxe )sin()cos1(DyPQDxye .xdesin 0 )1(5 又 （ ： ， 从 变到 ） ，0sin)co1( Lx yye OAL0yx 故 ddxeIxL )si()co1( .0)1(55 3. 设 是一条封闭的光滑曲线，方向为逆时针，计算曲线积分 .L Lyxd 24 分析 因 ， ，则24) ,(yxyP24) ,(yxy
5、Q ， .22)(22)( 故 . 由于 与 在原点 处不连续，因此可知：（1）若给定xQyP) ,(yxP ,Q)0 , 的曲线 所围成的闭区域不包括原点 ，则在此区域内曲线积分与路径无关；L) ,( （2）若给定的曲线 所围成的闭区域包括原点 ，那么 、 在 所围成的闭区)0 ,(PQL 4 域上不满足格林公式（积分与路径无关的条件） 。此时，我们可取一条特殊的封闭光滑 曲线 ，在 上应用 Green 公式，由此将 上的曲线积分转化为 上的曲线积分。1L1L1L 解 因 ， ，则24) ,(yxyP24) ,(yxyQ ， .22)(22)( 故 .xQyP （1）若给定的曲线 围成的闭区
6、域不包括原点 . 由 知曲线积分L)0,(xQyP 与路径无关，故 .Lyxd 244 2Lyxd （2）若给定的曲线 所围成的闭区域包括原点 ，则取一条特殊的有向曲线)0 ,( （ 充分小） ，规定 的方向为逆时针（如右图所示） 。设21 :y01 所围城的区域为 ，则在 上应用 Green 公式，得)(LD)(L ,0(41 2 dxyPQyxd 所以 . 而1 2 2LL .11 2 24LLxdyyxd Ddxy12 故 .L 2 或利用参数方程计算：令 ： ， ， 从 到 . 所以1Lcosxsin2y02 .1 2 24LLyxdyxd 02)co(i1d 5 4. 设在半平面 内
7、有力 构成力场，其中 为常数，0x)(3jyixkFk ，证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关。2yx 分析 由于场力沿路径所作的功为 ,所以证明场力所作的LydkxW 33 功与所取的路径无关的问题，实质上就是证明上述曲线积分与路径无关的问题。 证明 场力沿路径所作的功为 .Lydk 33 令 ， ；则233)(yxkP 233)(xyQ .yPkx25)( 由于右半平面为单连通区域，且 ，所以场力所作的功与所取的路径无关。y 5设函数 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 上，曲线积)(x C 分 的值为常数。Cyd24 (1) 设 为正向闭曲线 ，证明： ；L1)(2y
8、x 0)(224Lyxd (2) 求函数 ；)( (3) 设 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 CCyxd24)( (1) 证 设 ，闭曲线 由 组成。设 为不经过原IyxdL24)(L,1i0L 点的光滑曲线，使得 和 分别组成围绕原点的分段光滑闭曲线 ，1020 2,1iC 由曲线积分的性质和题设条件知 10022124)( LLLLyxd 6 021 IC 所以， ，即 142)(Lyxd24)(Lyxd024Cyxd)( (2) 解 令 从而有QP ，24 5243)()() yxyx 解得， .2)(y (3) 解 设 为正向闭曲线 所围区域，由(1) D1:24yxCa Cyxd24)( ，利用 Green 公式和对称性，aCyxd24 .0)4(224 DCdxydyxaa
