1、用放缩法证明与数列和有关的不等式 江苏省江阴长泾中学 严 洁 邮编 214411 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类 问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力本文介绍一类与数列 和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求 和再放缩，二是先放缩再求和 一先求和后放缩 例 1正数数列 的前 项的和 ，满足 ，试求：nanS12na （1）数列 的通项公式； （2）设 ，数列 的前 项的和为 ，求证：1nabnbnB2n 解：（1）由已知得 ， 时， ，作差得：2)(4nS1)(4naS ，所以 ，又因为
2、为正数1224nna 0)(1nnana 数列，所以 ，即 是公差为 2 的等差数列，由 ，得 ，1a121S 所以 2n （2） ，所以)12(1)2(1 nnabn )(153( Bn 注：一般先分析数列的通项公式如果此数列的前 项和能直接求和或者通过变形后求和，n 则采用先求和再放缩的方法来证明不等式求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列 （这里所谓的差比数列，即指数列 满足条件 ）求和或者利用分组、nafan1 裂项、倒序相加等方法来求和 二先放缩再求和 1放缩后成等差数列，再求和 例 2已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ,且 .nanS2naS (1) 求证： ； 214naS
3、 (2) 求证： 11222n nSS 解：（1）在条件中，令 ，得 ， ，又由条件1n1122aSa10a 有 ，上述两式相减，注意到 得nnSa222n nnS1 0)(11n 1n 所以， ， n()2nS 所以 4)1(2)( 21nn aS （2）因为 ，所以 ，所以)(n2)(2)1(3121 nSSn 213n ；31n )(221 nn SS 2放缩后成等比数列，再求和 例 3 （1）设 a，nN *，a 2，证明： ；nnnaa)1()2 （2）等比数列a n中， ，前 n 项的和为 An，且 A7，A 9，A 8 成等差数列设1 ，数列b n前 n 项的和为 Bn，证明：B
4、 n nn2 13 解：（1）当 n 为奇数时，a na，于是， naa)()(2 当 n 为偶数时，a11，且 ana 2，于是 nnnnn )1()(1)()1()(2 （2） ， ， ，公比 9789A89A89a982aq nna)21( nnnnb31)2(4)21( nnbB21 31)2(13322 nn 3放缩后为差比数列，再求和 例 4已知数列 满足： ， 求证：na1)3,21()(naan1123na 证明：因为 ，所以 与 同号，又因为 ，所以 ，n)(1n 010na 即 ，即 所以数列 为递增数列，所以 ，01nnaana1 即 ，累加得： a2 121nn 令 ，
5、所以 ，两式相减得：12nnS S32 ，所以 ，所以 ，n13 1nn 123nna 故得 112nna 4放缩后为裂项相消，再求和 例 5在 m（m2）个不同数的排列 P1P2Pn中，若 1 ijm 时 PiP j（即前面某数大 于后面某数） ，则称 Pi 与 Pj 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序 数. 记排列 的逆序数为 an，如排列 21 的逆序数 ，排列 321 的逆3)1(n 1a 序数 63a （1）求 a4、a 5，并写出 an的表达式； （2）令 ，证明 ，n=1,2,.nnb1 32221bn 解（1）由已知得 ， .5,04a 2)1()(n （
6、2）因为 ，,221 nbnn 所以 .21 又因为 ，,1,2nnbn 所以 )21()4()3121 n = .3n 综上， . ,1,3221 bn 注：常用放缩的结论：（1） )2(1)(1)1(12 kkkk （2） )(12)1( kk 在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形 式如例要证明的结论 、 为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩23n)1( 为等差数列，再求和即可；如例 3 要证明的结论 为等比数列求和结果的类31)2(n 型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例 4 要证明的结论 为差比数列求12n 和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例 5 要证明的结论 为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项2132nn 的差，再求和即可 虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困难的问题，但是我们通过仔 细分析它的条件与要证明的结论之间的内在关系，先确定能不能直接求和，若不能直接求 和则要考虑把通项朝什么方向进行放缩如果我们平时能多观测要证明结论的特征与数列 求和之间的关系，则仍然容易找到解决这类问题的突破口 本文发表在扬州大学主办的高中数学教与学2007 年第 8 期 刊号 ISSN 10071830
