1、1 圆梦教育中心 圆与方程知识点总结 1. 圆的标准方程：以点 为圆心， 为半径的圆的标准方程是 .),(baCr 22)()(rbyax 特例：圆心在坐标原点，半径为 的圆的方程是： .2ry 2. 点与圆的位置关系： (1). 设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r： a.点在圆内 dr； b.点在圆上 d=r； c.点在圆外 dr (2). 给定点 及圆 .),(0yxM22)()(:rbyaxC 在圆 内 C02 在圆 上 20)()rbyax（ 在圆 外M02 （3）涉及最值： 1 圆外一点 ，圆上一动点 ，讨论 的最值BPBminNCraxM 2 圆内一点 ，圆上一动点 ，讨论 的最
2、值APA minNrAC axM 思考：过此 点作最短的弦？（此弦垂直 ）AAC 3. 圆的一般方程： .02FEyDx (1) 当 时，方程表示一个圆，其中圆心 ，半径 .042FE 2,EDC24FEDr (2) 当 时，方程表示一个点 .2D2, (3) 当 时，方程不表示任何图形.04 2 注：方程 表示圆的充要条件是： 且 且 .022 FEyDxCyBxA 0B0CA042AFED 4. 直线与圆的位置关系： 直线 与圆 0yx 22)()(rbyax 圆心到直线的距离 2BACd 1） ；无 交 点直 线 与 圆 相 离 rd 2） ；只 有 一 个 交 点直 线 与 圆 相 切
3、 3） ；弦长|AB| =2有 两 个 交 点直 线 与 圆 相 交rd 2dr dr d=r r d 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 求解，通过解的个数来判断：02FEyDxCBA （1）当 时，直线与圆有 2 个交点， ，直线与圆相交；0 （2）当 时，直线与圆只有 1 个交点，直线与圆相切； （3）当 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 5. 两圆的位置关系 （1）设两圆 与圆 ，21211)()(:rbyaxC 22)()(: rbyaxC 圆心距 22d 1 ；条 公 切 线外 离 421r 2 ；交交3 3 ；交22121rdr 4 ；交 5 ；交210r 3 外离 外切
4、 相交 内切 （2）两圆公共弦所在直线方程 圆 ： ， 1C2110xyDEyF 圆 ： ，222x 则 为两相交圆公共弦方程.111y 补充说明： 1 若 与 相切，则表示其中一条公切线方程；1C2 2 若 与 相离，则表示连心线的中垂线方程 . （3）圆系问题 过两圆 ： 和 ： 交点的圆系方程为1C2110xyDEyF2C220xyDxEyF （ ）2 220xEF1 补充： 1 上述圆系不包括 ；2 2 2）当 时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）1 3 过直线 与圆 交点的圆系方程为0AxByC20xyDEF2 0xyDEF 6. 过一点作圆的切线的方程： (1) 过圆外一点的切线
5、： k 不存在，验证是否成立 k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离 =半径，即1)(2001Rxakyb 求解 k，得到切线方程【一定两解】 例 1. 经过点 P(1，2)点作圆( x+1)2+(y2)2=4 的切线，则切线方程为 。 (2) 过圆上一点的切线方程：圆( xa)2+(yb)2=r2，圆上一点为( x0， y0)， 4 则过此点的切线方程为( x0a)(xa)+(y0b)(yb)= r2 特别地，过圆 上一点 的切线方程为 .2ry,P20ryx 例 2.经过点 P(4，8)点作圆( x+7)2+(y+8)2=9 的切线，则切线方程为 。 7切点弦 (1)过 C： 外一点
6、作 C 的两条切线，切点分别为 ，则切点弦 所在直22)()(rbyax),(0yxPBA、 A 线方程为： 200 rb 8. 切线长： 若圆的方程为( xa)2( yb)2=r2，则过圆外一点 P(x0,y0)的切线长为 d= 2020b)(+)(ryax 9. 圆心的三个重要几何性质： 1 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； 2 圆心在某一条弦的中垂线上； 3 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法 例.已知圆 C1： x2 +y2 2x =0 和圆 C2： x2 +y2 +4 y=0，试判断圆和位置关系， 若相交，则设其交点为 A、B，试求出它们的公共弦 AB 的方程及公共弦长。
