圆锥曲线知识总结.doc

1、1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点 F ，F 的距 离的和等于常数 ，且此常数 一定要大于 ，当常数等于 时，轨迹是线段 F F ，当常数小于 时，无轨迹；双曲线中，与两定点 F ，F 的距离的差的绝对值等 于常数 ，且此常数 一定要小于|F F |，定义中的“绝对值”与 |F F |不可忽 视。若 |F F |，则轨迹是以 F ，F 为端点的两条射线，若 |F F |，则轨迹不 存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线 距为分母”，其商即是离心率 。

2、圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距 离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 例题讲解: 已知定点 ，在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是( ) A B C D （）； 方程 表示的曲线是_ _ 已知点 及抛物线 上一动点 P（ x,y）,则 y+|PQ|的最小值是_ 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对 称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在 轴上时 （ ） （参数方程， 其中 为参数），焦点在 轴上时 1（ ）。方程 表示 椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B，C 同号，AB） （2）双

3、曲线：焦点在 轴上： =1，焦点在 轴上： 1（ ）。方程 表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时 ，开口向左时 ，开口 向上时 ，开口向下时 。 例题讲解: 已知方程 表示椭圆，则 的取值范围为_ 若 ，且 ，则 的最大值是_， 的最小值是_（ 双曲线的离心率等于 ，且与椭圆 有公共焦点，则该双曲线的方程 _ 设中心在坐标原点 ，焦点 、 在坐标轴上，离心率 的双曲线 C 过点 ，则 C 的方程为_ 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由 , 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由 ,

4、项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 例题讲解 已知方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是_ 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以 （ ）为例）：范围： ；焦点：两个焦点 ；对称性：两条对称轴 ， 一个对称中心（0,0），四个顶点 ，其中长轴长为 2 ，短轴长为 2 ； 准线：两条准线 ； 离心率： ，椭圆 ， 越小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁 （2）双曲线（以 （ ）为例）：范围： 或 ；焦点：两个焦点 ；对称性：两条对称轴 ，一个对称 中心（0,0），两个顶点 ，其中实轴长为 2 ，虚轴长为 2

5、，特别地，当实轴和虚 轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 ；准线：两条准线 ； 离心率： ，双曲线 ，等轴双曲线 ， 越小，开口 越小， 越大，开口越大；两条渐近线： （3）抛物线（以 为例）：范围： ；焦点：一个焦 点 ，其中 的几何意义是：焦点到准线的距离； 对称性：一条对称轴 ，没 有对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线：一条准线 ； 离心率： ， 抛物线 。 例题讲解 1)若椭圆 的离心率 ，则 的值是_ _； 2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最 小值为_ 3)双曲线的渐近线方程是 ，则该双曲线的离心率等于_（ 4)双曲线 的离心

6、率为 ，则 = （ 设双曲线 （a0,b0）中，离心率 e ,2,则两条渐近线夹角 的取值范围是_ 5)设 ，则抛物线 的焦点坐标为_（； 5、点 和椭圆 （ ）的关系：（1）点 在椭 圆外 ；（2）点 在椭圆上 1；（3）点 在 椭圆内 6直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交： 直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双 曲线相交不一定有 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一 个交点，故 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 直线与抛 物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线 与抛物线相交且只有一个交点，故 也仅是直线与抛

7、物线相交的充分条件，但不是必 要条件 （2）相切： 直线与椭圆相切； 直线与双曲线相切； 直 线与抛物线相切； （3）相离： 直线与椭圆相离； 直线与双曲线相离； 直 线与抛物线相离。 例题 若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则 k 的取值范围是 _ 直线 ykx1=0 与椭圆 恒有公共点，则 m 的取值范围是_ 过双曲线 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点，若 AB4，则这样 的直线有_条 特别提醒： （1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。 如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线

8、与抛物 线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点； （2）过双曲线 1 外一点 的直线与双曲线只有一个公共点的情况 如下：P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和 分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区 域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P 在 两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线； （3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条 平行于对称轴的直线 例题过点 作直线与抛物线 只有一个公

9、共点，这样的直线有 _ 过点(0,2)与双曲线 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 _； 过双曲线 的右焦点作直线 交双曲线于 A、 B 两点，若 4，则满足 条件的直线 有_条（； 对于抛物线 C： ，我们称满足 的点 在抛物线的内部， 若点 在抛物线的内部，则直线 ： 与抛物线 C 的位置关系是 _； 过抛物线 的焦点 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长 分别是 、 ，则 _； 设双曲线 的右焦点为 ，右准线为 ，设某直线 交其左支、右支和右准 线分别于 ，则 和 的大小关系为_ 求椭圆 上的点到直线 的最短距离； 直线 与双曲线 交于 、 两点。 当

10、为何值时， 、 分别在 双曲线的两支上？当 为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？ 7、焦半径（圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线 的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 ，其中 表示 P 到与 F 所对应的准 线的距离。 例已知椭圆 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的距离 为_； 已知抛物线方程为 ，若抛物线上一点到 轴的距离等于 5，则它到抛物线的 焦点的距离等于_； 若该抛物线上的点 到焦点的距离是 4，则点 的坐标为_ 点 P 在椭圆 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点 P 的 横坐标为_ 抛物线 上的两点 A

11、、B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB 的中点到 轴的距离 为_ 椭圆 内有一点 ，F 为右焦点，在椭圆上有一点 M，使 之值最小，则点 M 的坐标为_ 8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： 常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 到两焦点 的距离分别为 ，焦点 的面积为 ，则在椭圆 中， ，且当 即 为短轴端点时， 最大为 ； ，当 即 为短轴端点时， 的最大值为 bc；对于双曲线 的焦点三角形有： ； 。 例题短轴长为 ，离心率 的椭圆的两焦点为 、 ，过 作直线交椭圆 于 A、B 两点，则 的周长为_； 设 P 是等轴双曲线 右支上一点

12、，F 1、F 2是左右焦点，若 ，|PF 1|=6，则该双曲线的方程为 ； 双曲线的虚轴长为 4，离心率 e ，F 1、F 2是它的左右焦点，若过 F1的直线与 双曲线的左支交于 A、B 两点，且 是 与 等差中项，则 _； 已知双曲线的离心率为 2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 ， 求该双曲线的标准方程 9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径 的圆和准线相切；（2）设 AB 为焦点弦， M 为准线与 x 轴的交点，则 AMFBMF；（3）设 AB 为焦点弦，A、B 在准线上的射影分别为 A ，B ，若 P 为 A B 的中点，则 PAPB；

13、（4）若 AO 的延长线交准线于 C，则 BC 平行于 x 轴，反之，若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点，则 A，O，C 三点共线。 10、弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交于两点 A、B，且 分别为 A、B 的横坐标，则 ，若 分别为 A、B 的纵坐标，则 ，若弦 AB 所在直线方程设为 ，则 。特 别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦 点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 例题过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）两点，若 x1+x2=6，那么|AB|等于_ 过抛物线 焦点的直

14、线交抛物线于 A、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点， 则 ABC 重心的横坐标为_ 11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求 解。在椭圆 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 k= ；在双曲 线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 k= ；在抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。 例题如果椭圆 弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 已知直线 y=x+1 与椭圆 相交于 A、B 两点，且线段 AB 的 中点在直线 L：x2y=0 上，则此椭圆的离心率为_； 试确定 m 的取值范围，使得椭圆 上有不同的两点关于直线 对 称； 12你

15、了解下列结论吗？ （1）双曲线 的渐近线方程为 ； （2）以 为渐近线（即与双曲线 共渐近线）的双曲线方程为 为参数， 0) （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 ； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为 ，焦准距（焦点到 相应准线的距离）为 ，抛物线的通径为 ，焦准距为 ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线 的焦点弦为 AB， ，则 ； （7）若 OA、OB 是过抛物线 顶点 O 的两条互相垂直的弦，则直线 AB 恒经过定点 13 求曲线方程 （1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程

16、的常用方法： 直接法：直接利用条件建立 之间的关系 ； 例题讲解:已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方 程 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方 程，再由条件确定其待定系数。 例题讲解: 线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M（m，0） ，端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m， 以 x 轴为对称轴，过 A、O、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为 ； 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动 点的轨迹方程； 例题讲解(1)由动点 P 向圆 作两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，AP

17、B=60 0，则动点 P 的轨迹方程为 ；（2）点 M 与点 F(4,0) 的距离比它到直线 的距离小于 1，则点 M 的轨迹方程是_ （）；(3) 一动 圆与两圆M： 和N： 都外切，则动圆圆心的轨迹为 （ 代入转移法：动点 依赖于另一动点 的变化而变化，并且 又在某已知曲线上，则可先用 的代数式表示 ，再将 代入已知曲 线得要求的轨迹方程； 例题讲解: 动点 P 是抛物线 上任一点，定点为 ,点 M 分 所成的比为 2，则 M 的轨迹方程为_； 参数法：当动点 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时， 可考虑将 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 例

18、题:（1）AB 是圆 O 的直径，且|AB|=2 a，M 为圆上一动点，作 MNAB，垂足为 N， 在 OM 上取点 ，使 ，求点 的轨迹。；（2）若点 在圆 上运动，则点 的轨迹方程是_（）；（3）过抛物线 的焦点 F 作直线 交抛物线于 A、B 两点，则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是 _（）； 例题:已知椭圆 的左、右焦点分别是 F1（c，0）、 F2（c，0），Q 是椭圆外的动点，满足 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q 上，并且满足 （1）设 为点 P 的横坐标，证明 ；（2）求点 T 的轨迹 C 的方程；（3）试问：在点 T 的轨迹 C 上，是否存 在点 M，使F 1MF2的面积 S= 若存在，求F 1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.