1、 向量与三角形的内心、外心、重心的应用（带答案） 一、知识总结： 二、针对性例题： 1已知平面内一点 P 及ABC，若 ，则点 P 与ABC 的位置关系是( )PA PB PC AB A点 P 在线段 AB 上 B点 P 在线段 BC 上 C点 P 在线段 AC 上 D点 P 在ABC 外部 答案 C 解析 由 得 ，即 2 ，所以点 P 在线段 AC 上PA PB PC AB PA PC AB PB AP PC AP PA AP 2设 P 为锐角ABC 的外心( 三角形外接圆的圆心)， k( )(kR )，若 cosBAC ，则 k 等于( )AP AB AC 25 A. B. C. D.
2、514 214 57 37 答案 A 解析 取 BC 的中点 D，连接 PD，AD ，则 PDBC ， 2 ，AB AC AD k( )(kR) ， 2k ，A，P，D 三点共线，AP AB AC AP AD ABAC， cosBAC cos DPC ，AP AD， 2k ，解得 k ，故选 A. DPPC DPPA 25 57 57 514 3、.设 G 为ABC 的重心，且 sin A sin B sin C 0，则角 B 的大小为_GA GB GC 答案 60 解析 G 是ABC 的重心， 0， ( )，将其代入 sin A sin B sin GA GB GC GA GB GC GA
3、GB C 0，得(sin Bsin A) (sin Csin A ) 0.又 ， 不共线，GC GB GC GB GC sin Bsin A0，sin Csin A0，则 sin Bsin Asin C根据正弦定理知 bac， ABC 是等边三角形，则角 B60. 4(2017驻马店质检)若 O 为ABC 所在平面内任一点，且满足( )( 2 )0，则ABC 的形状OB OC OB OC OA 为( ) A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 答案 C 解析 因为( )( 2 )0，即 ( )0，因为 ，OB OC OB OC OA CB AB AC AB AC CB 所以(
4、 )( )0，即| | |，所以ABC 是等腰三角形，故选 C.AB AC AB AC AB AC 4、已知 O 是平面上的一定点， A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足 ( )，OP OA AB AC (0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) A内心 B外心 C重心 D垂心 (2)由原等式，得 ( )，即 ( )，根据平行四边形法则，知 是ABC 的中线OP OA AB AC AP AB AC AB AC AD(D 为 BC 的中点) 所对应向量 的 2 倍，所以点 P 的轨迹必过 ABC 的重心AD 5 本例中，若动点 P 满足 ，(0，)，则点 P 的轨迹一定
5、通过ABC 的_OP OA ( AB |AB | AC |AC |) 答案 内心 解析 由条件，得 ，即 ，而 和 分别表示平行于 ， 的单位向量，OP OA ( AB |AB | AC |AC |) AP ( AB |AB | AC |AC |) AB |AB | AC |AC | AB AC 故 平分BAC，即 平分BAC ，所以点 P 的轨迹必过ABC 的内心 AB |AB | AC |AC | AP 6、 (1)在ABC 中，已知向量 与 满足( ) 0，且 ，则ABC 为( )AB AC AB |AB | AC |AC | BC AB |AB | AC |AC | 12 A等边三角形
6、 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形 解析 (1) ， 分别为平行于 ， 的单位向量，由平行四边形法则可知 为BAC 的平分线因为( AB |AB | AC |AC | AB AC AB |AB | AC |AC | ) 0，所以BAC 的平分线垂直于 BC，所以 ABAC. AB |AB | AC |AC | BC 又 cosBAC ，所以 cosBAC ，又 0BAC ，故BAC ，所以ABC 为等边三 AB |AB | AC |AC | | AB |AB | | AC |AC | 12 12 3 角形 7在ABC 中，( ) | |2，则ABC 的形状一定是( )B
7、C BA AC AC A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 答案 C 解析 由( ) | |2， 得 ( ) 0，BC BA AC AC AC BC BA AC 即 ( )0，2 0，AC BC BA CA AC BA ， A90. 又根据已知条件不能得到| | |，AC BA AB AC 故ABC 一定是直角三角形 8、已知ABC，P 为三角形所在平面上的一点，且点 P 满足：a +b +c =0，则 P 点为三 角形（ ） A外心 B内心 C重心 D垂心 解在 AB，AC 上分别取点 D，E，使得 = ， ，则 =1 以 AD，AE 为邻边作平行四边形 ADFE，则四边形 ADFE 是菱形，且 = = AF 为BAC 的平分线 a +b +c = a +b（ ）+c（ ）= ， 即（a+b+c ） +b +c = ， = = （ ）= A，P ，F 三点共线，即 P 在BAC 的平分线上同理可得 P 在其他两角的平分线上， P 是 ABC 的内心故选：B
