2014年暑假平面几何讲义：四点共圆(教师版).doc

1、 EB A C D E B A C D B A C D 四点共圆 文武光华数学工作室 潘成华 平面几何中证四点共圆的几个基本方法 方法一：平面上有四点 ,若 ,ABCD、 、 、 A 则 四点共圆ABCD、 、 、 方法二 线段 交于 ,若 ,则 四点共圆AB、 EACBEDAC、 、 、 方法三 线段 交于 ,若 ,ACBD、 EABCED 则 四点共圆、 、 、 方法四：若四边形 , ，ABCD180 则 四点共圆A、 、 、 D D O C O C B A B A O CA D B E COA D B ED CB A R Q PE D CB A 方法四、已知 是 内角或外角平分线， ,且

2、 ,则ADBC ABC 四点共圆ABC、 、 、 证明 设 ,因为 ,所以 ，所以 ，AABCsinsinCADsiniB 内角时 ,外角时 ，所以 四点共圆180BCB、 、 、 托勒密定理： Tolemy(托勒密定理） 若四边形ABCD是圆O内接四边形,则ADBC+ABCD=ACBD 证明 在AC上取点E,使EDC=ADB,因为ABD=ACD,所以ABDEDC,ADEBDC ，于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是ADBC+ABDC=AEBD+BDCE=AC BD 例1、已知 点 在 内， , .DE、 BCADCBEC 求证 .ACB S E A B C

3、 D E DB A C K L J GFE DB A C 证明(一)（文武光华数学工作室 南京 潘成华）作 关于EBCA、 、 对称点 ,易知 , ,于是 ,PRQ、 、 BRDPARDQDPRQ 所以 ,得到 ,进而 .DCCB 证明（二）作 外接圆交 延长线于 ,可知 ,得到SSCBAE ,所以 ,得到 ,ABEBEAES 所以 . 例2、已知（文武光华数学工作室 南京 潘成华） 是 内一点，点EBC 在 上，且 , .则DBCAEDCBDC180AD 证明 先证明 ,过 作 垂线 交 分别于ABECABC、 、 EFGL、 、 ABC、 、 ，直线 交于 ,取 中点 ,易知 四点共圆，F

4、GL、 、 D、 JK、 、 、 四点共圆，所以 (1),( 是 的内角E、 、 、 sinB、 )，因为 ，所以 ,于是 ,易知 四点共圆，圆BAELJ/LAJFEG、 、 、 HP CB A D 21 43 P CB A D 21 43 IHP CB A D 心是 ， ,所以 ,进而 ，得到 是 中垂线，所以KBAEDCAFG/KLFKLFG ，(1)得FLG 下面我们证明 ，因为180Bsinsin,ACE ,两式相除得sinsinABEEiiiBDB ,因为sni iDCDBEC 所以，360180AE 证明（二）在 取 ,使得 ,所以 ,进而得到AHAPBHPADC ,易知 四点共圆

5、，HPC、 、 、 所以 180BD 例3、叶中豪老师2013年国庆讲义一几何题我的解答 已知， 是 底边 上任一点， 是形内一点，满足 ， 。DABCP1234 求证： 。P 证明作 外接圆交 分别于 ，易知 ,所以BP、 AB、 HI、 APDC ，所以 （1）,易知 ,进而得到 AHDCDPBB G IDHB AC FI D H C A B I D H C A B ,所以 （2）,易知 四点共圆，所以ADIBADPIAHPI、 、 、 ,所以HIC , ,所以/I 334BADICHI ,进而根据（1）、（2）得到 。PC 例4、已知 是锐角三角形， 是 边上中线， 是 垂心，BCADB

6、BC 于点 ，求证HIADI 四点共圆BC、 、 、 证明（一）：延长 到 使得 ,易知四边形 是平行四边形，因为AG=DBC ， ,所以 ,得到 ，所以CHABC90HBCI、 、 、 、 四点共圆I、 、 、 证明（二） ,所以 是 切线，所以HACDF()AIHF ,2DFI 所以 ,得到 ,所以 四点共圆ACBICI、 、 、 第四题、第51届波兰数学奥林匹克，1999 D CB A P yy xx D CB A P G F DB CAP 例5、已知 在 中， ,点 在 内部，点 是 中点，ABCAPBCDBC .CBP 求证 .180D 证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设 ,

7、 ,ACPB , , , ,因为 ,可知PAPBsinsiP ，可知 ,（1）， ,可知 得到sinsinyx siniyx （2），根据（1）、（2）得 ，即iii180 。80BPDAC 证明(二)（文武光华数学工作室 潘成华给出）延长 CP 交以 为圆心， 为半径的圆于 ,直线 交 于 ,ABFABG , ,因此 ,于是 在 上，FCPGPC ,所以 ,可知 ,GADBPD 即 ,得证180BDF F EDM O CB A P FEDM O CB A SN F EDM CB A 例6、已知 是 边 中点， 交 外接圆 于 ,MABCAMBCOD 过点 作 交 于 ,在 上取点 ,使得 .

8、D/EOEDFA 求证 AFC 证明(一)（文武光华数学工作室 南京 潘成华）因为 ,点 是 中点，所以 是调和四边形，易知直线 、/BCMABECA 过点 切线共点，得到 平分 ,B、 ,因此 是 旁心，进而1902ECFAEOPEFMF . 证明（二）因为 是 边 中点，所以 ,得到 ,易知BABDCSABDC 是等腰梯形，所以 ,根据托勒密定理可知CEDE ,得到 ，2+=2ACM EBMAAEC , 所以 ，所以 ,可知 ,取 中点 ,同理可BMABDACDS 得 ,所以 与 交点设为 ,则 为 中点，所以ACSECSNAF ,于是/NFNF J F EDM CB A O 1 OO2

9、DB C A O 1 OO2DB C A E O 1 O O2 D A CB 证明（三）（田开斌老师）作 交 于 ，所以 ,/CJBDAJCBDE ,JCEBDE ,所以909090AFAE 四点共圆，因为 ,所以J、 、 、 JF 例7、 已知 是 角平分线交 于 ， 外心分别是DBCBDC、 、 ,求证12、 、 12= 证明易知 11 19090902AADAA ， ,所以 （1），又O 22OBO12=O ，于是 ，所以1DC、 1+80DCB 四点共圆，根据（1）得到2A、 、 、 2= 证明（二）记 三角 ，设直线 交于 ，ABC、 、 12BOC、 E2BCAO ,同理 ,(90

10、)CD(90)2A 所以 ， ，E1OD、12+=8B 所以 四点共圆得到、 、 、 12O E PF O C A D B G K E PF O C A D B G IO C A B D IO C A B 例8、已知 、 交于 ,四边形 是平行四边形， 在 上， 交POB、 ACCOPFBCA 于 ,直线 交 于 .FCG 求证 四点共圆ED、 、 、 证明 延长 交 于点 ,连接 ，易知 是等腰梯形， 是等腰梯DAPKEB、 AKEDKEC 形， ,所以 四点共圆，因此CFGBFGC、 、 、 五点共圆,进而 四点共圆KE、 、 、 、 D、 、 、 例9、已知 分别是 外心，内心，求证 的

11、充要条件是OI、 OI ,2AB 证明 延长AI交圆O于D,根据托勒密定理，ABDC+ACBD =ADBC(1),因为OIAI，所以AI=ID,由（1）得： （AB+AC)BD=BC2DI,因为BID=IBD,于是BD=DI, 所以AB+AC=2BC 此题，若O，I分别是ABC外心，内心，AB+AC=2BC， 求证 OIAI M L ED CB A P N M L ED CB A P P B AT OIS RQ P B AT O IS 证明方法是一样的 例10、 为 外接圆上一点， 在 上的射影为 .点 分PABCPBCA、 DE、 LM、 别是 中点。证明 .DE、 DELM 证明 取 中点

12、 ，连接 ,易知 ，所以 ,ANLAP、 、 、 DAPEDBA 所以 ,可知 ,所以DPLEMEDL 第十题、已知 是 边 中点， 交 外接圆 于 ,BCMBCO 过点 作 交 于 ,在 上取点 ,使得 ./OAFA 求证 AFE 例11、已知（文武光华数学工作室 南京 潘成华） 、 外切于 , 弦 切 于 ,点 是 延长线上一点,OISBITPI 求证 充要条件是 .（2014 6 8 8：49于镇江大港中学）TSP GDFEHB A C M N J GDFEOHB A C 证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）过 作两圆公切线交 于 ,SATQ 线段 交于 , 等价于 ,等价于 ,因为

13、ASQI、 RTSP/IRIRP ,得到 ,因此， 等价于 ,等价于TB/SASIP ,即/IP 例12、刚才看了一下2014年第5期中等数学数学奥林匹克问题（高）3 83，不难，我把解答写一下 已知 H 是锐角 的垂心，以 为直径的圆交 外接圆于 ,直线 交BCAHB、 BHCDE、 A 于 ,直线 交于 ,GE、 F 求证 /F 证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设 外接圆为 ,BHC 直线 交 于 ,所以 共线，延长 交 于点 ,易知AGONHON、 、 AM 四点共圆，所以 ,所以 ,同理MHD、 、 、 BADN/BAC , 所以 是平行四边形，得到 是 中点，连接 交 于 ,

14、BCGC、 FOJ 因为 ,可知 共线，所以 是 中位线，EAFOJ、 、 OAHBJC、 得到 平行且相等，所以 是 中点，可知HJ、 F/G B C A F E N B C M L A F EKD HEDO AB C KJ HEDO AB C 例13、（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设 周长为 ，ABC2p ，求证 的 旁切圆与 外接圆外切。（2014-6-12 AEFpCABCAB 8：56） 证明 设 的 旁切圆切直线 于 , 交 外接圆于BEF、 、 DLM、 、 EF ,直线 交 的 旁切圆于 NDK , ,所以 ,所以 ,2AFLAKDA180FAAN 所以点 在 外接圆外接

15、圆上，因为 是E 中点，所以点 是两圆的切点，即 的 旁切圆与 外接圆外切。BBCB 例14、 于 ， 是 垂心，外心， 交 于 ，DABHO、 ABCOEA 求证 BE 证明(一) 延长 交 于 ,延长 交 于 ,根据蝴蝶定理可知 ,根据鸭爪定理可COJEBJKE 知 ,所以 ,等腰 .DH/ACDH 证明（二）在 取 使得 ,所以 ,设 交于 ,BSSACBOHCS、 T TS HEDO AB C L K BA D Q P C L K BA JD O Q P C TS YX E LK BA D Q P C ,根据等角共轭点性质，可知 ,又CBODTCDTBOCE ,可知 四点共圆，可知HA

16、CSSH、 、 、EAB 例15、第47届 预选，2006年IMO 如图，在梯形 中， , ,点 分别在线段 上，且ABCD/ABCD KL、 AC、 , 分别在直线 上，且 , .AKLBPQ、 KLPQD 求证 四点共圆、 、 、 证明（一） 因为 ，易知 共点，设为 ,AKDLBCAQPDC、 、 O 设 交圆 于 , ,因此A()JBO 是圆 切线， ,所以 ,QDCPJ/JA 所以 ,因此 四点共圆POJAPQ、 、 、 证明 （二） （文武光华数学工作室 潘成华）因为(AK/KB)=(DL/LC),AB/CD,根据 DE FO HB A C K M DE F OH B A C 位似

17、知识可知AD、QL、BC的延长线共点，设为E,过点L作LX/AP交AD 于X,作LY/PB交BC于Y,因此XY/AB,设XL、DQ交于S,LY、QC交于T, 根据Menelaus定理可知(XS/SL)=(XD/DE)*(EQ/LQ)=(YC/CE)*(EQ/LQ)=(YT/TL),于是ST/ /XY, SQT+SLT=DAB+ADC=180,所以L、S、Q、T四点共圆， 易知SQL=STL=XYL=ABP=180-APB-BAP=180-ADC-BAP DAP,进而A,D,P,Q四点共圆 例16、2012年西部数学奥林匹克几何题 已知 外心、垂心分别是 、 , 于 ,ABC OHADBC 中垂

18、线交 延长线于 .求证 外接圆过 中点.OEFOH 证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）取 、 中点 ,根据欧拉定理可知 ,所以OCMK、 2/AO、 ,所以 ,又易知 ,所以 ,因此/MFK、 OFAMKFM 是等腰梯形，可知 四点共圆，因为 四点共圆，所AD、 、 、 E、 、 、 以 在 外接圆上,即 外接圆过 中点 .EEH EB D C A S EB D C A O GF I H E CB A D J GF I H E CB A D 例17、已知两同心圆，从大圆上一点 作 切小圆于 ,ABC、 BC、 直线 交大圆于 .求证 ACD2AEBC 证明（文武光华数学工作室 南京 潘成

19、华）设两圆圆心 ,O 延长 交 分别交大圆于 ,所以 是 中位线，ABC、 A、 SD、 BCASD , ,所以 ,DESEBSEE 所以 ,所以 ,结论等价于 ，等价于22C2 ,因为 得证2CB222DCOBC 例18、（2004年日本数学奥林匹克几何题） 已知 如图，点 分别是 上两点，且 过点 分别作E、 AB、 ADE、 的平行线交过点 作 外接圆的切线分别于 ,延长直线 交ACB、 CI、 DE 外接圆于FG、 求证（1） 四点共圆，(2) 是 切线I、 、 、 FG（ ） IKOH FE D CB A O F ED CB A KOH FE D CB A 证明 因为 , ,因为 ，

20、所以直线 交点必在 上设为/HGAC/DEIACEBDHEI、 BCJ , ,所以 四点共圆，同理 四点共圆BIJHJ、 、 、 AJ、 、 、 因此 四点共圆同理 四点共圆，F G、 、 、 IFG、 、 、 于是 四点共圆， ,所以 是 切F、 、 、 BJH（ ） 线 例19、已知 分别是圆 两切线、 是切点， 平分 ,交ABC、 OC、 DCB 于 , 切 于 ,交 延长线于 .BDOEF 求证 3F 证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）连接 交 于 , 交于AOBCIEDO、 ,设线段 交 于 ，易知 分别是 中点， 共线，KCDOHIK、 E、 H、 、 、 根据配位中线知识可

21、知 ,所以 ,又 ,所以ECB ,进而 ,又 ,EB2F 得到 ,即 .24F3F 证明（二） ,2EDHCKDO 所以 , ,所以KO ,所以 ,可知HBBCEACECHE BG FCED J A T RS BG FCED J A 于是 ,得到 ,下面同证法（一）BKHCEBKE 例20、回答广州陈泽桐老师几何题 已知 是 的 旁切圆， 是切点，点 是 延长线上一点，JABDE、 FDE 交 于 .CFG 则 的充要条件是FGB 证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设 交于 , 延长线交直线 于 , 交直线 于点 ,三角形三JCDE、 SBAERCSADT 角 ,根据 定理 ,所以 ,A

22、B、 、 Menlaus1DGFCFEG , = 所以 四点共圆1902BJBJ、 、 、 ，可知 ,可知 ,根据 定理, ,所以 ,SSRenlaus1SAR B ,ABABCED si()2C 成立的充要条件是 (1)，FGsin()EGB , sin2ECJCJDD 等价于 ,即FAB11sisin()2TTCAsinsin22()()CEDGAB 根据（1）结论成立 例21、已知：自 外一点 作切线 及割线 ，自 作 的平OPB、 PP 行线，分别交 于 。求证： 。ABD、 EF、 EF F ECA B O D P MFE CA B O D P GFEC DO A B KM GFEC

23、 DO A B 证明：联结 O，作 于 。由垂径定理知 。AB、 MCCM 由 ，得 都在以 为直径的圆上，90PPAB、 、 PO 即 四点共圆， 。而 ，得 由此、 、 、 /EAEC ，推出 四点共圆。BMECE、 、 、 得 而 ，故 ，、 BDCD 。在 中，由中位线逆定理即得 。/ADFF 例22、已知 为 上一点， 为圆外一点， 分别与 相切于OBC、 O ， 于 ， 分别交 于 。求证： 。、 EEAC、 G、 G 证明：设 交 于 ，联结 交于 。则 垂直平分 ，即 是 中ABKOBCD、 MOBCDM 点。联 。由 ，得 ，MDF、 、 2AKA 于是 ，由此 ，得 四点共

24、圆，FEF、 、 、 于是 ， 。因 是 中点，故 也是 中点，/ G I J C B A O DP L K I J CB A O DP F E A B C D M K F E A B C D X Y F E A B C D 即 。证毕DFG 例23、已知 是 切线， 是切点， 是割线， 交PB、 OAB、 PCD/JP 于 ,直线 交 于 ,求证 (2013 11 11 21:30)BJCIIP 证明作 于 ,延长 于 ,易知 五点共圆，可知OKPDACDJ、 LAPBKO、 、 、 、 ,所以 四点JABK、 、 、 共圆，于是 ,于是A ,易知 ,JJ/CD 所以 ,进而根据相似知识可知

25、 .LIP 例24、 是等边三角形， , ,连接 ,取 中点 ,ABC/DBEEF 求证 120F 证明（田开斌给出）延长 到 ,使得 , ,所EDK=DKEBAB 以 ,所以 ,于是 , ,可ADKBAC1302 知 ,因为 ，所以30M/ 0AF 证明（二）上海-leenco林可先生证明： 作等边三角形 ,连接 交 延长线于BYD O E D H B A C M N O E DH B A C ,连接 ,所以 是 外心， ,XBYDEB30Y 所以 ,得到ADCX 四点共圆，于是 ,得到、 、 、 6 夹角 ，可知 ,所以 ,XYBE、 6090YEYECF 于是 , ,FABDB 所以 ,

26、易知 ,得到 ，进而18AD60DEB20 例25、已知 中， 是 垂心，外心， 交 于 ,CHO、 C/HCD 交 于 ,求证 ./HECB 证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）取BC中点M, 连接OM,AH、DE,设AH、DE交于点N,连接ON,HM, BHC=180-BAC=ADH,HAD=CBH,所以AHD BCH,于是HDNCHN,进而HND=CMH, 根据Euler定理，四边形ONHM是平行四边形，得到ONH =OMH,所以OND=OMC=90,所以OE=OD. J HI D C A O B JM HI D C A O B 例26、已知四边形 是 内接四边形，且 , BCDOB

27、CD 交于点 ,点 分别是 外心.ACBD、 JI、 JA、 求证 平分O 证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）BAI=HAD, 所以IAH=BAD,(AB/2AI)=sinAJB=sinAJD=(AD/2AH),可知(AI/AH)=(AB/AD)(1), 所以AIHABD,AIO=90+BAI=90+90-AJB=BJC, AIO=ABD=ACB, 所以IAO=DBC,同理HAO=BDC,设AO、JH交于点M, 即证明IM=MH,也就是AIsinIAO=AHsinHAO, 等价于(AI/AH)=(sinHAO/sinIAO)=(sinCDB/sinCBD)=(CB/CD),因为(AB/A

28、D)=( BC/CD)， FE N M D O CB A P X L FE M D O CB A P X F E N M D O CB A P 根据（1）结论显然成立 例27、已知 是 外接圆， 是 边 中垂线所在的弦，OABCNABC , 交 分别于 ./DPANEF、 EF、 求证 明（苏州学生方法）过M作MLAC于L,MXAB于X,，根据Simson线可知：L、X、D共线 ，易知AL=AX,所以DL/AN,因此P在直线DL上，M、E、P、X四点共圆， M、L、F、P四点共圆，MBC=LAM=MXL=MEF=MAB=BAM=MFE =MCB,所以ME=MF,进而PF=PE 证法（三）作MX

29、AB于X,所以ABM=ANM=PDM, 易知M、B、D、X四点共圆，所以ABM=XDM,于是 X、P、D共线，易知M、E、P、X四点共圆，所以 BME=AEM-ABM=MPX-MDP=DMP,同理 CME=DMP,MB=MC,进而MEBMCF,因此 ME=MF,得到PE=PF F D E MA O B K F D E MA O B D C FE OA B P D C FE OA B P例28、已知 EF、是以 为直径的半圆 两切线， 是切点， 交于 , 交 于 .ABOEF、 BEAF、 DBOC 求证 四点共圆D、 、 、 证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）EDA=EBA+DAB =(

30、1/2)(FOB+EOA)=(1/2)(180-EOF)=(1/2)EPF,PE=PF,所以P是圆（DEF) 圆心，所以PE=PD,可知PDE=PED=BAE=PCE, 于是P、E、D、C四点共圆 例29、如图，AB是圆O的切线，ADE为圆O的割线，D介于A, E之间。 M为AO的中点，圆M为ABO的外接圆，BD交圆M于F。 求证：EB为M的切线，当且仅当BD=DF。 证明： 上海曹珏贇先生解答 设ADE交圆M于K。由AKO=90, OE=OD知：DK=KE H GFD E M OA B M Q P FE A B C D S T M Q P FE A B C D ABDAEB = = 2ABD

31、ES22AEBD = BE为圆M的切线AEKD 设ADE交圆M于K。由AKO=90, OE=OD知：DK=KE 据题意知：ABD=BED, EBK=BAK= ABDBEK据题意知：BEO=EBO=BAO=ABM= ABMBEO于是D, K是对应点，又由于OKE=90，故MDB=90。 又由于MB=MF，故BD=DF。 证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设AE交M于H, BOD=2BED=2ABF=AMF,所以BODAMF, 可知AFBO=BDAM(1),因为MBO=BOM=AFD, BE是切线等价于EBH=BAH,等价于BHD=BDH, 所以AFD=ADF,因此BE是EB为M的切线等价

32、于BOMDFA,等价于AFBO=BMDF,因为BM=AM, 根据（1）可知BD=DF 例30、已知 是圆内接四边形 对边 的中点， 是 的中点EF、 ABCD、 MEF ，自 分别作 的垂线，垂足记为 。求证： 。BC、 PQ、 P 证明：自F分别作BC、AD的垂线，垂足记为S、T，联ST、PQ。 易知RtFCSRtEAQ，RtFDTRtEBP，得(FS/EQ)(FC/EA)(FD/EB)(FT/EP )，又SFTPEQ， EF H C A B D E F O B C A D JK H E F O B C A D S EF H C A B D FTSEPQ。得FTSEPQ，于是QPSSTQ18

33、0， 从而P、S、T、Q四点共圆。在直角梯形EPSF中，M是腰EF的中点， 故M落在线段PS的中垂线上；同理，M也落在线段QT的中垂线上。 故M就是P、S、T、Q四点所共圆的圆心。 MPMQ。 例31、已知设 是 垂心，点 分别在边 上，HABCDEF、 、 BC、 、 且 , .=DFBCE 求证 四点共圆A、 、 、 证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）延长FD交CH延长线于S, 因为BAH=DCH=90-ABC=(1/2)FDB,所以DSC=DCH=FAH, 即S、A、H、F四点共圆，因为DS=DE=DC, 所以点D是SEC外接圆圆心，所以SEA=(1/2)SDC =AFS,所以S、

34、E、A、F四点共圆，因此A、 H、F、S、E五点共圆，进而A、H、F、E四点共圆 例32、第27届俄罗斯数学奥林匹克几何题，2001年 已知 是 边 是一点， 中垂线分别交 于 ,点 是DABCDBC、 ABC、 FE、 O 外心. 求证 四点共圆EOF、 、 、 Q P B D O CA ZY X J H M K Q L P B D O C A 证明 （文武光华数学工作室 南京 潘成华）作D关于EF对称 点H,可知F是BHD外接圆圆心，E是CHD外接圆圆心， 过E、F分别作BC垂线EJBC于J,FKBC于K,HEC=2FEJ =2(180-EFK)=360-HFD-BFD=HEB,因此BHF

35、=EHC 可知BHC=EHF=EDF=BAC,因此H在ABC外接圆圆O上， 于是OFBH,OEHC,进而180=EOF+BHC=EOF+BAC, 即A、E、O、F四点共圆 例33、已知 与 反向相似，直线 交于 , 与ADCABCD、 PB 外接圆交于另一点 ,PACQ 求证 Q 证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设直线PB、PC 交OPQ外接圆于H、J，过点K、I、M垂直于直线PH, B CI F A E P J B CI F A E KB CI F A E 且交PH分别于X、Y、Z,所以(KL/IM)=(XY/YZ)=(PA-PB/2)/(PH- PB/2)=(AB/AH), 同理(

36、KI/IM)=(DC/CJ),可知(AB/DC)=(AH/CJ)，得到因此(AO/OC)=(AB/DC)=(AH/ CJ)，易知 OHAOJC,进而H=J=90,所以Q=90,即OQPQ 第十九题已知（文武光华数学工作室 南京 潘成华） 是 中点， A, ,点 分别在 上，IBCACEAF、 ABC、 .EF 求证 是 角平分线（2013 10 7 7：46）IE 证明 (一)、作 外接圆，则 是切线，设 ,圆 EFAEF () 交 于另一点 ,设 圆心 , AP()IJ 易知 四点共圆， 共线，得到 ,J、 、 、 A、 、 JI ,所以 ,所以12IEI1()2IFBC12EFI 是 角平分线BF 证明（二）在 上取点 使得 ,ACKAEIEIKI 所以 四点共圆，因此 ,EI、 、 、 BIKCF 于是 是 角平分线IBF