1、物体的动态平衡问题解题技巧 湖北省恩施高中 陈恩谱 一、总论 1、动态平衡问题的产生三个平衡力中一个力已知恒定,另外两个力的大小或者方向不断变化, 但物体仍然平衡,典型关键词缓慢转动、缓慢移动 2、动态平衡问题的解法解析法、图解法 解析法画好受力分析图后,正交分解或者斜交分解列平衡方程,将待求力写成三角函数形式, 然后由角度变化分析判断力的变化规律; 图解法画好受力分析图后,将三个力按顺序首尾相接形成力的闭合三角形,然后根据不同类型 的不同作图方法,作出相应的动态三角形,从动态三角形边长变化规律看出力的变化规律。 3、动态平衡问题的分类动态三角形、相似三角形、圆与三角形(2 类) 、其他特殊类
2、型 二、例析 1、第一类型:一个力大小方向均确定,一个力方向确定大小不确定,另一个力大小方向均不确定 动态三角形 【例 1】如图,一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为 FN1,球对木板的压力 大小为 FN2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴,将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不 计摩擦,在此过程中 AF N1 始终减小,F N2 始终增大 BF N1 始终减小,F N2 始终减小 CF N1 先增大后减小,F N2 始终减小 DF N1 先增大后减小,F N2 先减小后增大 解法一:解析法画受力分析图,正交分解列方程,解出 FN1、F N2 随夹角变化的函数,然后由
3、函 数讨论; 【解析】小球受力如图,由平衡条件,有 0sin2Nmg0cos1N2F 联立,解得: ,sin2NFtan1Nmg 木板在顺时针放平过程中, 角一直在增大,可知 FN1、FN2 都一直在减 小。选 B。 解法二:图解法画受力分析图,构建初始力的三角形,然后“抓住不变,讨论变化”,不变的是小 球重力和 FN1 的方向,然后按 FN2 方向变化规律转动 FN2,即可看出结果。 【解析】小球受力如图,由平衡条件可知,将三个力按顺序首尾相接,可形成 如右图所示闭合三角形,其中重力 mg 保持不变,F N1 的方向始终水平向右,而 FN2 的方向逐渐变得竖直。 则由右图可知 FN1、FN2
4、 都一直在减小。 【拓展】水平地面上有一木箱,木箱与地面间的动摩擦因数为 (01)。现对木箱施加一拉力 F, 使木箱做匀速直线运动。设 F 的方向与水平地面的夹角为 ,如图所示,在 从 0 逐渐增大到 90的过程 中,木箱的速度保持不变,则 AF 先减小后增大 BF 一直增大 CF 一直减小 DF 先增大后减小 解法一:解析法画受力分析图,正交分解列方程,解出 F 随夹角 变化的函数,然后由函数讨 FN2mg FN1 FN1 FN2 mg 论; 【解析】木箱受力如图,由平衡条件,有 0sinNmgF0cosfF 其中 Nf 联立,解得: sinco 由数学知识可知 ,其中)c(12g1tan
5、当 时,F 最小,则 从 0 逐渐增大到 90的过程中,Farct 先减小后增大。选 A。 解法二:图解法可将弹力和滑动摩擦力合成为一个力,这个力的方 向是确定的,然后按“动态三角形法”的思路分析。 【解析】小球受力如图,将支持力 FN 和滑动摩擦力 Ff 合成为一个力 F 合 , 由 可知, 。NfFtan 由平衡条件可知,将三个力按顺序首尾相接,可形成如右 图 所示闭合三 角形,其中重力 mg 保持不变,F 合 的方向始终与竖直方向成 角。 则由右图可知,当 从 0 逐渐增大到 90的过程中, F 先减小后增大。 2、第二类型:一个力大小方向均确定,另外两个力大小方向均不确定,但是三个力均
6、与一个几何三 角形的三边平行相似三角形 【例 2】半径为 的球形物体固定在水平地面上,球心正上方有一光滑的小R 滑轮,滑轮到球面 的距离为 ,轻绳的一端系一小球,靠放在半球上的 点,Bh A 另一端绕过定滑轮后用力拉住,使小球静止,如图所示,现缓慢地拉绳,在使小 球由 到 的过程中,半球对小球的支持力 和绳对小球的拉力 的大小变化ANFTF 的情况是 A、 变大, 变小 B、 变小, 变大NFT C、 变小, 先变小后变大 D、 不变, 变小NT 解法一:解析法(略) 解法二:图解法画受力分析图,构建初始力的三角形,然后观察这个力的三角形,发现这个力 的三角形与某个几何三角形相似,可知两个三角
7、形对应边长比边长,三边比 值相等,再看几何三角形边长变化规律,即可得到力的大小变化规律。 【解析】小球受力如图,由平衡条件可知,将三个力按顺序首尾相接,可形 成如右图所示闭合三角形。很容易 发现, 这三个力与 的三边始终平行,OA 即力的三角形与几何三角形 相似。 则有。OALFRhmgTN 其中,mg、R、h 均不变,L 逐渐减小,则由上式可知, 不变,N 变 小。TF 3、第三类型:一个力大小方向均确定,一个力大小确定但方向不确定,另一个力大小方向均不确定 圆与三角形 【例 3】在共点力的合成实验中,如图,用 A,B 两只弹簧秤把橡皮条上的节点拉到某一位置 O,这 FN F mg Ff F
8、N F mg Ff F 合 F F 合 mg FN mg Ff FN mg Ff O O FT2 mg FT1 时两绳套 AO,BO 的夹角小于 90,现在保持弹簧秤 A 的示数不变而改变其拉力方向使 角变小,那么 要使结点仍在位置 O,就应该调整弹簧秤 B 的拉力的大小及 角,则下列调整方法中可行的是 A、增大 B 的拉力,增大 角 B、增大 B 的拉力, 角不变 C、增大 B 的拉力,减小 角 D、B 的拉力大小不变,增大 角 解法一:解析法(略) 解法二:图解法画受力分析图,构建初始力的三角形,然后“抓住不变,讨 论变化”保持长度不变 FA将 FA绕橡皮条拉力 F 端点转动形成一个圆弧,
9、 FB的一 个端点不动,另一个端点在圆弧上滑动,即可看出结果。 【解析】如右图,由于两绳套 AO、BO 的夹角小于 90,在力的三角形中,F A、FB 的顶角为钝角,当顺时针转动时 ,FA、FB 的顶角逐渐减小为直角然后为锐角。 由图可知,这个过程中 FB一直增大, 但 角先减小,再增大。故 选 ABC。 4、第四类型:一个力大小方向均确定,另两个力大小方向均不确定,但是另两个力的方向夹角保持 不变圆与三角形(正弦定理) 【例 4】如图所示装置,两根细绳拴住一球,保持两细绳间的夹角 =120不 变,若把整个装置顺时针缓慢转过 90,则在转动过程中,CA 绳的拉力 FT1,CB 绳的拉力 FT2
10、 的大小变化情况是 A、F T1 先变小后变大 B、F T1 先变大后变小 C、F T2 一直变小 D、F T2 最终变为零 解法一:解析法 1让整个装置顺时针转过一个角度 ,画受力分析图,水平竖直分解,由平衡条 件列方程,解出 FT1、F T2 随 变化的关系式,然后根据的变化求解。 【解析】整个装置顺时针转过一个角度后,小球受力如 图所示,设 AC 绳与竖 直方向 夹角为 ,则由平衡条件,有 0)cos(s2T1T mgini 联立,解得 ,si)(1TmgFsin2TF 从 90逐渐减小为 0,则由上式可知:F T1 先变大后变小,F T2 一直变小。 解法二:解析法 2画受力分析图,构
11、建初始力的三角形,在这个三角形中,小球重力不变, FT1、 FT2 的夹角 (180 )保持不变,设另外两个夹角分别为 、,写出这个三角形的正弦定理方程,即 可根据 、 的变化规律得到 FT1、F T2 的变化规律。 【解析】如图,由正弦定理有 T12sin()siinmg 整个装置顺时针缓慢转动 90过程的中 角和 mg 保持 不变, 角从 30增大, 角从 90减小,易知 FT1 先变大后 变小,F T2 一直变小。 解法三:图解法画受力分析图,构建初始力的三角形,由于这个三角形中重力不变,另两个力 的夹角(180 )保持不变,这类似于圆周角与对应弦长的关系,因此,作初始三角形 的外接圆(
12、任意两边的中垂线交点即外接圆圆心) ,然后让另两个力的交点在圆周上 按 FT1、 FT2 的方向变化规律滑动,即可看出结果。 【解析】如右图,力的三角形的外接 圆正好是以初态时的 FT2为直径的圆周,易知 F FB FA oABB A O F FBFA FT2 mg FT1 mg FT1 FT2 mg FT1 FT2 FT1 先 变 大到最大为圆周直径,然后变小, FT2 一直变小。答案为:BCD 5、其他类型 【例 5】如图所示用钢筋弯成的支架,水平虚线 MN 的上端是半圆形,MN 的下端笔直竖立一不可伸长的轻绳通过动滑轮悬挂一重物 G现将轻绳的一端 固定于支架上的 A 点,另一端从 C 点
13、处沿支架缓慢地向最高点 B 靠近(C 点与 A 点等高),则绳中拉力 A先变大后不变 B先不变后变大 C先不变后变小 D保持不变 解法一:解析法分两个阶段画受力分析图,绳端在 CN 段、NB 段,在 CN 段,正交分解列方程易算得左右两侧绳与水平方向夹角相同,再由几何关系 易知这个夹角保持不变,则易看出结果;在 NB 段,左右两侧绳与水平方向夹角 也相同,但这个夹角逐渐增大,由方程易看出结果。 (解析略) 解法二:图解法画滑轮受力分析图,构建力的三角形,如前所述分析夹角变化规律,可知这是 一个等腰三角形,其中竖直向下的拉力大小恒定,则易由图看出力 的变化规律。 【解析】如右图,滑轮受力如图 所
14、示,将三个力按 顺序首尾相接, 形成一个等腰三角形。 由实际过程可知,这个力的三角形的 顶角先保持不变,然后增大, 则绳中张力先保持不变,后逐 渐减小。 选 C。 三、练习 1、如图 1 所示,一光滑水球静置在光滑半球面上,被竖直放置的光滑挡板挡住,现水平向右缓慢地 移动挡板,则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面且球面始终静止) ,挡板对小球的推力 F、半球 面对小球的支持力 FN 的变化情况是( ) AF 增大,F N 减小 BF 增大,F N 增大 CF 减小,F N 减小 DF 减小,F N 增大 【解析】小球受力如图,由平衡条件可知,将三个力按顺序首尾相接,可形成如上图所示闭合三
15、角形,其 中重力 mg 保持不变,F 的方向始终水平向左,而 FN 的方向逐渐变得水平。 则由上图可知 F、FN 都一直在增大。 故 B 正确 2、如图 2 所示是一个简易起吊设施的示意图,AC 是质量不计的撑杆,A 端与竖直墙用铰链连接,一 滑轮固定在 A 点正上方,C 端吊一重物。现施加一拉力 F 缓慢将重物 P 向上拉,在 AC 杆达到竖直前( ) ABC 绳中的拉力 FT 越来越大 BBC 绳中的拉力 FT 越来越小 CAC 杆中的支撑力 FN 越来越大 DAC 杆中的支撑力 FN 越来越小 A C M N B G FT=G F1 F2 FT=G F1 F2 mg FN FN mg F
16、 F FT1=G FNF T FT1=G 【解析】C 点受力如图,由平衡条件可知,将三个力按顺序首尾相接,可形成如右图所示闭合三角形。很容易 发现,这三个力与 的三边始终平行,即力的三角形与几何三角形 相似。 则有。ABC ABCFACBGTN 其中,G、AC 、AB 均不变,BC 逐渐减小, 则由上式可知, 不变, 变小。B 正确 3、质量为 M、倾角为 的斜面体在水平地面上,质量为 m 的小木块(可视为质点)放在斜面上, 现用一平行于斜面的、大小恒定的拉力 F 作用于小木块,拉力在斜面所在的平面内绕小木块旋转一 周的过程中,斜面体和木块始终保持静止状态,下列说法中正确的是( ) A小木块受
17、到斜面的最大摩擦力为 22)sin(g B小木块受到斜面的最大摩擦力为 F-mgsin C斜面体受到地面的最大摩擦力为 F D斜面体受到地面的最大摩擦力为 Fcos 【解析】对小木块受力分析可得斜面上的受力如图所示,由于小木块始终静止则重力沿斜面向下的分 量 mgsin 始终 不变,其与 F 和 Ff 构成一个封闭的三角形,当 F 方向变化时可知当 F 与 mgsin 方向相反时 Ff 最大,其 值为 F+mgsin。对于 C,D 选项一斜面和小木块为整体进行研究,当力 F 水平向左时摩擦力最 大值为 F。故 C 正确。 4、如图所示,圆弧形货架摆着四个完全相同的光滑小球,O 为圆心对圆弧面的
18、压力最小的是 Aa 球 Bb 球 Cc 球 Dd 球 【解析】小球受力分析如图所示,其中小球重力相同,F N1 方向始终指向圆心,F N2 方向始终垂直于 FN1, 这三个力构成一个封闭的三角形如乙图所示,从 a 位置到 d 位置 FN1 与竖直方向夹角在变小,做出里的 动 态三角形,易得 a 球对圆弧面的 压力最小。 A 正确。 5、目前,我市每个社区均已配备了公共体育健身器材如图所示器材为一秋千,用两根等长轻绳将一座 椅悬挂在竖直支架上等高的两点由于长期使用,导致两根支架向内发生了稍小倾斜,如图中虚线所示, 但两悬挂点仍等高座椅静止时用 F 表示所受合力的大小,F 1 表示单根轻绳对座椅拉
19、力的大小,与倾斜 前相比( ) AF 不变,F 1 变小 BF 不变,F 1 变大 CF 变小,F 1 变小 DF 变大,F 1 变大 【解析】座椅受力如图所示,将三个力按 顺序首尾相接,形成一个封闭的三角形如图。两根支架向内发 F mgsinFf mgsin Ff G F1 F1 G F1 F1 mg FN1 FN2 mg FN1 FN2 生了稍小倾斜,则这个力的三角形的 顶角变小,从 图中可以得到 则绳中张力 F1 逐渐减小,由于座椅仍静止 所受合力 F 始终为零。选 A。 6、如图所示,在倾角为 的固定粗糙斜面上,一个质量为 m 的物体被水平力 F 推着静止于斜面上,物体与斜面间的动摩擦
20、因数为 ,且 tan ,求力 F 的取 值范围。 【解析】物体受力如图所示,将静摩擦力 Ff 和弹力 FN 合成 为一个力 F 合 ,则 F 合 的方向允许在 FN 两侧最 大偏角为 的范围内,其中 。将这三个力按tan 顺序首尾相接,形成如图所示三角形,图中虚线即为 F 合 的方向允许的变化范围。 由图可知: )ta()t(mgFmg 即: sincoisincoi 7、如图所示,在倾角为 的固定粗糙斜面上,一个质量为 m 的物体在拉力 F 的作用下沿斜面向上做匀加 速直线运动,已知物体与斜面间的动摩擦因数为 ,为使物体加速度大小为 a,试求力 F 的最小值及其对 应的方向。 【解析】物体受
21、力如图,将支持力 FN 和滑动摩擦力 Ff 合成为一个力 F 合 ,由 可知,Nf 。tan 将三个力按顺序首尾相接,与三者的合力形成如图所示四 边形,其中 mg、ma 不变, F 合 的方向不变。 当 F 取不同方向时,F 的大小也不同,当 F 与 F 合 垂直时,F 取最小值。 由几何关系,得: ,解得:cos)sin(minmag 2min1)sinco(mag 8、如图所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度 转动,盘面上离转轴距离 2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为 (设最大静摩擦力等于滑动摩擦力) ,盘面与水平面的夹角为 3
22、0,g 取 10 32 m/s2。则 的最大值是 A rad/s B rad/s5 3 C1.0 rad/s D5 rad/s 【解析】垂直圆盘向下看,物体受力如 图所示,静摩擦力 Ff 和重力沿圆盘向 下的分力 mgsin30的合力即向心力 ma。将这两个力按顺序首尾相接,与它们的合力 ma 形成闭合三角形, 其中 mgsin30保持不变、ma 大小不变,静摩擦力 。30cosfmg 由图易知,当小物体转到最低点 时,静摩擦最大,为 ,解得30cosin2f mgr 。故选 C。rad/s0.1 F a mg F F 合maF N mg Ff F 合 F mgsin30Ff ma mgsin30 Ff ma FN mg Ff F 合 F F F 合 mg mg F F 合ma +
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