第74讲--几何证明与计算(K字型的妙用).doc

1、第二轮复习 第 74 讲 几何证明与计算 （“K ”字型的妙用） 三角形和四边形作为初中几何的核心知识，是近几年重庆中考重点考查的内容， 试卷呈现的有关几何题问题的计算、证明与探究，能较好地考察学生的逻辑思 维能力和分析问题、解决问题的能力，常考的知识包括：全等三角形、特殊三 角形和特殊四边形性质与判定，线段中垂线、角平分线的性质与判定等相关知 识，灵活地掌握辅助线的做法是解决这类问题的关键。 学习目标： 1. 学会识别、构造“K”字型，积累作辅助线的数学经验 2. 经历识别、构造基本图形的过程，提高综合分析问题的能力 学习重点：会用“K”字型的性质解决问题 学习难点： “K”字型的构造 学习

2、过程： 一、温故知新 观察下列基本图形，你能得出什么结论？ （1）如图，已知：点 B、C、D 在同一直线上，ACEC ，AB BD，EDDB. 追问 1：这个图形有什么特征？ 追问 2：若 AC=CE，若 ACCE，你有什么新的发现？ （2）如图，已知：ABC=ACE=D，问：A 、ECD 有何关系？ （3） “K”字型呈现形式： A B C D E A B C D E 二、自主练习： 1如图，等边ABC 的边长为 9，BD=3，ADE=60 度，则 AE 长为 . 2如图，F 是正 方形 ABCD 的边 CD 上的一个动点， BF 的垂直平分线交对角 线 AC 于点 E，连接 BE，FE，则

3、EBF 的度数是（ ）. A45 B50 C60 D不确定 三、经典例题： 例： 如图，在 ABC中， ，过点 C 作 AC 的垂线 CE，且 CE=CA，90 连接 AE、 BE. （1）若 ，求四边形 ABCE 的面积；3tan,2E （2）若 ，求证 .EABBC 四、赢在中考： 1小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线 a、b 上（如图） ， 已知 2=35，则 1 的度数为（ ）. A55 B35 C45 D125 2如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 顶点 A 的坐标为（0，2） ，B 点 在 x 轴上，对角线 AC，BD 交于点 M，OM= ，则点 C 的坐

4、标为 3 3正方形 ABCD 中，E 是对角线 BD 上一点，过点 E 作 EFCE 交 AB 于点 F若 BF=2，BC=6 ，求 FE 的长. CMDA B y O x 五、感悟数学： 六、课后作业： 1 如图，已知第一象限内的点 A 在反比例函数 y = 的图象上，第二象限内的 2x 点 B 在反比例函数 y = 的图象上，且 OAOB ，t anB= ， kx 33 则 k 的值 2. 如图，在 中， ，点 B 在 轴上，且 ，A 点的横ABCRt90x01，B 坐标是 2，AB=3BC，双曲线 经过 A 点，双曲线 经过 C 点，4mxy xmy 则 的值为（ ）m A12 B9 C

5、6 D3 3如图， 矩形 ABCD 的顶点 A、D 在反比例函数 的图象上，顶点6(0)yx C、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，且 ，再在其右侧作正方形2BC DEFG、FPQR（如图所示） ，顶点 F、R 在反比例函数 的图象上，()yx 顶点 E、Q 在 x 轴的正半轴上，则点 R 的坐标为 4已知：在 ABCD 中，AECD，垂足为 E，点 M 为 AE 上一点，且A ME=AB，AM=CE，连接 CM 并延长交 AD 于点 F （1）若点 E 是 CD 的中点，求证：ABC 是等腰三角形 （2）求证：AFM=3 BCF 德中命制人：邓宏书 审稿人：刘加勇 “K”字型的妙用参考答

6、案 二、自主练习： 1 7 2. 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质菁优网版权所有 【专题】几何图形问题 【分析】过 E 作 HIBC，分别交 AB、CD 于点 H、I，证明 RtBHERtEIF，可得 IEF+HEB=90，再根据 BE=EF 即可解题 【解答】解：如图所示，过 E 作 HIBC，分别交 AB、CD 于点 H、I ，则BHE=EIF=90 ， E 是 BF 的垂直平分线 EM 上的点， EF=EB， E 是 BCD 角平分线上一点， E 到 BC 和 CD 的距离相等，即 BH=EI， RtBHE 和 RtEIF 中， ， RtBHERtEIF（HL） ， HBE=

7、IEF， HBE+HEB=90， IEF+HEB=90， BEF=90， BE=EF， EBF=EFB=45 故选：A 【点评】本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质，考查了直角三角形全等的判定， 全等三角形对应角相等的性质 三、经典例题： 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角 形菁优网版权所有 【分析】 （1）易求得 AC 的长，即可求得 BC，AC 的长，根据四边形 ABCE 的面积=S ABC+SACE 即可解题； （2）作 EDAB，EF BC 延长线于 F 点，易证 BAC=ECF，即可证明 ABCCFE，可 得 EF=BC，再根据等腰三

8、角形底边三线合一即可求得 AD=BD，即可解题 【解答】解：（1）AC CE，CE=CA， AC=CE= AE= ， tanBAC= ， BAC=30， BC= AC= ， AB= BC= ， 四边形 ABCE 的面积=S ABC+SACE= ABBC+ ACCE = + = +1； （2）作 EDAB，EF BC 延长线于 F 点， 则四边形 BDEF 为矩形， EF=BD， ACB+ECF=90，ACB+ BAC=90， BAC=ECF， 在 ABC 和CFE 中， ， ABCCFE， （AAS ） EF=BC， ABE 中，AE=BE ，ED AB， AD=BD， AB=AD+BD=2B

9、D=2EF=2BC， 即 AB=2BC 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的性质，本题中求证ABC CFE 是解题的关键 四、赢在中考： 1.【考点】平行线的性质；余角和补角菁优网版权所有 【分析】根据ACB=90 ，2=35求出3 的度数，根据平行线的性质得出 1=3，代入即 可得出答案 【解答】解： ACB=90，2=35， 3=1809035=55， ab， 1=3=55 故选 A 【点评】本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，解此题的关键是求出3 的度数和得出 1=3，题目比较典型，难度适中 2. 【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权

10、所有 【专题】压轴题 【分析】过点 C 作 CEx 轴于点 E，过点 M 作 MFx 轴于点 F，MP y 轴，根据正方形的 性质可以得出 MB=MA，可证明AMPBMF，就可以得出 PM=MF，就可以证明四边形 OFMP 是正方形，由勾股定理就可以求出 OF 的值，再由 AOBPBECF，从而得出 C 点 的纵坐标 【解答】解：过点 C 作 CEx 轴于点 E，过点 M 作 MFx 轴于点 F，连结 EM， MFO=CEO=AOB=APM=90， 四边形 POFM 是矩形， PMF=90， 四边形 ABCD 是正方形， ABC=AMB=90，AM=BM ， OAB=EBC，AMP=BMF，

11、AMPBMF（AAS） ， PM=FM，PA=BF ， 四边形 POFM 是正方形， OP=OF= =3 ，2OM A（ 0， 2） ， OA=2， AP=BF=3-2=1， OB=3+1=4， 在 AOB 和BEC 中， ， AOBBEC（AAS） ， OB=CE=4 ，AO=BE=2 P OE=4+2=6， C（6，4） 故答案为：（6，4） 【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行线等分 线段定理的运用，坐标与图形的性质的运用，解答时求证四边形 POFM 是正方形是关键 3. 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有 【分析】连接 CF，

12、由正方形的性质得出B=90，再由 EFCE，证得 MEFNCE，得出 CEF 为等腰直角三角形，求得 EF= = CF，再由勾股定理求得 CF 即可 【解答】解：连接 CF,过点 E 作 MNAD，交边 AB 于点 M，边 CD 于点 N.如图所示： 四边形 ABCD 为正方形， 可得四边形 AMND 为矩形， MN=AD=CD DNE=90，BDC=45， DN=EN ME=CN EFCE， CEF=90， MEF=ECN 且FME= ENC=90 MEFNCE（ASA） ， EF=CE CEF 为等腰直角三角形， EF= = CF， 由勾股定理得：CF= = =2 ， EF= 2 =2 ，

13、 故答案为：2 【点评】本题考查了正方形性质、三角形全等的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形 的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键 六、课后作业： 1. 【考点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征菁优网版权所有 【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得 ，根据 tanB= = ，可得 ，根据待定系数法，可得答案 【解答】解：作 ADx 轴于点 D，作 BCx 轴于点 C，设 A 点坐标是（x，y） ， C=D=90 AOB=90， BOC+AOD=90， AOD+OAD=90， BOC=OAD， 又D= C， OADBOC， tanB= =

14、， ， y=AD= OC，x=OD= BC， 第一象限内的点 A 在反比例函数 y= 的图象上， xy= OC BC=2， k=OCBC=23=6， 故答案为：6 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质，锐角三 角函数，待定系数法求函数解析式 2.【考点】反比例函数系数 k 的几何意义菁优网版权所有 【分析】过点 A 作 AEx 轴于 E，过点 C 作 CFx 轴于 F，由 A 点的横坐标是 2，且在双 曲线 y= 上，求出点的坐标，得到线段的长度，利用三角形相似得到点的坐标，列方程4mx 求解 【解答】解：过点 A 作 AEx 轴于 E，过点 C 作 CFx

15、轴于 F， A 点的横坐标是 2，且在双曲线 y= 上，4mx A（ 2， 2m） ，ABC=90， ABC+CBF=ABC+BAC=90， ABC=FCB， ABEBCF， = = =3， CF=1，BF= ，23m C（ 1 ，1） ， 双曲线 y= 经过 C 点，x 1 =m，23 m=3， 故选 D 【点评】本题考查了根据函数的解析式求点的坐标，相似三角形的判定和性质，过双曲线 上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，构造直角三角形 3. 【考点】反比例函数综合题菁优网版权所有 【专题】综合题 【分析】过 D 作 DMx 轴， FNx 轴，RI FN，RHx 轴，由 ABCD 为矩形，利用

16、对称性 得三角形 OBC 为等腰直角三角形，继而得到三角形 CDM 为等腰直角三角形，即两三角形 相似，且相似比为 1：2，设 OB=OC=a，则有 CM=DM=2a，表示出 D 坐标，代入反比例 解析式求出 a 的值，确定出 D 坐标，得出 DM 与 OM 长，利用 AAS 得到三角形 DME 与 三角形 EFN 全等，利用全等三角形对应边相等得到 ME=FN，DM=EN，设 F 纵坐标为 b， 代入反比例解析式得到横坐标为 ，由 OM+ME+EN 表示出 ON，即为横坐标，列出关于 b 的方程，求出方程的解得到 b 的值，确定出 F 坐标，得到 ON，FN 的长，同理得到三角形 RFI 与

17、三角形 RQH 全等，设 R 纵坐标为 c，由 ON+NH 表示出横坐标，将 R 坐标代入反比 例解析式求出 c 的值，即可确定出 R 坐标 【解答】解：过 D 作 DMx 轴，FNx 轴，RI FN，RHx 轴， ABCD 为矩形，A 与 D 在反比例图象上，且 AB=2BC， BCD=90，OBC= OCB=45， MCD=MDC=45， BOCCMD，且相似比为 1：2， 设 OC=OB=a，则 CM=DM=2a，OM=OC+CM=a+2a=3a ， D（ 3a，2a） ， 将 D 坐标代入反比例 y= 中得：6a 2=6，即 a2=1， 解得：a=1（负值舍去） ， DM=2，OM=3

18、 ， DEFG 为正方形， DE=EF，DEF=90， MDE+MED=90，MED+NEF=90， MDE=NEF， 在DME 和ENF 中， ， DMEENF（AAS ） ， DM=EN=2，FN=ME， 设 F（ ，b） ，则 FN=ME=b，ON=OM+ME+EN=3+b+2 ， 可得 5+b= ，即 b2+5b6=0，即（b+6） （b1）=0， 解得：b=1 或 b=6（舍去） ， F（ 6，1） ，即 ON=6，FN=1， 同理RFIRQH， 设 RH=RI=NH=c，即 R（6+c，c） ， 将 R 坐标代入 y= 中得：c （ 6+c）=6， 即 c2+6c+9=（c+3）

19、2=15， 解得：c= 3+ 或 c=3 （舍去） ， 则 R（3+ ，3+ ） 故答案为：（3+ ， 3+ ） 【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三 角形的判定与性质，坐标与图形性质，利用了方程的思想，熟练掌握反比例函数的性质是 解本题的关键 4. 【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质菁优网版权所有 【专题】证明题 【分析】 （1）易证ADC 是等腰三角形，所以 AC=AD，根据平行四边形的性质可知： AD=BC，所以 AC=BC，即ABC 是等腰三角形 （2）连接 BM，由已知条件可证明：ABMECM ，所以CME=AMF，再根据三角形 外角之间的关系即可证明：AFM=3BCF 【解答】证明：（1）AECD，CE=DE ， AC=AD， 四边形 ABCD 是平行四边形， BC=AD， AC=BC， ABC 是等腰三角形； （2）连接 BM， ABCD， BAM=CEM， 在ABM 和ECM 中， ， ABMECM（SAS） ， AMF=ACM+CAM，CME= AMF， CME=ACM+CAM， CAE=DAE， AFM=3BCF